曲线的曲率

§2-8 曲线的曲率

在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义.

直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图2-38，弧

AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏差θ∆. 可是，弧 CD

的全曲率与弧 AB 的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为s ∆的弧的全曲率θ∆同弧长s ∆的比值/s θ∆∆，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限

s

s s K s d d lim lim 0A B A θ

θθ=∆∆=∆∆=→∆→

定义为弧

AB 在点A 处的曲率 (其中θ∆为弧 AB 的全曲率, s ∆为弧 AB 的长度).

对于半径为R 的圆周来说(图2-39)，由于θ∆=∆R s ，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为

R

s s K s 1

d d lim

0==∆∆=→∆θθ

对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率0A K ≠时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点A 相切(即有公切线)且半径1/A A R K =.这样 的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点A 处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆.

请读者注意，因为曲率有可能是负数．．．．．．．．．．，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号．．．．．．．．．．．．．．．．．，所以曲率半．．．．．径也有可．．．．能是负数．．．．.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率.

对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图2-41)，由于

图2-39

图2-40

()tan y x θ'=， arctan ()y x θ'=

所以，若有二阶导数()y x ''，则

[]

2

()

d d 1()y x x y x θ''

=

'+ 注意到d s x =，则弧上点(),()A x y x 处的曲率为 {}32

2d ()

ds 1[()]y x K y x θ''=

=

'+ (2-10) 当()0y x ''≠时，曲率半径为 {}

32

21[()]1()

y x R K

y x '+=

='' (2-11)

其中，()0y x ''>时，曲率K 和曲率半径R 都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方 (图2-41).反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方.

例32 对于图2-40中那个抛物线2y ax =，因为2,2y ax y a '''==，所以

(曲率) 2

322)

41(2x a a

K +=, (曲率半径) a x a K R 2)41(12322+== 显然，原点)0,0(O 处有最大曲率=K a 2，最小曲率半径a

R 21

=. 点(1,)A a 处的曲率和曲率半径依次为

2

32)41(2a a

K +=， a a R 2)41(232+=

可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大.

对于用参数方程)()()

(βα≤≤⎩

⎨⎧==t t y y t x x 表示的曲线弧，其中)(t x 和)(t y 有二阶导数且

22[()][()]0x

t y t +> [不妨认为()0x t ≠ ] 因为

d ()d ()y y t x x t = ， 223

d d d d ()d ()d ()()()()d d d d ()d ()d [()]y y y t y t t y t x t y t x

t x x x x x t t x t x x t ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得 (曲率公式) 2232

()yx

yx K x

y -=

+ (2-12) (曲率半径公式) 2232()x

y R yx yx

+=

- (0)yx yx -≠ (2-13) 习 题

图2-41

1.求下列曲线的曲率和曲率半径：

⑴ 1=y x (双曲线)； ⑵x p y 22=(抛物线)； ⑶⎩

⎨⎧-=-=)cos 1()

sin (t a y t t a x .

答案：⑴2343

)1(2x x K +=；⑵)

0()(sgn 23222≠+-=y y p y p K ；⑶y

a K 221-=. 2.在对数曲线x y ln =上，求出曲率绝对值最大的点. 答案：1ln 2

2⎫

-⎪⎭

.

3.极坐标系中曲线的曲率公式 证明：极坐标系中曲线)(θr r =的曲率公式为

2

32222)(2r r r r r r K '+'

'-'+= [提示:⎩⎨⎧==θ

θθθsin )(cos )(r y r x ] 并由此求下列曲线的曲率:

⑴ θa r =(阿基米德螺线)； ⑵ θm a r e =(对数螺线)； ⑶ )cos 1(θ+=a r (心形线)； ⑷ θ2cos 22a r =(双纽线).

答案：⑴2322)1(2θθ++=a K ；⑵211m

r K +=；⑶r r a

K 223=；⑷23a r K =.