非线性滤波及其在组合导航系统中的应用

响应的明确 表达式 。 卡尔曼滤波突破 了维纳 滤波对于平 稳随机过程的限制 ，同时它 随时间而 递推的算法 结
构非常适合于计算机 的实时处理 ，因此在许多工程领域都取得 了极大 的成 功 。然而 ，现实 生活 中还有 许多工程 实际 问题都具有非线性的模型 ，这就促使 人们去研究和探索各 种非线 性 的滤波方法 。 目前滤 波理论的研究 已经跨越 了对于维纳滤波 和卡 尔曼滤波本 身的研究 阶 段 ，而致力于寻求 非线性滤波严 格正确 的数学描述 ，并希 望最终能够得到象 解决线性滤 波 那样的统一的而 不是个别的方法 。这是对滤波理论 问题研 究的一种 自然 延伸 ，可 以说这 种
计就是其 中— 个典型 的实例 。由非线性欧 拉方程所描述 的系统动 态方 程显示 ，每～根轴上 的 角加速度 在和施加于这 根轴上的力矩成 正 比的同时 ，还 正 比于其 他两根轴上的 角速度之 积 。常规的 Ｅ Ｆ在处理 这种强本质非线性 问题时显 得无 能为力 。 Ｋ 为了解决这一 问题 ， 近年 来 Ａ ｒｉ 出了一种全新的耦合滤波方法 （ｎｅｌ ｅ ａｍ ｎＦｌ ｒ ｇ 简称 Ｉ ）１。 １ ｎ提 ａ Ｉｔ ａ ｄＫ ｌ ａ ｉｅｉ ， ｒｃ ｔ ｎ ｌ ［ 。他 ‘ 将 非线性欧拉模型分解成两个等价的伪线性模 型 ：基 本模型和辅 助模型 ，分别 用来描述状 态 向量中线性项和非线性项 的动态行为 。同时运行 两个相互耦合的离散时 间线性卡尔曼滤 波器 ，分别对系统状态 向量 中线性项和非线 性项进行估计 ，最后再将各 自的估计结果进行 综合 ，从而在没有对模型进行线性化处理 的前 提下 ，得到了非线性系统状 态变 量的一种次 优估计 。它的原理框 图如 图 １ 所示 。工程 实践证明 ，这种耦合滤波方法 既具 有线性卡尔曼 滤波简单 、高效和 收敛速度快 等优点 ，同时 又克服了常规广义卡尔曼滤波所 固有的一系列 缺点 ，是近年来 非线性 滤波研究领域所取得 的—个重大进展 。 为 了解 决造价 低廉的无 陀螺小卫星 的角速 率估计和姿态确定 问题 ， ｕｈ在 Ａ ｇ ａ Ｒｔ ｌｒ ｎ工 ｉ 作的基础上 又提 出了一种次优的广义耦合 卡尔曼滤波器 （Ｉ Ｆ ［ 。他将非线性的系统模 Ｅ Ｋ ）１ 引 型和观测模型转 化为三 组等价的伪线性模型 ，利用卫星传感器获得 的观测 向量及其微 分作 为滤波输入 ，同时 运行三 个线性卡尔曼滤 波器 ，对卫星 的角速率进 行粗估计 。然后再把经 过预处理得到 的角速率 的滤波估值再次通过 Ｅ Ｋ Ｉ Ｆ进行精估计 ，最 终得到卫 星角速率 的一 种次优估计 。这种方法 有效 地解决了多传感 器小卫星的角速率估计和姿 态确定 中有效观测
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１９ ９ ９年
非 线性 滤 波 及其在 组 合导航 系统 中 的应 用
—
题 宣泰
北京 １０ ８ ） ００４
气 、
・
（ 华大 学 清
ｌ ④
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摘
要
非线 性 滤 波 理 论 的研 究 在近 年 来取 得 了很 大 的 进 展 ，相 继 出现 了一
