初中数学实数专题

初中数学实数专题

一．本周主要内容：

1．实数及有关概念

2．练习题

二．重点内容分析与讲解：

1．实数及有关概念

引入：有理数复习

我们知道，出现负数后，数的范围就扩大到了有理数，有理数按照定义可以如下分类：

并不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数.如：

这些数的小数位是无限的，而且是不循环的.

（一）无理数：

定义：无限不循环小数叫无理数.

我们目前见到的无理数：

说明：

我们已知π=3.1415926…它是圆周率

那么e=2.71828…是什么含义呢？它是银行计算复利时出现的一个数，设某人存入银行

不要说“开方开不尽的数”是无理数.开方开不尽的数有两种理解方法：2开方开

还有其它形式的无理数.如：lg2等（高中课本）

（二）实数：

定义：有理数和无理数统称实数.

分类：

按定义分类：

（三）实数性质简述：

Ⅰ．实数序性质：

三歧性：两个任意实数a、b，它们之间的关系必然是下列三种情况这一：a=b，a>b，a

传递性：三个任意实数a，b，c，若a

连续性：任意两个实数之间仍有无数个实数存在，实数与数轴上的点是一一对应

这一点和有理数是有区别的：虽然任意两个有理数之间也有无数个有理数存在但它们不连续即在这两个有理数之间还有无数个无理数存在.即有理数在数轴上只具有稠密性，而不具备连续性.Ⅱ．实数集合对有理数集合来说在有关概念及运算性质，运算律方面具有继承性及连续性.

如：实数的绝对值、相反数的意义与有理数的绝对值、相反数意义一致；运算性质方面有理数具有的，实数也都具有：象幂的运算性质，加、减、乘、除、乘方的运算顺序，运算符号方面的性质，等.运算律也完全一致：

实数a，b，c满足下列运算律：

a+b=b+a（加法交换律）

(a+b)+c=a+(b+c)（加法结合律）

a·b=b·a（乘法交换律）

(a·b)·c=a·(b·c)（乘法结合律）

a·(b+c)=ab+ac（分配律）

Ⅲ．实数集合在运算及性质方面有新的扩展：

在实数集合内，不仅可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且可以进行除了负数开偶次方之外的开方运算.即运算结果总是实数.相应地因式分解，解方程等也随之加深，另外分数指数幂被定义等等.

如因式分解：x2-2（在实数范围内）

（四）实数范围内的相反数、绝对值定义：

Ⅰ．相反数定义：

只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0.

Ⅱ．绝对值定义：

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

绝对值的几何意义：

一个实数a的绝对值是数轴上表示a的点与原点的距离.

（五）实数的运算

实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.

既然都化为有理数，那就依有理数运算法则去运算.

有的情况，结果并没有要求精确度而要求准确值，那将有新的法则作为依据，如

由近似计算理论，最后一步参与运算的数要比结果的精确度多取一位或多取一个有效数字（用四舍五入法取得）

例3．计算：

（六）实数大小的比较

法则：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.在数轴上，右边的数要比左边的大.

具体方法：

算术平方根法：都化为算术平方根后比较被开方数.

平方法：两个正数，比较平方后的结果.

倒数法：当两个数的大小不可比较时，可以比较这两个数的倒数.

还有其它方法如：比差法，比商法等.

例4．比较下列各数的大小：

（这是用近似数代替无理数后再比大小）

2．练习题：

A组Ⅰ．判断题：

（1）无理数都是无限小数（）

（2）无限小数都是无理数（）

（3）带根号的数都是无理数（）

（4）无理数都是带根号的数（）

（5）任意实数都可以用数轴上的一个点来表示（）（6）有理数和数轴上的点是一一对应的（）（7）无理数一定是无限不循环小数（）

（8）最小的实数和最大的实数都不存在（）

Ⅱ．填空题：

（1）如果实数a>b，当a、b为正实数时，|a|_____|b|；当a、b为负实数时，|a|_____|b|.

（4）实数a、b、c在数轴上对应的位置如下：

（7）如果a、b是有理数，A是无理数，当______时，aA+b是有理数；当______时，aA+b是无理数；当_______时，aA+b的值为0.

Ⅲ．选择题：

1．下列说法中正确的是（）

（A）无理数是开方开不尽的数

（B）无限小数不能化成分数

（C）无限不循环小数是无理数

（D）一个负数的立方根是无理数

（A）m是完全平方数（B）m是负有理数

（C）m是一个完全平方数的相反数（D）m是一个负实数

3．在实数范围内，0，-7，8，（-5）2，π有平方根的有（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（A）分数（B）偶数（C）无理数（D）有理数

5．算术平方根比原数大的数是（）

（A）正实数（B）负实数（C）大于0而小于1的数（D）不存在6．下列各数中有理数的个数是（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

Ⅳ．计算题：

B组

答案：

A组

Ⅰ．判断题：

题号12345678结果√×××√×√√

Ⅱ．填空题：