云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷 B卷及答案

（4 分）
四、证明题（本大题共 2 小题，共 30 分） 1. FT 的坐标缩放性质：
如果 f (t ) ↔ F (ω ) ，则 证： 设 a > 0 ，则有
f ( at ) ↔
1 ω F( ) a a
（Baidu Nhomakorabea 分）
f (at ) ↔ ∫ f (at )e −iωt dt =
−∞ ∞
∞
1 ω F( )。 a a 1 a
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2．求 f (t ) =
sin t 的 FT。 t
3．用傅立叶变换性质的时域微分及积分定理求三角形脉冲 ⎧ 2 1− t ⎪ ⎪ f ∆ (t ) = ⎨ τ ⎪0 ⎪ ⎩ 的频谱函数。
τ 2 τ t > 2 t <
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试卷参考答案及评分标准
课程名称：复变函数与积分变换 考试班级： 06 级 电子类专业 试卷编号： B 命题教师签名：____ ____年___月___日
一、单项选择题（本大题共 5 题，每题 2 分，共 10 分） 1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 二、填空题（本大题共 10 个空，每空 3 分，共 30 分）
1. 离散的，连续的 2. 2kπ i 3. ε (t ) ; 4. 1; 5. ⎨
(k ∈ z ) ;
⎧2π i n = 1 ; ⎩ 0 n ≠1
6. 1; 7. 2 πf (−ω ) ; 8. 时域 频域
9. 离散性、谐波性和收敛性 10.
1 sgn t 2
三、 计算题（本大题共 3 小题，共 30 分） 1. 解: 设 z = e
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得分
评卷人
四、证明题（本大题共 2 小题，共 30 分） 1. 叙述 FT 的坐标缩放性质，并证明之。
2. 证明： X ∗ (ω ) = X (−ω ) 是 x(t ) 为实信号的充要条件。
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云南师范大学课程考试
评卷人
一、 单项选择题（本大题共 5 题，每题 2 分，共 10 分）请在每小题的括号中 填上正确的答案。选项中只有一个答案是正确的，多选或不选均不得分 1.设 z=1+2i，则 Im z3=（ ） A.-2 B.1 C.8 D.14 2.z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 3.ln(-1)为（ ） A.无定义的 B.0 C.πi D.(2k+1)πi(k 为整数) 2 4.设 z=x+iy,则（1+i）z 的实部为（ ） 2 2 A.x -y +2xy B.x2-y2-2xy C.x2+y2+2xy D.x2+y2-2xy 5.设 z=x+iy，解析函数 f(z)的虚部为 v=y3-3x2y，则 f(z)的实部 u 可取为（ ） 2 2 2 3 A.x -3xy B.3xy -x 2 3 C.3x y-y D.3y3-3x3
∫
0
∫
2π
0
dθ i⎤ ⎡ ⎛ i⎞ π = 2π i Re s ⎢ f ( z ) , − ⎥ = 2π i ⎜ − ⎟ = 5 + 3sin θ 3⎦ ⎣ ⎝ 4⎠ 2
（4 分）
2. 解: 利用 FT 的对称性质： 如果 f (t ) ↔ F (ω ) ，则 F (t ) ↔ 2πf ( −ω ) 。 由 gτ (t ) ↔ τSa (
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（2 分）
F ( jω ) =
2 j (e τ
ωτ 2
−2+e
−j
ωτ 2
) 8 sin 2 (
（4 分）
4 ωτ = [cos( ) − 1] = − τ 2 利用时域积分定理，得：
ωτ ) 4
τ
sin
wτ 1 8 wτ τ 4 ) 2 = τ Sa 2 ( wτ ) F∆ ( jω ) = F ( jω ) = 2 sin 2 = ( 2 4 2 wτ 2 4 ( jω ) wτ 4
（5 分）
设 a < 0 ， f ( at ) ↔
∫
−∞
f (at )e −iωt dt = −
∫
−∞
+∞
f (u )e
−i
ωu a
du =
1 ω F ( ) （5 分） a a
2. 证明： 必要性： x * (t ) = x(t ), Χ( w) = ∫ x(t )e − jwt dt
−∞ ∞
（4 分） （4 分） （3 分） （4 分）
幂级数 ∑ nx n 的收敛半径为___
n =0
设 f (t ) 的傅立叶变换为 F (ω ) ，则 F (t ) 的傅立叶变换为 傅立叶变换建立了 频谱的三个特性是 和
10. 已知 F ( jω ) =
1 ，则其对应的时间函数为 jω
得分
评卷人
三、计算题（本大题共 3 小题，共 30 分） 2π dθ 1．计算积分 ∫ ． 0 5 + 3cos θ
2π
iθ
则 dθ =
dz z2 −1 , sin θ = iz 2iz
（2 分）
dθ 2dz 2 （4 分） =� =� dz 2 ∫ ∫ z = 1 z = 1 i 5 + 3sin θ 3 z + 10iz − 3 3( z + 3i )( z + ) 3 2 i 令 f ( z) = , 则 f 在 z = 1 内只有一级极点, z = − ,依留数定理有 i 3 3( z + 3i )( z + ) 3
云南师范大学 2007 --2008 学年下学期统一考试
复变函数与积分变换 __ 试卷 __ __复变函数与积分变换 复变函数与积分变换__ __试卷
学院 物电 班级__06 __专业 电子类 学号__ __姓名__ ___
考试方式：闭卷
考试时间：120
分钟
试卷编号：B 卷
题号
一
二
三
四
总分
评卷人
得分
（2 分） （4 分） （4 分）
ωτ τ ) ；令 = 1 ，即 τ = 2 ，得： 2 2 sin t 2Sa(t ) ↔ 2πg 2 (−ω ) = 2πg 2 (ω ) ，所以 ↔ πg 2 (ω ) t
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3. 解：
三角形脉冲的二阶导数如右图。 2 τ 4 2 τ f (t ) = δ (t + ) − δ (t ) + δ (t − ) τ 2 τ τ 2
。
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4.
sin 2 z + cos 2 z = _______
____。
5. 6. 7. 8. 9.
dz ∫| z − z0 |=1 ( z − z0 ) n = ______
∞
___.（ n 为自然数） 。 _______。 。 间的联系。 。 。
得分
评卷人
二、填空题（本大题共 10 个空，每空 3 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上 正确的答案。填错、不填均无分。 1. 周期信号的频谱特点是 ，而非周期信号的频谱特点则是 。 z 2. 函数 e 的周期为______ ___ 。 3. 积分 ∫ e − 2τ δ (τ )dτ =
−∞
t
Χ * ( w) = [ ∫ x(t )e − jwt ⋅ t ]* = Χ(− w)
−∞
∞
充分性： x(t ) =
1 2π
∫
∞
−∞
Χ( w)e jwt 1 ∞ Χ(− w)e − jwt dw = x(t ) ∫ − ∞ 2τ
x * (t ) =
1 2π
∫
∞
−∞
Χ * ( w)e − jwt dw =