平滑的先例 。 来 ， ｃ ｍｉｔ 后 Ｓ ｈ ｄ 通过正交变换 把这 种方法 推广到有系统噪声 时的情况［ ，Ａ ． ７ ｎ ］ ｄｅ ｓ ｒｗ 则通过对 时 间序列 的处理将其推广到 测量量 为 向量时韵情况 ［ 。为 了解 决缺乏先验 ａ ］ 知识 滤波初 值难定的 问题 ，Ｆ ａｅ 提 出了信 息滤波算法【 ｒｓｒ 引，即传递信 息矩 阵 Ｐ 一 替协方 代 差矩 阵 ， 以后发 展为平方根信息滤波 与平滑算 法 ， 这种算法对测量更 新特别有效 。 ０ ７ 年
１ 非线性滤波的发 展历史和研究现状
滤波是 现代 通信和控制工程 中常用的信号处理方法之一 。所谓 滤波 ，就是通过对 一系 列带有误差 的实际测量数据的处理来滤除信号 中的干扰 ，从而尽 可能地恢 复—个被 噪声干 扰 了的信息流 的问题 。 世纪 ４ 年代 ， 本 ０ 近代控制论和信 息论 的创始人维纳创造性 地把 统计 学的观点引入到通信与控制领 域 中来 ，针对 平稳时 间序列 的最 小均方误差估计 问题提 出了 著 名的维纳 滤波理 论［ 。但是 维纳滤波所 涉及到的维纳一 ｊ ］ 霍甫方 程 的求 解存 在着极 大 的 困 难 ，从而极大地 限制 了它的进一步应用和 发展 。６ 年代 ， 尔曼成功地将状 态变 量的概念 Ｏ 卡 引入到滤波理论 中来 ，用信号与干扰 的状 态空间模型代替了通常用 来描述 它们的协方差 函 数， 将状态 空间描 述与时 间更新联系起来 ， 出了著名的卡 尔曼滤波递推算法［［ 。 提 ２引 同维 纳 ］
１ ２ 非线性滤波 的分解算法 ． 作为一套递推 算法 ，卡 尔曼滤波 在数字计算ｔ ３ 实现 时难免会遇 到各 种各 样的数值计 ｔ＝ ｔ
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导
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算 问题 。其 中比较典型 的就 是协方差矩 阵在递 推过 程 中由于失去其正 定性而导致 的滤波值 的不稳定甚至滤波 发散 的现象 。 针对这一问题 ， ｏｔｒ 出了平 方根协 方差滤波算 法 。 Ｐｔ 提 ｅ 他 把 按 Ｃ ｏｅｋ ｈ ｌ ｙ方法 分解为下三角阵 即 尸 ＝ ｓ ． 。 递推过程 中 ， 播 即 可保证 在 传 的正定性 。这种算法经过 登月舱 几次应用都很成功 。 ｏｔｒ Ｐ ｔ 开创 了平方根 协方差滤波与 ｅ
特 点 ，介 绍 了近 年 来 涌现 出来 的 与之 相 关 的 各 种滤 波算 法 。通 过 对 各 种 算 法 性 能 的比 较 ，揭 示 了组 合 导航 系统 中非 线 性滤 波技 术 的未 来 发 展 方 向 。
关 词 — ！——、 全—一’ １’ 键 查 —兰— —苎 ，１（ 一 一 ！—奎 —一 Ｔ — —— 兰 兰 — 自 — Ｊ
将系统方程和量 测方程进行 线性化的 。以连续系统 为例 ： ｆ （）＝ Ｘ（）ｔ ｆ ｆ， ３＋ Ｇ（） （） ｆＷ ｆ
ｌ （）＝ ＾ｘ（ ， ｆ ｚ ［ ｆ ｔ Ｖ（ ） ３＋ ｆ ） 式中 厂［］和 ｈ［］分别是 维和 维 的非线性 向量 函数 。线性化 以后 的方程 为 ： ． ．
ｆ ｒ ＝ ． Ｘ（）ｚ肌） ＋ Ｆ（）Ｘ（）一 Ｘ（）Ｇ（） （） 艾（） ７ ， １ ［ ］ ． 血 ｆ［ ｚ ｚ］ ｆＷ ｆ
ｌ （ ＝ ＾ｘ（ ， ｘ） 。 Ｈ（ ［ ｆ 一 ｘ（ ｌ ｙ ｔ ｆ ｚ ） ［ ｆ ｔ ｃ 敷） ） ３ １ ＋ ｆ ｘ（ ． ） ） ｔ ＋ （ ） ）
