大学物理竞赛力学辅导2016
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Ek
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。
由机械能守恒定律得
mgh1 2m1m JC2rvC 2
求得
vC
2 gh
1
JC mr 2
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动 下降这段高度时，全部动能是
Ek 1 2mC 2v1 2JC2
对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得
Ek 1 2m1m JC2rvC 2
vC R aC R
对于平面上的滚动，上式中 v C 、a C 是圆心（通常就
是质心）的速度和加速度大小； 和 为滚动物体的角
速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加
速度）；R 是滚动物体的圆半径。
对于曲面上的滚动，式中的a C 应理解为圆心的切向
加速度。
车轮的纯滚动
B
RA
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半 径
为r，那么，它J对其1几m何r2的转动惯量 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和
斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
m C x a m sg i n fr
mC ya Nmcgo s
Jfrr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
aCx gsin
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
0 ， 0
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x，则质心所获得的速度由
v 2 2 a C xx 2 gsxi n 2 gh
求得
v 2gh
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度
之比是 2 3
A (E p2 E p1) E p
d A d Ep
d A F cos d x
Fx
d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐 标的导数的负值。
(7).转动动能
1 J 2 2
vωr
(8).转动定律
M J J d
dt
M rF
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
aCx
2gsin，
3
fr
1mgsin，
3
2gsin
3r
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x
，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质
心的速度由
v22aC xx3 4gsxin3 4gh
求得
v 4 gh 3
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
则有平动方程
FxmCax Fy mCay
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动。
Lz JC
（3）纯滚动约束方程。
Mz JC
vC R
aC R
例题 讨论一匀质实
y
N
心的圆柱体在斜面上 O x
的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑
动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
maCy 0
maCy 0
解上列五个式子，得
aCx
g sin ，
1
J mr
2
g sin
1
J mr
2
r
fr m2JrJmsgin，Nmcgo s
(5). 保守力的特点
G
Mm r
Fdr 0 作功与路径无关
L
(6). 势能的定义
Aab E pa E pb
某个位置处的势能计算：If
E pb
0 ， E pa =Aa"0" =
"0"
a FC dr
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。
势能曲线
Ep (h)
E
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
二、滚动
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。 几种滚动的形式：
有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足约束条件：
力学基本概念
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律
dP
F
dt
（2). 角动量定理
dL
M
dt 对于质点,角动量
LrP
对于刚体,角动量 LJ
(3). 保守力与势能关系 FEp
(4). 三种势能
重力势能 Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
kx2
万有引力势能 Ep
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。
由机械能守恒定律得
mgh1 2m1m JC2rvC 2
求得
vC
2 gh
1
JC mr 2
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动 下降这段高度时，全部动能是
Ek 1 2mC 2v1 2JC2
对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得
Ek 1 2m1m JC2rvC 2
vC R aC R
对于平面上的滚动，上式中 v C 、a C 是圆心（通常就
是质心）的速度和加速度大小； 和 为滚动物体的角
速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加
速度）；R 是滚动物体的圆半径。
对于曲面上的滚动，式中的a C 应理解为圆心的切向
加速度。
车轮的纯滚动
B
RA
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半 径
为r，那么，它J对其1几m何r2的转动惯量 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和
斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
m C x a m sg i n fr
mC ya Nmcgo s
Jfrr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
aCx gsin
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
0 ， 0
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x，则质心所获得的速度由
v 2 2 a C xx 2 gsxi n 2 gh
求得
v 2gh
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度
之比是 2 3
A (E p2 E p1) E p
d A d Ep
d A F cos d x
Fx
d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐 标的导数的负值。
(7).转动动能
1 J 2 2
vωr
(8).转动定律
M J J d
dt
M rF
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
aCx
2gsin，
3
fr
1mgsin，
3
2gsin
3r
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x
，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质
心的速度由
v22aC xx3 4gsxin3 4gh
求得
v 4 gh 3
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
则有平动方程
FxmCax Fy mCay
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动。
Lz JC
（3）纯滚动约束方程。
Mz JC
vC R
aC R
例题 讨论一匀质实
y
N
心的圆柱体在斜面上 O x
的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑
动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
maCy 0
maCy 0
解上列五个式子，得
aCx
g sin ，
1
J mr
2
g sin
1
J mr
2
r
fr m2JrJmsgin，Nmcgo s
(5). 保守力的特点
G
Mm r
Fdr 0 作功与路径无关
L
(6). 势能的定义
Aab E pa E pb
某个位置处的势能计算：If
E pb
0 ， E pa =Aa"0" =
"0"
a FC dr
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。
势能曲线
Ep (h)
E
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
二、滚动
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。 几种滚动的形式：
有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足约束条件：
力学基本概念
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律
dP
F
dt
（2). 角动量定理
dL
M
dt 对于质点,角动量
LrP
对于刚体,角动量 LJ
(3). 保守力与势能关系 FEp
(4). 三种势能
重力势能 Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
kx2
万有引力势能 Ep