大学物理竞赛力学辅导2016
大学物理竞赛力学辅导2016
这样可得
maCx mg sin f r maC y N mg cos J f r r
以上三式中， aCx和 aCy是圆柱体质心在 x 轴和 y 轴方 向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
力 学 基 本 概 念 及 补 充
力学部分主要公式：
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能 重力势能
aC R 纯滚动条件为 圆柱对质心的转动惯量为
F l f R JC
1 2 J C mR 2
aC
F
联立以上四式，解得
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
Ff 1
m2 g
FN1
l
对O点 l m2 gl cos m1 g cos 2 Ff 1l cos FN1l sin 0
m1g
FN2
O Ff 2
Ff 1 1FN1
则质心在此期间经过的距离为：
1 2 12 v s v0t aC t 2 49 g
则纯滚动时质心的速率为：
2 0
v0
Ff
5 vC v0 gt v0 7
例题 质量为m、半径为r的均质球位于倾角为θ的 斜面的底端，开始时，球的质心速度为零，球相对 于质心的转动角速度为ω0，如图所示。球与斜面之 间的摩擦系数为μ，球在摩擦力作用下沿斜面向上 运动，求解球所能上升的最大高度。 解：一开始，小球与斜面间 为滑动摩擦，有一定的质心 速度；随时间增加，质心速 度变小，当滚动角速度满足 纯滚动条件 v r ， C 即转为纯滚动。因此，整个 过程分为两步求解：
01 物理竞赛辅导资料07 力学三把“金钥匙
物理竞赛辅导资料：力学三把“金钥匙”解决动力学问题，一般有三种途径：①牛顿第二定律和运动学公式(力的观点)；②动量定理和动量守恒定律(动量观点)；③动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能的转化和守恒定律(能量观点)。
——以上这三种观点俗称求解力学问题的三把“金钥匙”。
三把“金钥匙”的合理选取：研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系(或涉及加速度)时，一般用力的观点解决问题；研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般选用动量定理；涉及功和位移时优先考虑动能定理；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律，特别是出现相对路程的则优先考虑能量守恒定律。
一般来说，用动量观点和能量观点比用力的观点解题简便，因此在解题时优先选用这两种观点；但在涉及加速度问题时就必须用力的观点。
有些问题，用到的观点不只一个，特别像高考中的一些综合题，常用动量观点和能量观点联合求解，或用动量观点与力的观点联合求解，有时甚至三种观点都采用才能求解，因此，三种观点不要绝对化。
下面通过历年高考题说明各个观点的应用。
〖典型例题透析〗力学观点与能量观点的综合〖例1〗(1991年上海高考)如图所示，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球。
将小球从O 点正下方4l 处，以一定初速度水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以O 为支点在竖直平面内摆动。
已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，求：⑴小球水平抛出时的初速度v 0；⑵在绳被拉紧的瞬间，支点O 受到的冲量I ；⑶小球摆到最低点时，绳所受的拉力T 。
〖命题意图〗考查平抛运动、运动合成、冲量、机械能守恒定律及其应用、牛顿第二定律。
〖解题思路〗⑴小球在绳拉直前做平抛运动，令做平抛运动的时间为t ，则有：水平方向：lsin 600=v 0t …………①竖直方向：0260214cos l gt l =+…………② 由①、②式解得：g l t 2=，gl v 6210= ⑵在绳拉直前瞬时，小球速度的水平分量为v o ，竖直分量为gt ，如图所示。
大学物理竞赛辅导力学部分
对ｔ求导，得
2l d l 2x d x 2y d y 2cos x d y 2cos y d x
dt
dt
dt
dt
dt
将
d x u dt
,dy v dt
பைடு நூலகம்
代入上式，并应用
dl dt
0
作为求极值的条
件，则得
4
0 ux vy xv cos yu cos
xu v cos yv u cos
dm v m dv mg
dt
dt
dm kmv dt
kmv2 m dv mg dt
dv g kv2 dt
速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变 化。
12
例 : 设在宇宙中有密度为 的尘埃，这些尘埃相对相对
惯性参考系是静止的，有一质量为m0的宇宙飞船以初速v0 穿过宇宙尘埃 ，由于尘埃粘贴在飞船上，致使飞船的速
1 2
kl 2
1 2
m
v2 2 max
k m1
v2max
kl m2
=0
v c max
(
m1v1 m1
m2v2 m2
)max
km2 l m1 m2
F m2
19
例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点
