如何认识三角形的_稳定性_

思想

内角和，圆周长与直径的比值关系（圆周率），圆锥体积与圆柱体积的关系，等等。在课堂教学实践时，少数学生（通常是学习能力强的学生）由于通过阅读课本或者家长辅导等途径提前了解了教学内容，往往在开课阶段就按捺不住兴奋而提前公布“答案”，这样必定会对教学进程产生一定的干扰。课堂中出现这样的情形时，教师不妨因势利导，组织学生开展对话、讨论，将他们引向更深层次的学习和思考。

首先与“公布答案者”对话：“你的结论或规律是怎样知道的？你自己做过实验吗？你的实验过程和实验数据是怎样的？与结论相符吗？”

这个环节中，教师需要对学生主动学习的热情和习惯进行鼓励，对于热心辅导学生学习的家长，也要向学生表示对他们的感谢。但不要急着对结论和规律作出评价，而要追问这些学生实验的过程，提醒他们在自学课本的同时仍然需要（或者说更加需要）开展实验研究，培养他们的质疑态度和实践精神。

然后，与其他学生对话：“有不一样的实验结果或学习体验吗？谁愿意把自己研究的情况与我们分享？”

在这个环节中，教师要特别赞赏学生在实验过程中付出的努力，尊重他们每一个真实的研究结果，培养学生不人云亦云、求真务实的学习态度。

当有了各种不同的实验数据以后，教师要充分利用这些数据，引导学生开展讨论：“从这些数据中你能发现什么？能做出什么推测？这些数据存在误差的原因可能有哪些？如何改进实验，缩小误差？”

在这个环节中，教师尤其要重视那些与标准答案存在偏差的数据，因为这是来源于学生实验的第一手资料，能够让学生认识到“错误也是可以被利用的”。教师可以引导学生对实验过程进行反思和调控，体会“用实验操作法证明结论是不全面的”、“实验可以帮助我们提出猜想，做出大致的判断”，从而培养学生严谨科学的学习态度。

虽然这样的教学处理可能会花费很多时间，但我觉得还是非常值得的。课堂学习活动没有停留在对知识点的灌输上，而是深入到学生独特的学习体验中，还原完整的探究过程。通过讨论、交流、思辨，学生真实的想法得到展现，视野被拓宽，科学态度和独立精神得到培养，这些都会有益于学生未来的学习和发展。

（作者单位：湖南民族职业技术学院附小）

如何认识三角形的“稳定性”

张新春

稳定性概念本来是用来讨论物理学上的静止平衡状态的。某一种平衡状态若受到一点小的扰动，不至于产生巨大的变化，这种小的扰动会一直保持很小甚至逐步消失，则说这一平衡状态是稳定的。比如不倒翁就是一种稳定的平衡——

—处于平衡位置的不倒翁，若有外力使它稍稍离开平

衡位置，则会产生一种运动，但

这种运动会慢慢消失，不倒翁

仍将回到平衡位置。而一个竖

立的鸡蛋，只要正好位于其与

地面接触的点的正上方，理论上也可以处于静止状态。但任何很小的扰动都足以使这种平衡状态被破坏。从而，我们说竖立在地面上的鸡蛋是不稳定的。

除了物理学，其他学科也有稳定性的概念，比如化学中讲某物质的化学性质稳定。而数学中讲的稳定性，则大多是指微分方程的解的稳定性。这个稳定性指的是初始值的一点小改变，不会引起整个解的大的改变。

不论是物理学中讲的静止平衡状态的稳定性，还是数学中讲的微分方程的解的稳定性，都是指某一对象（或某一状态）在一定程度的外部影响下所表现出来的性状。

在小学数学中，我们也讨论三角形的“稳定性”。但这种“稳定性”显然不同于上述物理学中讨论静止平衡状态的稳定性，也不同于数学中讨论微分方程的解的稳定性。

以人教版的课标教材为例。四年级下册中关于三角形的稳定性是这样编排的（如下图所示）。

教学参考书

对这一段的编写

意图是这样描述

的：稳定性是三角

形的重要特性，在

生活中有着广泛

的应用。对它进行

教学，可以让学生

对三角形有更为全面和深入的认识，有利于培养学生的实践精神和实践能力。教材对这一内容的设计思路是“情境、问题—实验、解释—特性应用”。

无论是教材还是教学参考书，都没有对“稳定性”在此具体表示什么意义作明确的界定。

从教学实

思想

践来看，主要存在两类认识。一类认识是认为三角形的稳定性就是如教材中所描述的：三角形的实物“拉不动”；另一类认识是认为三角形的稳定性是指当三角形的三条边的长度确定后，这个三角形就被唯一确定了。当四边形的四条边的长度确定后，这个四边形并不能唯一确定（即存在两个形状不同的四边形，它们的四条边长度对应相等，这样的两个四边形很容易构造出来），因此，我们说四边形不具备稳定性。

