二元关系

rij = 1当且仅当aiRbj,
rij = 0当且仅当aiR’bj。
例 设A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, 定义A到B的
二元关系R: aRb当且仅当a整除b。 R={‹2, 2›, ‹2, 4›, ‹2, 6›, ‹3, 3›, ‹3, 6›, ‹4, 4›}

如何定义关系

关系是有序对构成的集合
例：集合A={1,2,3,4,5,6,7}被3整除的余数相等关系为： {<1,4>,<4,1>,<1,7>,<7,1>,<4,7>,<7,4>,<2,5>,<5,2>,<3,6>,<6,3>} ={{{1},{1,4}},{{4},{4,1}},{{1},{1,7}}………….}
R = {‹2, a›, ‹2, b›, ‹3, b›, ‹4, d›, ‹6, d›},
则dom R = {2, 3, 4, 6},
ran R = {a, b, d}。
图 2.1.1
笛卡尔积的性质
例 设A = {a, b, c}, B = {0, 1}, 则
A B = {‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›, ‹c, 0›, ‹c, 1›} B A = {‹0, a›, ‹0, b›, ‹0, c›, ‹1, a›, ‹1, b›, ‹1, c›} A A = {‹a, a›, ‹a, b›, ‹a, c›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹b, c›, ‹c, a›, ‹c, b›, ‹c, c›} B B = {‹0, 0›, ‹0, 1›, ‹1, 0›, ‹1, 1›} 由定义知
2 3 4 5 6 2 1 0 1 0 1
MR= 3 0 1 0 0 1
4 0 0 1 0 0
由于逆关系矩阵MR-1是关系矩阵MR的转置, 所以 2 3 4 2 1 0 0 3 0 1 0 MR-1 = 4 1 0 1 5 0 0 0 6 1 1 0

矩阵表示法下的关系运算
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用矩阵表示关系, 便于在计算机中对关系进行存储和运
第二章
关 系 (Relation)
1. 关系的有关概念和定义
2. 二元关系的表示方法和关系运算
3. 二元关系的性质(类型) 4. 二元关系性质的判定 5. 等价关系
宇宙间存在着形形色色的联系, 这些联系正是各门学科所要研究的主要问 题。
例 自然数集合N={1,2,3,….}与偶数集合O={2,4,6,8,…..}存在一一推导关系：O = N × 2

设R是A到B的一个二元关系, 若‹a, b›R, 则称a与b有关系R,
记作aRb。
若‹a, b›R, 则称a与b没有关系R, 记作aR’b 例 设 A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}, 定义A到B的二元关系R: ‹a, b›R当且仅当a<b, 则称R为A到B的“小于”关系。 R = {‹1, 2›, ‹1, 4›, ‹1, 6›, ‹1, 8›, ‹3, 4›, ‹3, 6›, ‹3, 8›, ‹5, 6›, ‹5, 8›} 是A到B的一个关系, 显然R A B。 而 ‹3, 2› R, ‹5, 2› R, ‹5, 4› R； 分别记作 3R’2, 5R’2, 5R’4。
定理 对任意有限集合A1, A2, …, An, 则 A1 A2 … An也是有限集, 且 |A1 A2 … An| = |A1| |A2| … |An|。 Proof1 用归纳法加以证明。 ▎ Proof2 排列组合问题 例 在计算机内的字是由固定的n个有序二进位所组成, 它的全体可 以表示成有序n元组的集合: A = {0, 1}, An = AA…A = {‹a1, a2, …, an› | aiAi, n个 i = 1, 2, …, n }。
{(1,4),(4,1),(1,7),(7,1),(4,7),(7,4),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)}
关系是建立在集合之上的。 关系可以建立在两个集合之上，也可以建立在一个集合之上
关系的元素是一对对的元素，称为序对，且是有序对，即前后不能颠倒
§1 关系的基本概念

定义：设a，b为某集合的元素，称集合｛｛a｝，｛a , b｝｝为二元有序对，或序 偶（ordered pairs），简记为<a， b>。称a为<a，b>的第一分量（第一元），称b 为第二分量（第二元）。
I I
这个关系表示为： {(1,2),(2,4),……}
例 课程集合C={离散数学,数据库原理，C/C++}
教师集合T={陈海波, 孙麒,吕晓华,陈新} 由谁授课关系为{(离散数学,陈海波),(离散数学,孙麒),(数据库原理,吕晓华),(C/C++ ,陈新)}
例 集合A={1,2,3,4,5,6,7}被3整除的余数相等关系为：

一个有限集合A上的关系R还可以用一个称为R的关系图来表示, 其优点是直观清晰。
分析关系性质的方便形式, 但不便于进行运算。
定义 A上关系R的关系图(graph of relation) G(R) =〈A, R〉是 一个有向图, 其中
(1) A中的每个元素分别用一个顶点表示;
(2) 当且仅当xRy时, 用弧或线段联结x和y; (3) 若xRx, 则在x处画一条自封闭的弧线。
A},则称R为A上的恒等
R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
R3={<1,1>,<3,3>}
定义 设R AB, 则关系R–1 = {‹b, a› | ‹a, b›R} BA, 称为关系R的 逆关系(inverse relation)。 由定义, 只要将R的每一个序偶中元素次序加以颠倒, 就得到逆关系R–1的 所有序偶。 例 设A = {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4}, R = {‹a, 2›, ‹b, 2›, ‹b, 3›, ‹d, 4›}, 则 R–1 = {‹2, a›, ‹2, b›, ‹3, b›, ‹4, d›}。 注意：逆关系和补关系的区别 R–1 <> R’
算, 并可充分利用线性代数中矩阵的结论。由线性代数 知： 关系并、交、差、补的矩阵可如下求取: MR∪S= MR∨MS(矩阵对应分量作逻辑析取运算) MR∩S= MR∧MS(矩阵对应分量作逻辑合取运算) MR–S = MR∩S’ = MR∧MS’ MS’ = M’S (矩阵对应分量作逻辑非运算)


