算术平均数与几何平均数(第二课时)

课 题：算术平均数与几何平均数（2）

一、复习引入：

1．重要不等式：

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

2．定理：如果a,b 是正数，那么

).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3.我们称b a b a ,2

为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab b

a a

b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都

是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,CB CA CD ⋅=2，即ab CD = 这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即b a ≥+2

其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立

二、讲解新课：

1：ab ≤2

22b a +，ab ≤（2b a +）2 2． b

a a

b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 3．定理：如果+∈R

c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时

取“=”）

证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32

233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=

]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=

))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=

])()())[((2

1222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++

指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）

4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么

33

abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++ ⇒33abc c b a ≥++⇒33

abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念

如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n

a a a n +++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数

推广： n

a a a n +++ 21≥n n a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：

例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+

以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(22

22++>++

∴ca bc ab c b a ++>++222

例2 已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识

证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0

得

0,2ab cd +≥>

0.2

ac bd +≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得

()().4

ab cd ac bd abcd ++∴≥ 即abcd bd ac cd ab 4))((≥++

点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得 )1600(720240000x

x l ++= 297600

4027202400001600

2720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥x

x 当.2976000,40,1600有最小值时即l x x x ==

因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案

四、课堂练习：