代 ，为了使 广 义卡 尔 曼滤 波能 够在微 机 上 得 以实现 ，Ｃ ｒ ｏ ａｌ ｎ提 出了快 速 序列 平方 根滤 ｓ 波 ｒ ，避免 了复杂 的矩 阵运算 。Ｂｅｎ 在此基 础上提 出了计 算效率 更高 的 Ｄ 分解算 ｌ ｉ ｍ￣ ｒ 法［］ １。他把协方差 阵分解 为上 三角阵 和对 角阵 Ｄ ，即 Ｐ ＝ ＵＥ １ Ｕｒ。 上 相 当于协方差
目前工程上 广泛 使用 的各种非线性 滤波方法都 是近似 的 ，其中最为简单 同时也是应用 最广的一种方法就是 对非线性方 程进行线 性化 处理 ，然后 再按照线性化 的方 程进行滤波 估 计 。广义卡 尔曼滤 波 （ Ｋ ）就 是最 为常用的一种线 性化滤波方法 ，它是 围绕着 状态估值 Ｅ Ｆ
些次 优 和 最 优 的 非线 性 滤 波 算 法 。本 文首 先 对滤 波 理 论 的研 究现 状 作 了一 个 系统
一
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的总 结 ， 同时 对现 有 各 种 非线 性 滤 波 方 法 的 效 率 和 精 度 进 行 了认 真 的 分 析 和比 较 。
在此基础上 ，指 出 了未 来非线性滤波 的发展趋 势。最后 针对组合 导航 系统 自身的
１３ 耦合滤波方法 ．
众所周知 ，卡 尔曼滤波 器之所以能够 获得如此广泛 的应用就是 因为它可 以推广到非线 性系统 。然而 ，广 义卡 尔曼滤波 器的滤波效果 在很多情况下并不能令 人满意 。模型的线性 化误差往往会严重地影 响最终的滤波精度 ，甚 至导致滤波发散 。飞行 载体的三维 角运动估
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第 ３期
赵ｊ 等 ・非线性滤波及其在组合导航系统中的应用 Ｉ Ｉ
向量维数随 环境不断变 化的问题 ，具有很强 的实用性 。 角速率估计值 Ｘ 门 （）
滤波一样 ，卡 尔曼滤波也是一种 基于最小均方误差准则的线性滤 波器 。所不同的是 ，维纳 滤波运用的工具 是频域 中的传递 函数 ， 而卡 尔曼滤波所运 用的工具 则是 时域 中的状态方 程 ； 并且卡尔曼滤波给 出的是表征 系统状态估值及其均方误差的微 分方程 ，得到 的是最 小均方 误差准则下 的一套递推算法 ，而 不是象维纳滤波那样追求这 一准则下滤波器最优 单位冲激
式 中
＝
＝
非线性 系统广义卡 尔曼滤波方程 为 ：
（ ｆ ｆ Ｒ（ ｔ ÷Ｋ（）ｚ（） ）＝ ［ ｏ， － ｆ ｛ ｆ 一 ３’
（ ）＝ Ｐ（ ） ｒ（ ） ｚ ｚ ｔ月 ｚ Ｒ一 （）
（）ｔ ） ｆ， ３
户（）＝ Ｆ（） ￡ ｆ ｆ Ｐ（）＋ Ｐ（） （）一 Ｐ（） （） 。ｆＨ （） ｆ ｆＦｒ ｆ ｔＨｒ ｆＲ一 （） ｆＰ（）＋ Ｇ（） ｆＧｒ ｆ ｆＱ（） （）
估计来 降低线性化 误差 ， 而后者则是 在把离散化方 程 围绕着参 考估值进 行台劳 （ ａｌｒ 展 Ｔ ｙｏ） 开 时 ，不仅取到 一阶项而 目取到 二阶项 ，以此来 降低 线性化误差的影响 。 近年来 ，在 广义卡 尔曼滤波 的基础上又 出现了许 多新的非线性滤波算法 。Ｓ ｎ ［提 出 ｏ ｇ｜ ］ 了一种变增益 的广 义卡 尔曼滤波器 ，并给 出了使这种 滤波器均方误差 指数 有界 的—个充分 条 件 。 ｕ ｋ ｎ ｎ运用并行卡 尔曼滤波技术墨 ， Ｒ ｏｏ ｅ ］ 研究 了动态系统的故障检测 问题 ， 保证 了在 任意给定的 阈值 条件下 决策过程的渐近稳定性 。