高等数学课件数项级数及收敛准则

1
1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
例6. 证明级数

sin 1 ～ n

1 n
1 根据比较判别法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ 12 n n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较判别法的极限形式知 ln 1 n2 n 1
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 考虑级数 p 1 的部分和 p 1 (n 1) n n2 1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
设 定理5. 根式判别法 ( Cauchy判别法) 数, 且 lim n u n , 则
n
为正项级
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N Z ,

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n un
即
1
( ) n un ( ) n
二 、交错级数及其收敛判别法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)

n
lim un 0 ,
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
第2-3节 常数项级数的收敛准则
一、正项级数及其收敛准则
二、交错级数及其收敛准则
第十一章
三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其收敛准则
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
收敛 ,
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛

例7. 证明下列级数绝对收敛 : sin n n2 (1) 4 ; (2) (1) n n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
n

故级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)

2
1 发散 k 2 k
根据比较判别法可知, 所给级数发散 .
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较判别法 vn 收敛,

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
n 1
rn un 1 .
证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
是单调递增有界数列, 故 又
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛

三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
定理3. (比较判别法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n n 1 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
单调递增,
也收敛.
定理2 (比较判别法) 设
且存在 对一切 收敛 , 有 则级数
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若级数
发散 , 则级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切 都有
分别表示 un和级数 vn的部分和, 则有

收敛 , 由比较判别法可知
un 收敛 .
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N
时 从而
un 1 un un 1 u N
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
n
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
级数乘积的排列方式：正方形
级数乘积的排列方式：对角线（柯西乘积）
一般项：wn
i j n 1

ui v j
条件收敛级数柯西乘积不一定收敛.
n 1 1 n 1 1 例如， ( 1) ( 1) 发散. n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 1 wn ( 1) ... n 1 n 1 2 n2 3 1 n 1 1 1 1 1 1 wn ... 1 n n n n n n
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. (绝对收敛级数重排不影响其和.条件收敛级数重排影 响其敛散性与和。)
例： ( 1)
n 1 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... A n 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 A ... n 2 4 6 8 2
1 (1) 2 n 1
n 1
两个级数相加，得 1 1 1 1 1 3A 1+ ... 3 2 5 7 4 2
定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S .
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n 1 1 1 n (n 1) n (n 1) n 1
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,



n 1
2 n2 (1) n n 收敛, 因此 (1) n n 绝对收敛. e en n 1
一般项级数敛散性总结
• 绝对收敛 收敛, 反之不真.
• 如果用比式判别法或根式判别法得出绝对值级数 发散, 则原级数一定发散. • 所有判别法都有局限性, 不能用判别法判定时, 只 能用部分和列是否收敛来判定.
定理4 . 比式判别法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 . 证: (1) 当 1 时,
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, 1 un
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较判别法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn

由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1

(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
wn发散.
n 1

内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛判别法
n 1 n 1


(1) 若级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 级数 (2) 若级数 因此 发散, 则有
这说明级数
也发散 .
1 1 1 例1. 讨论 p 级数1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n 0l un 发散 n pun l lim n p 1, 0 l un 收敛
1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n