§3.7 量子力学对氢原子的处理.

§3.7 量子力学对氢原子的处理

一、量子力学对氢原子的处理

氢原子是一百多种元素中最简单的一种原子，它由一个质子（氢核）和一个电子组成，由于它的简单性，量子力学对氢原子可给出精确定量的描述。对氢原子的了解也是进一步认识多电子原子的基础。

引入折合质量

，氢原子的哈密顿算符是r

e r L P r V p H o r πεμμμ42ˆ2ˆ)(2ˆˆ22222-+=+=其中是径向动能算符，是角动量平方算符。库仑势具有球对称性，引入球坐标系是方便的。r P ˆ2ˆL 是角动量子z 分量算符，r

e r L r r r r

e r L r r r r H o o πεμμπεμμ42ˆ1242ˆ12ˆ2

222222

22222-+∂∂-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-= θ

θθθθ2

2z 22sin ˆ)(sin sin ˆL L +∂∂∂∂-= 其中在球坐标系中为H

ˆz L ˆϕ∂∂-= i L z

ˆ在球坐标系中，氢原子的定态薛定谔方程，即能量本征值方程为

上方程允许取分离变量解:其中球谐函数是角动量平方算符的本征函数，即是算符的本征值。将上结果代入能量本征值方程后，给出径向波函数R (r ) 的径向方程

()()()ψψπεψμψμψψπεψμψμr E r r

e r r L r r E r

e r L r r r o o =-+∂∂-=-+∂∂-42)(242)(122

22222222222 或)()()(),()(),,(ϕθϕθϕθψΦΘr R Y r R r ==),(ϕθY 2ˆL ),()1(),(ˆ22ϕθϕθl l Y l l Y L +=2)1( +l l 2ˆL

)(,0)(2)1(4)(''22222r rR r r l l r e E r o n ≡=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-+χχμπεχμ

一些径向波函数R n,l (r )的表达式：一些球谐函数Y l,m 的表达式：

该方程给出能量的本征值

221)(21n

c E n αμ-=111

212

311,2212

310,22

3

1

0,1213

1

)(21212)(1

2)(a r

a r

a r e e a r a r R a r a r R e

a

r R ---

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=θπ

θπθππϕϕcos sin sin ,,,,43

83

83

2101111100=

===--Y e Y e Y Y i i (,)θϕ以上计算表明，波函数是力学量算符集合的共同本征函数，即可见三个量子数n,l,m 与状态Ψn,l,m 有一一对应关系，为了简

单，我们常用量子数(n,l,m )表征量子态Ψn,l,m 。

对于每一个给定的主量子数n ，角量子数可以取n 个值：0、1、2、…，n －1；对于每一个确定的l 值，磁量子数m 取2l ＋1个值：－l 、－（l －1），…（l －1）、l 。氢原子的能量只与n 有关，所以是简并的，其简并度为

),,(,,ϕθψr m l n )ˆ,ˆ,ˆ(2z

L L H m

l n m l n z m

l n m l n m

l n n

m

l n m L l l L E H ,,,,,,2,,2,,,,ˆ)1(ˆˆψψψψψ

ψ =+==∑-==+1

2

)12(n e n

l

思考题

（1）何谓紫外灾难？简述普朗克对量子物理的贡献。

（2）何谓光电效应？它有哪些实验规律？如何进行解释的？ （3）波恩对波函数作出什么样的解释？（长春光机所1999）

（4）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.（长春光机所1998） （5）简述德布罗意对量子力学的贡献。（长春光机所1999） （6）何谓定态？定态波函数具有何种形式？

（7）波函数满足标准条件是什么？写出波函数归一化条件。 （8）简要写出量子力学处理氢原子的方法、步骤和结论。

作业题

（1）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长为0.4埃，求加速电势差。（上海大学.2002）

（2）试画出时l=2电子轨道角动量在磁场中空间量子化示意图，并标出电子轨道角动量在外磁场z 方向的投影的各种可能值。（中山大学1993）

（3）褚书第三章习题：1、2、3、4、5。

自学指导

认真阅读教材相关部分，完成学习指导书中的自测题；掌握德布罗依假设、波函数的统计诠释、不确定关系、定态的概念、量子力学对氢原子的描述。

量子数名符与之有关的的物理量物理意义可取值主

1.2.3. 3.hcR -hcR

γn 量子力学

玻尔理论

取值称符号号

物理量

与之有关

物理意义

量子数

决定原子

的能量（能级）n 越大

能级越高

决定能量是量子化的决定电子运动区域的大小，n 越大电子径向几率分布曲线有最大值的位置离核越远

1.同前

2.同前决定轨道的大小，n 越大，电子轨道半径越大，轨道离核越远

n

1,2,3⋯

n

1,2,3⋯

2n n

E =2

n n E -

=2

2

n n R )(=γω z

a 2

1

=γ二、量子数的物理意义