立体角确定形状

三河市第七届青少年科技创新大赛科学论文评选

立体角决定形状——论棱柱

姓名：王泽远

单位：燕郊中学九年级九班

日期：11月15日

立体角决定形状——论棱柱

内容摘要：

平面封闭图形有自己的内角和，不同图形的内角和也不同。对于立体图形来说，它也有自己的“角度”，称之为立体角。不同立体图形立体角之和不同。本文从生活之中引入立体角概念，即一个锥面所围成的空间部分称为立体角。关于立体图形的形状，应敏感意识到是立体角之和决定的，本文便证明了这句话的正确性。立体角本是抽象概念，本文却另辟蹊径、别出心裁地将立体角和球面结合，使其形象化。于是以棱柱为敲门砖，推导出（n-2）/2这个公式，打开了立体角世界的大门，窥见立体图形的实质。

在我们生活中，随处可见各种各样的图形。尖尖的三角形，圆圆的球体，方方的立方体，扁扁的长方体。我们接触最多的应属立体的东西了吧？是的，我们生活在一个具有长度、高度、宽度的三维空间里，立体图形可谓是比比皆是。那么，到底是什么决定我们的外在形状呢？

对于由线段组成的封闭平面图形来说，如果知道了它的内角和，我们便可以知道它的形状。如：内角和180度的图形是三角形，内角和360度的图形是四边形。而立体图形的形状也应是由它的“角度”决定的。

立体图形的“角度”必定和平面角度有所不同。也许你有这样的经历:我们在洗澡或玩吹泡泡游戏时，泡泡正好落在角落里，想想看，这时它已不再是一个球体，倒像是被切了几刀的西瓜。这就是所谓的立体图形的“角度”吗？由于不是初中范围内的知识，先抛开名称的对错，暂且称之为“立体角”。从此事中可以窥见立体角的概念：“一个锥面所围成的空间部分称为立体角。”立体角是以锥的顶点为球心，半径为单位“1”的球面被锥面所截得部分的面积来度量的。如此来说，把这个立体角单拿出来，就可以和球面做一些比较了。

形象的来讲，把泡泡吹在规整的墙角，它就像被切了三刀的球体。如图：每一条棱之间的平面角是90度，就像被横着切1/2，然后竖着切1/2，最后纵着切1/2。如文末图1。相对于一个完整的球面来说，它的立体角是：1/2×1/2×1/2=1/8个球面。我们再来看看一个长方体。它有8个像这样的角，那么就是1/8×8=1个球面。也就是说，在每个角吹一个泡泡，把它拿出来再拼在一起，正好拼成一个球！

我们应会举一反三，来算算棱柱的立体角吧。

先说三棱柱。使它的底面和顶面是等边三角形。如文末图2。60度是180度的三分之一，一个立体角为：1/2×1/2×1/3=1/12.三棱柱有六个这样的立体角，则：1/12×6=1/2（个）.意思就是它的所有立体角可以拼成1/2个球体。然后是四棱柱。其实长方体算是四棱柱，已提过它的立体角之和为1（个）。接着是五棱柱。还使它的底面和顶面是正五边形。正五边形一个角为[180×（5-2）]/5=108度.108度是180度的3/5.五棱柱有十个立体角。那么1/2×1/2×3/5×10=3/2.(个)。最后是六棱柱，底面顶面正六边形的棱柱，还是一样的方法。算出它的立体角之和是1/2×1/2×2/3×12=2(个)。由此可以看出这是有规律的：三棱柱1/2（个），四棱柱1（个），五棱柱2/3（个），六棱柱2（个）。有没有一个棱柱立体角之和比1/2（个）还小呢？还应有有一个公式来表示立体角与棱柱棱数的关系。

还拿三棱柱为例。使它的底面顶面是一个有90°、60°、30°角的三角形。那么它的立体角之和为（1/2×1/2×1/2+1/2×1/2×1/3+1/2×1/2×1/6）×2=1/2(个)。再举个例子：底面为45度、45度、90度的三棱柱。立体角之和为（1/2×1/2×1/4+1/2×1/2×1/4+1/2×1/2×1/2）×2=1/2(个)。设三棱柱底面一角为X°，另一角为Y°，剩下的一个角为（180-Ｘ－Y）°则其立体角之和为[1/2×1/2×X/180+1/2×1/2×Y/180+1/2×1/2×(180-X-Y)/180 ×2]=1/4×(X+Y+180-X-Y)/180×2=1/2(个)。几个例子表明，三棱柱底面不管是等边三角形还是其它的，其立体角之和永为1/2(个)。棱柱立体角之和不受底面边的长度影响，只跟底面内角和有关。

设一个棱柱为底面棱数是n，且底面为正n边形。则它底面一个角为[180（n-2）/n]°,一个角是180°的[180（n-2）/n]/180，棱柱有2n个这样的角。所以它的立体角之和为1/2×1/2×[180(n-2)/n]/180×2n=(n-2)/2(个)。又因为棱柱立体角之和与底边长度无关，所以(n-2)/2适用于所有棱柱。即(n-2)/2不仅能表示底面是正多边形的棱柱，还能表示其他所有普通棱柱，之所以用特殊棱柱，是为了便于计算和想象。回顾上文，把三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱代入(n-2)/2中（实质上n等于棱柱的棱数），发现最终结果和上文的1/2（个）、1（个）、2/3(个)、2（个）一样。这再一次验证了公式的正确性。从此可以得出结论：n棱柱的立体角之和为(n-2)/2(个)（n为正整数）。

此公式有什么用途呢？稍微思考一下可知(n-2)/2中，n-2≥0且n为正整数。

解得n≥3.所以棱柱立体角之和最小是1/2（个）。第二，也是最重要的一个结论。我们回归主题，立体角决定棱柱形状。一个棱柱立体角之和为1/2（个），则(n-2)/2=1/2.解得n=3.所以它是三棱柱。棱柱立体角之和为2/3(个)，那么它是五棱柱。对于任何一个棱柱，如果知道它的立体角之和，再与此公式建立方程式，就知道它是几棱柱。我们从此公式中又推论出两个结论。

现在，我们就用科学的方法证明了立体角决定棱柱形状。

图1

图2

参考书目：商务印书馆《现代汉语词典》；百度百科“立体角”