开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以
纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平
求物体B相对于车厢的加速度。
(2)仅考虑B与桌面的摩擦， mA/ mB
mA
车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于
车厢不动时a0的取值范围。
mB a0
6
解(1) 非惯性系，惯性力
大学物理竞赛专题辅导之力学
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
XHY---周培源大学生力学竞赛辅导( 动力学基础)
t2 d (mv ) F mv2 mv1 F d t I 质点 t1 dt (e) d 质点系 ( m i vi ) F i dt dp x (e) Fx ( e ) p p I 2x 1x x dt dp y (e) (e) p p I Fy 2y 1y y dt (e) p2 z p1z Iz dpz (e) Fz dt
A l
O
l
C l B
F
已 知 ： OA=l ， AB=2l ， FAB 。 求 从0--90时， O 力F的功。
y
A
l
l
C
x
l B
F
• 解1：建立坐标系如图。
根据功的解析表达式，有
2 1 2 1
Fx F sin xB 3l cos dxB 3l sin d F F cos y B l sin dy B l cos d y
0
C2
• 平面运动刚体上力系的功
W12 M C d FR' d rC
1
C1
2
质点系的动能
质点系的动能
a. 平动刚体的动能
1 2 T mi vi i 2
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
则rC = 常矢量；(质心位置守恒)
动量矩定理
• 动量矩 L O
M
i 1
n
O
(mi vi )
Lz M z (mi vi )
i 1
n
LO rC mvC LC
(优选)大学物理竞赛辅导力学.
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
物理竞赛辅导_力学解题步骤PPT
F
P
0 • 【训练９】如图，某商场内电梯与水平面成 37，当 训练９ 训练 电梯匀加速向上运动时，人对电梯的压力是其体重 的 5 倍，则人对梯面的摩擦力是其重力的多少倍？
4
FN − mg = ma sin 37
0
a
37 0
Ff = ma cos 37 0
1 0 mg = ma sin 37 4
1 1 0 ∴ Ff = mg cot 37 = mg 4 3
１．研究对象的选取： 隔离法与整体法
• 当多个物体的加速度不相同时用隔离法！ • 当涉及两个物体之间作用力时用隔离法！ • 不涉及物体之间作用力和加速度相同时也 能用隔离法！ • 若能用整体法解决问题的，隔离法也能解 决．只是步骤多了一些而已！
• 【例１】如图，在光滑水平面上，有质量为Ｍ，长 例 度为Ｌ的木板．在木板上有一个质量为m的物体， 与木板之间的动摩擦因数为µ．今用一水平力Ｆ将 物体从长木板的左端拉到右端，物体的速度多大？
FA
A B
FB
• 【训练２】如图，已知 mA = 1kg ， mB = 2kg ，ＡＢ 训练２ 训练 之间的最大静摩擦力是5N，水平面光滑．用水平力 Ｆ拉Ｂ，当Ｂ的拉力大小分别为10N和20N时，Ａ Ｂ的加速度各多大？ F = (m + m )a
mA + mB ∴ F0 = f m = 15N mA
y
FT
m
x
60
0
FT sin 600 − mg sin 300 = ma
a
FT cos 60 − mg cos 30 = 0
0 0
∴ FT = 3mg
300
mg
a=g
• 【训练８】如图，位于光滑斜面上的物体Ｐ，受到 训练８ 训练 水平向右的恒定推力Ｆ作用，物体沿斜面加速下 滑．现保持Ｆ的方向不变而使其减小，则加速度： （ ） • Ａ．一定变小； • Ｂ．一定变大； • Ｃ．一定不变； • Ｄ．可能变小，可能不变，也可能变大．
大学物理竞赛辅导-力学
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m 1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m 2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α.21,,a a α1a .2a 1a 1m 2mα1a .2a 1a 1m 2m 解：画隔离体图，受力分析α1a 1m TT1a .2a 2m T例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为l 2的匀质细杆AB 开始时绕着C 点旋转,C 点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B 端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同,试求μ的取值范围.Rl lABC 解:设初始时细杆的旋转角速度为0ω,转过θ角后角速度为ω.