注意: 关系图中顶点的位置, 弧或线段的长度可任意。 R = {‹a, d›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹c, c›}, 图给出A上R的关系图。
定义 空集为n (≥2)元空关系, 简称空关系
定义 若一个n元关系R本身是笛卡尔积A1A2…An, 则
称R为全(total)关系。 UA= {‹ai, aj› | ai, ajA}为A上的全关系。 定义 若R是A上的关系且满足R={<a,a>|a 关系，记做IA A={1,2,3} R1={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>,<2,3>}

定义 设R A B, A的一个子集
{a | aA, 存在bB, 使得aRb}, 称为R的前 域(domain), 记作dom R。B的一个子集 {b | bB, 存在aA, 使得aRb}, 称为R的值 域(range), 记作ran R。
例 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {a, b, c, d},
个不同的二元关系。
关系的另一种定义 定义 笛卡尔积A1 A2 … An 的任意一个子集R称为A1, A2, …, An 上的一个n元关系。 当A1 = A2 = …= An = A时, 称R为A上的n元关系 特别地, A1 A2的任意一个子集称A1到A2的一个二元关系。 二元关系主要是描述两个集合之间元素与元素的关系或者是一个 集合内部元素之间的关系。
ABBA
(除非A = 或 B = 或 A = B) 即笛卡尔积不满足交换律。
笛卡尔积的性质 例 设A = {a, b}, B = {0, 1}, C = {u, v} 则
A B C = {‹a, 0, u›, ‹a, 0, v›, ‹a, 1, u›, ‹a, 1, v›, ‹b, 0, u›, ‹b, 0, v›, ‹b, 1, u›, ‹b, 1, v›} (A B) C ={‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›} {u, v} ={‹‹a, 0›, u›, ‹‹a, 0›, v›, ‹‹a, 1›, u›, ‹‹a, 1›, v›, ‹‹b, 0›, u), ‹‹b, 0›, v), ‹‹b, 1›, u), ‹‹b, 1›, v›} A (B C) = {a, b} {‹0, u›, ‹0, v›, ‹1, u›, ‹1, v›} = {‹a, ‹0, u››, ‹a, ‹0, v››, ‹a, ‹1, u››, ‹a, ‹1, v››,
定义 设A1, A2,…, An是任意的n个集合, 所有有序n元组 ‹a1, a2, …, an›组成的集合, 称为集合A1, A2, …, An 的 笛卡尔积, 并用A1 A2 …An 表示。其中 ai Ai (i = 1, 2, …, n)。即
A1A2…An= {‹a1, a2,…,an›| aiAi, i =1, 2,…, n} 笛卡尔积也称为直接积 问题“给定两个集合，可能有多少个有序对”转换为求笛 卡尔积的基数
▎
§2 关系的表示方法和关系运算

1.集合表示法 2.表格表示法 3.矩阵表示法 4.图形表示法
定义 设A={a1, a2, …, an}, B={b1, b2,…, bm}是两个有
限集, R AB, 则称n行m列矩阵MR = (rij)nxm为R的关 系矩阵(matrix of relation)其分量

关系与集合的共性：

集合的所有性质和运算，同样适用于关系

关系与集合的不同：
<a,b> 不等于<b,a>说明：A={a,b}与B={b,a}则A=B, A={<a,b>},B={<b,a>},且a<>b，则A<>B


两个问题： 1）给定两个集合，可能有多少种关系 2） 给定两个集合，可能有多少个有序对
▎
笛卡尔积的性质
定理 设A, B, C, D为四个非空集合, 则 A B C D的充分必要条件是A C, B D 证明 必要性: 若A B C D, 又A, B, C, D都不是空集, 故对任意的aA, bB, ‹a, b› A B C D, 则aC, bD, 因此A C, B D。 充分性: 略
‹b, ‹0, u››, ‹b, ‹0, v››, ‹b, ‹1, u››, ‹b, ‹1,
由定义知 (A B) C A (B C) (除非A = 或 B = 或 C = ), 即笛卡尔积不满足结合律。
v››}
笛卡尔积的性质 定理 设A, B, C为任意集合, *代表∪, ∩或–运算, 则 A (B * C) = (A B) * (A C) (B * C) A = (B A) * (C A) 证明 我们仅证明A (B∩C) = (A B)∩(A C), 另外 五个公式可类似地证明。 ‹x, y› A (B∩C) xA∧y(B∩C) xA∧(yB∧yC) (xA∧yB)∧(xA∧yC) ‹x, y› A B∧‹x, y› A C ‹x, y› (A B)∩(A C)。
例 任意两个集合A、B, 若|A| = n, |B| = m, 问A到 B共有多少不同的二元关系?
解 因为笛卡儿积A B的任意一个子集都是A到B的关系,
本问题等价于求A B有多少不同的子集。 由幂集的定义, 问题又等价于计算幂集的基数是多少。 所以A到B共有 |P(AB)| = 2|AB| = 2|A||B| = 2 nm