3静定结构的内力分析习题解答

第3章 静定结构的内力分析习题解答
习题 是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。

（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。

（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。

（ ）
(4) 习题(4)图所示多跨静定梁中，CDE 和EF 部分均为附属部分。

（ ）
习题(4)图
(5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。

（ ）
(6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。

（ ）
(7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。

（ ）
(8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。

（ ）
【解】（1）正确；
（2）错误；
（3）正确；
（4）正确；EF 为第二层次附属部分，CDE 为第一层次附属部分；
（5）错误。

从公式0H /C F M f 可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关；
（6）错误。

荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化；
（7）错误。

合理拱轴线与荷载大小无关；
（8）错误。

一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。

习题 填空
(1)习题(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______；截面B 的弯矩大小为______，____侧受拉。

习题(1)图
(2) 习题(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩M AB =______kN ·m ，____侧受拉；左柱B 截面弯矩M B =______kN ·m ，____侧受拉。

习题(2)图
(3) 习题(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。

习题(3)图
(4) 习题(4)图所示桁架中有 根零杆。

习题(4)图
【解】（1）M C = 0；M C = F P l ，上侧受拉。

CDE 部分在该荷载作用下自平衡；
（2）M AB =288kN ·m ，左侧受拉；M B =32kN ·m ，右侧受拉；
（3）F P /2；
（4）11（仅竖向杆件中有轴力，其余均为零杆）。

F图。

习题作习题图所示单跨静定梁的M图和
Q
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
习题图
【解】
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(a)
M图F Q图
(b)
M图F Q图
(c)
M图F Q图
(d)
M图F Q图
(e)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(f)
习题作习题图所示单跨静定梁的内力图。

(a) (b)
(c) (d)
习题图
【解】
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(a)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(b)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(c)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(d)
习题作习题图所示斜梁的内力图。

习题图
【解】
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）F N图（单位：kN）习题作习题图所示多跨梁的内力图。

(a)
(b)
(c)
(d)
习题图
【解】
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(a)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）
(b)
M图（单位：kN·m）
F Q图（单位：kN）
(c)
M图（单位：kN·m）
F Q图（单位：kN）
(d)
习题改正习题图所示刚架的弯矩图中的错误部分。

(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
习题图
【解】
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
习题作习题图所示刚架的内力图。

(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
习题图
【解】
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）F N图（单位：kN）
(a)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）F N图（单位：kN）
(b)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）F N图（单位：kN）
(c)
M图F Q图F N图
(d)
M图（单位：kN·m）F Q图（单位：kN）F N图（单位：kN）
(e)
M图F Q图F N图
(f)
习题作习题图所示刚架的弯矩图。

(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
习题图
【解】
(a) (b) （单位：kN·m） (c)（单位：kN·m）
(d) (e) (f)（单位：kN ·m）
(g) （单位：kN·m） (h) (i) （单位：kN·m）
习题 试用结点法求习题图所示桁架杆件的轴力。

(a) (b)
习题图
【解】
(1)
提示：根据零杆判别法则有：N13N430F F ==；根据等力杆判别法则有：N24N46F F =。

然后分别对结点2、3、5列力平衡方程，即可求解全部杆件的内力。

(2)
提示：根据零杆判别法则有：N18N17N16N27N36N450F F F F F F ======；根据等力杆判别法则有：N12N23N34F F F ==；N78N76N65F F F ==。

然后取结点4、5列力平衡方程，即可求解全部杆件的内力。

习题 判断习题图所示桁架结构的零杆。

(a) (b)
(c)
习题图
【解】
(a) (b)
(c)
提示：(c)题需先求出支座反力后，截取Ⅰ.Ⅰ截面以右为隔离体，由30M =∑，可得N120F =，然后再进行零杆判断。