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为1J 和2J 开始时第一个圆盘以10ω的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10ω1r 2r解：受力分析：1r 2r 10ω1N gm 1ffgm 22N 1o 2o 无竖直方向上的运动g m f N 11+=gm f N 22=+以O 1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122r r g m N M +-=0)(21≠+-=r r f例9: 质量为2m,半径为R 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m 和2m 的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为μ,问μ为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解: 受力分析:mg1T mg22T m 2m2T 1Tββθ。
大学生物理竞赛1(力学)汇总
三、质心运动定律
质点系的动量为 P
P
N
pi
N
midri
N
d
i 1
mi ri
i 1
i1 dt
dt
d(mrc ) m drc
dt
dt
p mvc
N
rc
mi ri
i 1
m
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
p mvc
mvc
vc
rcw A
l 2
w
A
vc rc P
LB
1 24
m l2w0
LB IBwB
1 wB 8 w0
反向转了
Lc
③ 再次插入O孔前后
LO IOwB
w0
wB
1 8
w0
Lo Iowo
逆时针转
m,l
A
O
B
最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转角速度的大小
w0
1 8
w0
角速度的方向：垂直纸面向外。
物理竞赛辅导 力 学 (Ⅰ)
参考资料
1. 教材 2. 大学物理学 (5册) 张三慧主编
清华大学出版社 3. 历年考题
参赛组: 非物理类A 组
补充知 识 质心
质心 ( Center of Mass)
一、质心的位置
对于N个粒子组成的系统，定义系
统的质量中心，其位矢
NN
rc
mi ri
i 1 N
mi ri
NDt ·3R = I2 w2
②
I2
1 2
m2 R2
m2 (3R)2
19 2
m2 R2
大学物理竞赛辅导 力学部分
三、与碰撞1类似，2与1碰撞后，将完全交 换速度。因此2将静止，1将以速度 1 v0
继续运动。
5
例2，平直铁轨上停着一节质量为 M 20m 的车厢，车厢与铁轨之间摩擦可略。有若 干名学生列队前行，教员押后，每名学生 的质量统为 m。当学生与教员发现前面的 车厢时，都以相同的速度 v0 跑步，每名 学生在接近车厢时又以速度 2v0跑着上车坐下， 教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车。 据此可知，学生人数为多少？全过程中由教员、 学生和车厢构成的体统，其能量损失量为？
1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( L ) Mv J 5 x L n L 0 v = 0 L 2 2 2 n 4 J Mx 2 ; x L x
所以，速度大小
v v 2 v 2 n v 5 tan vn 5
O
x
采用平行轴定理计算各自的转动惯量：
I d Ic md 2
大圆,小圆，剩余部分过O的转动惯 量I0，I1，I2；则
I1 I 2 I 0
1 2 I mR 0 2 2 1 I m R m1 R 1 1 2 2 2 13 I 2 mR 2 32
2 1 2 Ek 0 20 m 2v0 2Mv0 2 碰撞以后，体系总动能：
1 2 2 Ek 20m M v0 Mv0 2
因此，能量损失量为：
2 Ek Mv0
例3、 一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落在 桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。
周聪华
大学生物理竞赛辅导课件
近似法
对于一些近似的问题，可以通过近似法简化 计算过程。
实验操作与注意事项
实验前准备
认真阅读实验指导书，了解实 验目的、原理、步骤和注意事项。
实验操作
按照实验步骤进行操作，注意 观察实验现象，记录实验数据。
实验后整理
对实验数据进行处理和分析， 得出实验结论，完成实验报告。
注意事项
注意安全操作，遵守实验室规 章制度，爱护实验器材。
复查答案
在完成所有题目后，留出时间复查答案，确 保答题准确无误。
06
模拟试题与答案解析
模拟试题一及答案解析
总结词
难度适中，涉及知识点广泛
详细描述
本试题涵盖了力学、电磁学、光学等物理学科的基础知识，并适当增加了近代物理的内容， 难度适中，适合大部分参赛学生完成。同时，试题注重考查学生对物理概念的理解和运用 能力，而不仅仅是简单的记忆和计算。
相对论题
包括狭义相对论、广义相对论等相对论内容。
光学题
涉及光的干涉、衍射、偏振等光学问题。
实验操作题解析
01
实验操作流程
介绍实验操作的基本流程和注意事项。
实验误差分析
讨论实验误差的来源和减小误差的 方法。
03
02
实验数据处理
讲解如何对实验数据进行处理和分析。
实验安全与规范
强调实验安全和规范操作的重要性。
03
解题方法与技巧
题型解析与应对策略
力学题型
重点掌握牛顿运动定律、动量守恒定律、能量守 恒定律等基本原理，熟悉各种题型如单体、连接 体以及多过程问题。
光学题型
掌握光的干涉、衍射、偏振等基本原理，熟悉各 种光学实验的原理和操作方法。
电磁学题型
周培源力学竞赛辅导1.
