基于Nuttall窗双谱线插值FFT的电力谐波分析方法_卿柏元

第28卷第25期中国电机工程学报 V ol.28 No.25 Sep. 5, 20082008年9月5日 Proceedings of the CSEE ©2008 Chin.Soc.for Elec.Eng. 153 文章编号：0258-8013 (2008) 25-0153-06 中图分类号：TM 935 文献标志码：A 学科分类号：470⋅40基于Nuttall窗双谱线插值FFT的电力谐波分析方法卿柏元，滕召胜，高云鹏，温和(湖南大学电气与信息工程学院，湖南省长沙市 410082)An Approach for Electrical Harmonic Analysis Based on Nuttall WindowDouble-spectrum-line Interpolation FFTQING Bai-yuan, TENG Zhao-sheng, GAO Yun-peng, WEN He(College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, Hunan Province, China)ABSTRACT: The fast Fourier transform (FFT) had already become a main method of the electrical harmonic analysis since it’s easily realized in embedded system, but there were difficulties in performing synchronized sampling and integral period truncation in the electric power harmonic analysis, and the accuracy of the analysis result would be disturbed by the frequency leakage. Some efforts had been made, such as the utilization of window functions and interpolation algorithms, to improve the accuracy of harmonic parameters computation by FFT. The sidelobe characteristic of Nuttall window and the double-spectrum-line interpolation algorithm were both discussed, an approach for electrical harmonic analysis based on the Nuttall window double-spectrum-line interpolation FFT was proposed, the applicable rectification formulas of the double-spectrum-line interpolation was obtained by using polynomial curve fit functions, and subsequently calculating burden was dramatically reduced. The simulation results indicate that, by using the approach presented in this paper under the non-synchronized sampling and non-integral period truncation conditions, the errors of calculating amplitudes of 21 orders harmonics are no more than 0.0009%, as well as that of calculating phases no more than 0.04%.KEY WORDS: harmonic analysis; Nuttall window; sidelobe; double-spectrum-line interpolation; fast Fourier transform; polynomial fit摘要：快速傅里叶变换(fast Fourier transform，FFT)因其易于嵌入式系统实现而被作为电力谐波分析的主要方法，但电力谐波分析时很难做到同步采样和整数周期截断，由此造成的频谱泄漏将影响测量结果的准确性。

加窗和插值修正算法可改善基于FFT的谐波参数计算的准确度。

该文讨论Nuttall 窗的旁瓣特性和双谱线插值算法，提出基于Nuttall窗双谱线插值FFT的电力谐波分析方法，用曲线拟合函数求出实用的双谱线插值修正公式，大大减少了计算量。

仿真结果表明，提出的谐波分析方法在非同步采样和非整数周期截断条件下，21次谐波幅值计算误差小于等于0.0009%，初相位计算误差小于等于0.04%。

关键词：谐波分析；Nuttall窗；旁瓣；双谱线插值；快速傅里叶变换；多项式拟合0 引言电力系统中非线性负荷的大量增加，特别是电力电子装置的广泛应用，使电网中产生了大量的高次谐波[1-3]，造成电能质量严重恶化，危及电力系统安全和经济运行。

对谐波分量的准确分析将有利于电能质量的评估，并可采取必要的措施加以治理。

快速傅里叶变换已成为电力谐波分析最主要的方法，但采用FFT进行电力谐波分析时很难做到同步采样和整数周期截断，由此造成频谱泄漏和栅栏效应[4-6]，导致信号参数(频率、幅值、相位)计算结果不准，无法达到谐波测量的国标要求[4]。

采用性能优良的窗函数可减小频谱泄漏引起的误差，对计算结果进行插值修正可减小栅栏效应引起的误差[7]。

针对现有文献[8-18]在插值算法的实现、修正公式的求解及计算精度等方面存在的不足，本文分析Nuttall窗的旁瓣特性[19]，提出基于Nuttall窗双谱线插值FFT的高精度电力谐波分析方法，推导Nuttall窗的双谱线插值算法，利用曲线拟合函数[20]求出实用的修正公式，大大减少了计算量，易于嵌入式系统实现。

仿真结果表明，在非同步采样和非整数周期截断条件下，本文提出的电力谐波分析方154 中 国 电 机 工 程 学 报 第28卷法具有更高的精确度。

1 非同步采样FFT 分析的频谱泄漏问题单一频率信号x (t )以采样频率f s 均匀采样得到的离散时间信号为00s 0()sin(2(/))x n A f f n ϕ=π+ (1) 式中A 0、f 0、ϕ0分别为信号的幅值(V)、频率(Hz)和初相位(°)。

对x (n )加矩形窗得到w ()()()x n x n w n =，x w (n ) 的连续傅里叶变换为0j j20w j 0s 0s ()()()e {e 2j[2()/]e [2()/]}nf R R A X f x n w n W f f f W f f f ϕϕ∞−π−∞−==⋅π−−π+∑ (2) 式中1j2sin /2()e sin /2N f R Nf W f f −−=。