这两种认识各有优点。“拉不动”一说直观，学生容易感受，也不违背科学性。“唯一确定”一说精确，严谨，数学味浓。而且，可以认为这两种观点在一定程度上是一致的：“拉不动”是抽象的三角形的数学性质（三边唯一确定三角形）在现实的物理世界中的体现。

但这两种认识在教学实践中都会遇到一些问题。一方面，对于“拉不动”一说，有学生指出，用钢铁焊接成一个四边形，也拉不动（事实上，尽管四边形不具备“稳定性”，现实生活中大量需要“稳定”的东西，依然会做成四边形的，门窗之类即是如此）。这与四边形不具备“唯一确定”意义下的稳定性似乎矛盾。另一方面，按“唯一确定”一说，也有一些不太好解决的问题。比如：正方形有没有“稳定性”？正方形当然是“拉得动”的，从这个意义上讲，正方形没有“稳定性”。但确定正方形的边长后，正方形也唯一确定了。按“唯一确定”的认识，正方形又是有“稳定性”的。

笔者认为，在小学数学中，把“稳定性”处理成“拉不动”，是符合学生的认知规律的。不过，要强调的是，在教学实践中，除了“拉一拉”，还应该让学生用三根小棒摆一摆三角形——

—全班同学不需商量，各自独立摆，摆出来的一定是完全一样的三角形。这样可以让学生感受到三角形的这种特性。还可以通过用对应相等的四根小棒摆四边形来作对比：甲与乙的四根小棒长度是对应相等的，但两人可以摆出形状不同的四边形。

另一方面，我们也应该认识到，这里的“稳定性”，指的就是“确定性”，即在一定的条件下可以唯一确定一个图形。只是三角形的这种确定性，在物理上表现为“拉不动”，其他图形的确定性，则不一定有这种表现。比如正方形即是如此：正方形可以由四条边唯一确定，但不具备“拉不动”的表现。

（作者单位：长沙市岳麓区教研室）

现在，我们终于将一根毛线引发的事件的原因找到了：是物体的物理属性在作怪。不管是线段的位置，还是测量的误差，以及稳定性也好，都是物理属性造成的。

生活中的毛线，不可能没有宽度和厚度，也不可能完全是直的。正是这样的属性，让生活中的毛线与数学中的线段有了一道不可逾越的坎。由此可见，生活中的物体与数学中的几何图形是有本质区别的，其区别在于：数学中讲的图形，是抛弃了厚度、宽度、颜色等所有物理性质的，但又具有一类物体的共有属性。

于是，不管老师怎么样形象描述，“将毛线拉直，就成了一条线段”、“一只蝴蝶是对称图形”这样的话总是不那么正确的。在“几何图形的认识”教学这一块，老师们普遍容易犯这样的错误。

数学世界是从生活世界原型中提炼出来的抽象模式。有鉴于它们之间的隔离会带来消极的后果，我们赞成教学时可以借鉴生活世界，以帮助学生更好地理解数学世界，但这并不等于教学应回归生活世界，并不等于数学世界回归生活世界。当我们说“生活中有数学”，说“生活中的数学”时，其实是说，生活中有数学的素材，有数学的应用，也有数学发展的课题与动力。我们认为，图形的教学，乃至整个数学教学，既要贴近生活，更要超越生活；既努力从生活中来，又努力回到生活中去，还要在来与去之间努力超越。

也就是说，生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能给我们提供太多的理性承诺。所以数学教学必须也应该着眼于社会生活中无法获得、而必须由数学教学才能获得的经验。

教学中，我们要怎么做才能避免出现上述状况呢？具体到课堂中，从上述几位老师的观点中可以总结出，我们需要让学生经历“数学化”的过程，这样才能巧妙越过生活原型与数学模式之间的坎。

怎么“数学化”？数学化这个过程需要不同程度地经历辨别、分析、类化、抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤。在教学条件下，通常的做法是从大量具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，通常是沿着“具体—半具体、半抽象—抽象”的路线前进。其中比较关键的是如下5个步骤：（1）辨别一类事物的不同例子；（2）找出各例子的共同属性；（3）从共同属性中抽象出本质属性；（4）把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使概念与已知的有关概念区别开来；（5）把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延。

当然，最为重要的是，老师们要对数学知识的深层结构有本质的洞察。如果我们本身对数学知识都没有看透，要从生活世界中去找它的一个恰当原型就勉为其难了，就算勉强找到，也是盲目的、肤浅的。