习题 用截面法求解习题图所示桁架指定杆件的轴力。

(c) (d)
习题图
【解】
(1) N P 32a F F =-；N P 12
b F F =；N P 2
c F F = 提示：截取Ⅰ.Ⅰ截面可得到N b F 、N c F ；根据零杆判断法则，杆26、杆36为零杆，则通过截取Ⅱ.Ⅱ截面可得到N a F 。

(2) N 0a F =；N P b F ；N 0c F =
提示：截取Ⅰ.Ⅰ截面可得到N b F ；由结点1可知N 0a F =；截取Ⅱ.Ⅱ截面，取圆圈以内为脱离体，对2点取矩，则N 0c F =。

(3) N 12kN a F =-；N 10kN 3b F =；N 28kN 3
c F = 提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，由
0A M =∑，得N a F ；由0B M =∑，得N c F ；再取结点A 为脱离体，由0y F =∑，得N b F 。

(4) N 5.66kN a F =-；N 1.41kN b F =-；N 8kN c F =-
提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，将N a F 移动到2点，再分解为x 、y 的分力，由10M =∑，得4kN ya F =-，则N 5.66kN a F =-；
取Ⅱ.Ⅱ截面以左为脱离体，由0y F =∑，得1kN yb F =-，则N 1.41kN b F =-；
取Ⅲ.Ⅲ截面以右为脱离体，注意由结点4可知N340F =，再由
10M =∑，得N 8kN c F =-。

习题 选择适当方法求解习题图所示桁架指定杆件的轴力。

(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
习题图
【解】
(1) N P a F F =；N 0b F =；N 0c F =。

提示：由40M =∑，可得60y F =。

则根据零杆判别原则，可知N N 0b c F F ==。

根据结点
5和结点2的构造可知，N23N350F F ==，再根据结点3的受力可知N P a F F =。

(2) N 12.73kN a F =；N 18.97kN b F =；N 18kN c F =-。

提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，由
0A M =∑，可得N 12.73kN a F =； 取B 结点为脱离体，由0y F =∑，得N 12.73kN BD F =-；由0x F =∑，可得N 18kN c
F =-； 取Ⅱ.Ⅱ截面以右为脱离体，由
0C M =∑，可得N 18.97kN b F =。

(3) N 0a F =；N P 3b F F =；N P 3
c F F =-。

提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，由0y F =∑，可得N 0a F =；由30M =∑，可得N12/3P F F =；由0x F =∑，可得N34/3P F F =-；
取结点3为脱离体，由
0x
F =∑，可得N b F ； 取结点A 为脱离体，由0x F =∑，可得N c F 。

注意N1N12A F F =。

(4) N P 13
a F F -=；N P
b F =；N 0
c F =。

提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以上为脱离体，由
10M =∑，可得N a F ； 取Ⅱ.Ⅱ截面以右为脱离体，由0y F =∑，可得N b F ；
取Ⅲ.Ⅲ截面以右为脱离体，注意由结点B 可知N 0BC F =，再由
30M =∑，得N c F 。

(5) N P a F F =；N P b F =。

提示：根据求得的支反力可知结构的受力具有对称性，且结点A 为K 形结点，故可判别零杆
如下图所示。

再取结点B 为脱离体，由
0y F =∑，可得N N P b BC F F ==； 由
0x F =∑，可得N P a F F =。

(6) N 0a F =；N P /2b F F =；N 0ac F =。

提示：原结构可分为以下两种情况的叠加。

对于状态1，由对称性可知，R 0B F =，则根据零杆判别法则可知1N 0a F =。

取Ⅰ.Ⅰ截面以右为脱离体，由0D
M =∑，可得1N 0b F =； 根据E 、D 结点的构造，根据零杆判别法则，可得1N 0c F =。

对于状态2，根据零杆判别法则和等力杆判别法则，易得到：2N 0a F =；2N P /2b F F =；2N 0c F =。

将状态1和状态2各杆的力相加，则可得到最终答案。

状态1 状态2
(7) N 0a F =；N 0b F =；N 40/3kN c F =-。

提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以右为脱离体，将N a F 移动到B 点，再分解为x 、y 的分力，由
0A M =∑，可得0ya F =，则N 0a F =；
根据结点B 的构造和受力，可得N 0b F =；
取结点C 为脱离体，可得N 40/3kN c F =-。

