第2讲 参数方程

第2讲参数方程一、知识梳理

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求

出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），

y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与

普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．

2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

常用结论

经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，

B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t 0＝

t 1＋t 2

2

； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|；

(4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 二、教材衍化

1．已知曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)，点M (－6，a )在曲线C 上，则a ＝ ．

解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－6＝3t ，a ＝2t 2

＋1，所以⎩

⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝9.

答案：9

2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，

y ＝2

2t

(t 为参数)，与圆C ：(x －

3)2＋(y －3)2＝4交于A ，B 两点，求|AB |.

解：将直线l 的参数方式代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫22t －12＋⎝⎛⎭

⎫22t －32

＝4， 即t 2－42t ＋6＝0，设两交点A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，从而t 1＋t 2＝42，t 1t 2

＝6，

则|AB |＝|t 1－t 2|＝

（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 2.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），

y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )

(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t

的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →

的数量．( )

(3)已知椭圆的参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π

3，点O

为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、易错纠偏

常见误区(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误．

1．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，

y ＝－1＋cos 2θ

(θ为参数)，求曲线C 的普通方程． 解：由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，

⎩⎪⎨

⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ

y ＝－2sin 2

θ

⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t

(t 为参数)，曲线C 的普

通方程为(x －4)2＋(y －3)2＝4，设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值．

解：设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，

将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，

y ＝1＋3t

(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4， 得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，

所以t 1t 2＝1，

直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t

y ＝1＋3t

(t 为参数)，

可化为⎩⎨⎧x ＝2＋1

2

（2t ）

y ＝1＋3

2（2t ）

，

所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.

参数方程与普通方程的互化(师生共研)

已知曲线C 1：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，

y ＝3＋sin t (t 为参

数)，曲线C 2：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示

什么曲线．

【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 2

9

＝1，

曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常