对式(2)进行离散抽样，并忽略负频点−f 0处频峰的旁瓣影响，得到加窗后信号的离散傅里叶变换的表达式为0j 00s ()e [2()/]/(2j)R X k f A W k f f f ϕΔ=πΔ− (3)式中：离散抽样间隔为Δf =f s /N ；N 为数据截断长度。

对信号同步采样和非同步采样时的幅频特性如图1所示。

从图中可看出，在同步采样时，各离散点上的FFT 频谱与信号的理想谱一致，是一个单位冲击，而在非同步采样时，各离散点上的FFT 频谱与信号的理想谱不一致，产生泄漏。

因此必须对FFT 的计算结果进行处理，以得到信号的真实频谱。

1.0 0.8 0.6 0.4 0.20.00 20 40 60 80f /Hz(a) 同步采样频点f 0对应的谱线幅值/V1.0 0.8 0.6 0.4 0.20.00 20 40 60 80f /Hz(b) 非同步采样幅值/V频点f 0附近幅值最大的谱线频点f 0附近幅值 次最大的谱线图1 同步和非同步采样后的频谱比较Fig. 1 Comparison of discrete spectrum between synchronized and non-synchronized sampling实际电网信号往往含有丰富的谐波分量，而且谐波分量的幅值一般为基波分量的百分之几或更小。

当进行非同步采样时，基波分量的频谱泄漏将严重影响谐波分量，谐波分量之间也会发生相互泄漏，导致谐波分析误差增加。

矩形窗的旁瓣峰值电平(最邻近主瓣的最大旁瓣电平)为−13 dB(负号表示旁瓣电平比主瓣电平低，dB 值等于j j020lg |(e )/(e )|W W ω)，旁瓣渐近衰减速 率为6 dB/oct(oct 表示倍频程)。

实际电网信号中2次谐波的幅值一般不到基波的1%，即两者的幅值衰减小于−40 dB 。

若直接用FFT 进行频谱分析(相当于用矩形窗进行截断)，则−13 dB 的旁瓣会淹没了−40 dB 的实际谐波信号，影响了谐波分析的准确度。

为降低频谱泄漏，应选择旁瓣峰值电平小且旁瓣渐近衰减速率大的窗函数对信号进行处理。

2 Nuttall 窗双谱线插值算法2.1 Nuttall 窗旁瓣峰值电平小且旁瓣渐近衰减速率大的窗函数，可很好地抑制邻近泄漏和远离泄漏。

具有良好旁瓣性能的Nuttall 窗是一种余弦组合窗，其时域表示为10()(1)cos(2/)M m m m w n b n m N −==−π⋅∑ (4)式中：M 为窗函数的项数；1,2,,1n N =−"；b m 应满足约束条件，101M m m b −==∑，10(1)0M m m m b −=−=∑。

典型的Nuttall 窗函数如表1所示，图2给出了Nuttall 窗的归一化对数频谱，表2给出了Nuttall表1 Nuttall 时窗函数 Tab. 1 Nuttall time windows系数4项3阶4项1阶3项最小旁瓣 4项最小旁瓣b 0 0.338 9460.355 7680.424 380 1 0.363 581 9 b 1 0.481 9730.487 3960.497 340 6 0.489 177 5 b 2 0.161 0540.144 2320.078 279 30.136 599 5 b 30.018 0270.012 6040.010 641 1表2 余弦组合窗的旁瓣特性Tab. 2 Components of the sidelobe characteristicof the cosine composite windows窗的类型 旁瓣峰值电平/dB 渐近衰减速率/(dB/oct)Hann.窗 −32 18 Blackman 窗 −58 18 Blackman-harris 窗 −92 6 3项最小旁瓣Nuttall 窗−71.49 6 4项1阶Nuttall 窗 −93.3 18 4项3阶Nuttall 窗 −82.6 30 4项最小旁瓣Nuttall 窗−98.2 6第25期 卿柏元等： 基于Nuttall 窗双谱线插值FFT 的电力谐波分析方法 155角频率/rad (a) Nuttall 3项最小旁辨窗 −71.49 dB6 dB/octπ/4 π/2 3π/4 π角频率/rad(b) Nuttall 4项1阶窗幅值/d B−93.3 dB18 dB/octπ/4 π/2 3π/4π角频率/rad (c) Nuttall 4项3阶窗−82.6 dB30 dB/octπ/4 π/2 3π/4 π角频率/rad(d) Nuttall 4项最小旁辩窗幅值/d B−98.2 dB 6 dB/octπ/4 π/2 3π/4π图2 Nuttall 窗的归一化对数频谱Fig .2 Normalized logarithm spectrum of Nuttall windows窗及其他余弦组合窗的旁瓣特性[19]。