(8) N 25kN a F =-；N 0b F =；N 20kN c F =。

提示：根据整体平衡条件，可得H 0B F =；则该结构可视为对称结构承受对称荷载作用，而结点D 为K 形结点，则可得N 0b F =；根据E 、C 结点进一步可判断零杆如下图所示。

取结点F 为脱离体，由0y F =∑，可得N 25kN a F =-；由0x F =∑，可得N 20kN c F =。

习题求解习题图所示组合结构链杆的轴力并绘制梁式杆的内力图。

(a) (b)
(c)
习题图
【解】
(1)提示：首先计算支反力。

再沿铰C 和FG 杆将原结构切开，取某部分为脱离体，可计算得到N FG F ，然后取结点F 为脱离体，可计算得到N FB F 和N FA F ，最后取ABC 为脱离体可求得N AC F 和铰C 传递的剪力。

M 图 （单位：kN·m）
F Q 图（单位：kN ）
F N 图（单位：kN ）
(2) 提示：取DEF 为脱离体，由
0x F =∑，可得N 0DB F =；
由0E M =∑，可得N DA F qa =；由0y F =∑，可得N 2EB F qa =-。

M 图 F Q 图 F N 图
(3) 提示：由整体平衡，可得H 0F F =，则原结构可化为以下状态1和状态2的叠加。

对于状态1，利用对称性可知铰结点传递的剪力为0，即Q 0C F =，然后取ABC 为隔离
体，由0A M =∑，可得N P /2BF F =；取F 结点为隔离体，可得P yF F F =，然后考虑到对称性并对整体结构列方程0y F =∑，可得0yA yE F F ==。

对于状态2，利用对称性并考虑结点F 的构造和受力，可得N N 0BF DF F F ==；然后取ABC 为隔离体，由0C M =∑，可得P /4()yA F F =↓；则根据对称性，可知P /4()yE F F =↑。

最后将两种状态叠加即可得到最终结果。

状态1 状态2
M 图 F Q 图 F N 图
习题求习题图所示三铰拱支反力和指定截面K 的内力。

已知轴线方程24()f y x l x l
=
-。

习题图
【解】
H H 16kN A B F F ==;VA 8kN()F =↑;V 24kN()B F =↑
15kN m K M =-⋅;Q 1.9kN K F =;N 17.8kN K F =-
习题求习题(a)图所示三铰拱支反力和(b)图中拉杆内力。

(a) (b)
习题图
【解】
(1) V V A B F F qr ==；H H 0A B F F ==
结构和荷载具有对称性，则V A F 、V B F 等于半个拱荷载的竖向分量：
2V V 0
cos A B F F qrd qr π
ϕϕ=⋅=⎰= 再取左半拱为隔离体，由0C M =∑，可得
2H 0sin 0qr r F r qrd π
ϕϕ⋅-⋅-⎰⋅=，则H 0F =
(2) V 5kN()A F =↓；V 5kN()B F =↑；N 15kN()DE F =拉力
习题 求习题图所示三铰拱的合理拱轴线方程，并绘出合理拱轴线图形。

习题图
【解】由公式0H
()()M x y x F =可求得 250441648413224881282x x m y x m x m x x m x m ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⎛⎫-+-≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩ 习题 试求习题图所示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。

习题图
【解】
44kN m K M =⋅；Q 4.7kN K F =-；N 3.12kN K F =
提示：取下图所示脱离体进行计算。

在图示坐标系下，拱轴线方程为222
(10)10x y -+=。

则截面K 处切线斜率为： '
24tan 3
x y ϕ=== 由AK 段的平衡条件，即可求得截面K 的内力。