能量原理
1-3 互等定理
2） 位移互等定理 两个不同的广义力（各自只有1个力） Fi 和 F j 作用在 相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论
Fi ij F j ji
广义力
Fi
在广义力
Fi
Fj
引起的位移上所做的功，等于广义力
Fi F j ij ji
在广义力
引起的位移上所做的功，若
广义力
Fj
在点 i引起的与
Fi
相对应的广义位移，在数值上等
Fj
于广义力
Fi
在点 j引起的与
相对应的广义位移
能量原理
1-3 互等定理
2） 位移互等定理（图）
ij ji
广义力
Fj
在点 i引起的与
Fi
相对应的广义位移，在数值上等
Fj
于广义力 若广义力
Fi
在点 j引起的与
能量原理
1-1 引言
分析、求解杆件的应力、变形和位移： （一）应用平衡方程、变形协调（几何方程）、物理方程
（二）能量法（既满足平衡，又满足变形协调与连续） 能量法的优点：分析过程简单、应用范围广、具体为： （1）可确定任意一点、任意方向的位移 （2）可确定位移函数 （3）既可求解位移，又可求解内力、应力 （4）既适用于线弹性问题，又适用于非线弹性问题
可以是线位移、角位移、相对位移、相对转角
对于线性问题
d(l ) FN EA dx, d T GI p dx, d z Mz EI z dx, ......
能量原理
1-7 单位载荷法（摩尔积分）
对于线性问题
FN FN EA
物理竞赛辅导讲座(力学部分)片段
3g cos （4）
2L
也可用转动定律得到
2
1 mL2 2
23
mL2 2
6
机械能守恒定律： Ep Ek 0
即： mL22 mg L sin 0
6
2
解出：
2 3g sin （2）
L
（1）
3g sin （3）
L
将（2）对 t 求导：注意 d ，d 有：
dt
dt
2 3g cos
J
d
k＝M
dt
dt
（4）
因只有一个分量，可写成投影式： d (J) ＝M
dt
（5）
（5）称为刚体定轴转动的角动量定理，
又称刚体的转动定律。
当（5）中外力矩M=0时，刚体角动量L=J=常
值。此即刚体定轴转动下的角动量守恒定律。它类似 于平动问题中的动量守恒定律。
外力矩M=0时，定轴转动刚体的角动量L=J=
z
k
L
r
o
m•
p
v r
对于定轴转动刚体上的质点， 恒有
r
p，因而
L mvrk mr2k
角动量在转轴上的投影是：
L= mvr = mr2
L A r dm
刚体作定轴转动时，其上所有质点绕转 轴的角速度为一共同量。
按照质点动量定义p=mv，质点对转轴的
此称定轴转动刚体的动能定理的微分形式。
动能定理的积分形式是：
W
2
Md
1
2 d
1
J 2
2
J 2
物理竞赛辅导力学
物理竞赛辅导力学力学1直线运动题型讲解：基准1：例如图1右图，地面上加一紧固的球面，球面的斜上方p处为一质点.现要确认一条从p至球面扁平斜面轨道，并使质点从恒定已经开始沿轨道转弯至球面上所经时间最长.解析：此题求解关键是：根据点从竖直圆的顶点开始，沿圆内任一弦下滑，经历的时间都相等这一结论，找到一个顶点是p且与固定球面切线的球面m，这样质点从p点与两球切点连线的弦上大幅下滑所经历的时间就最长.(质点沿其他弦大幅下滑时，经历的时间除沿弦大幅下滑的时间外，还要再加之从球面m至紧固球面的一段时间).先证明这样一个问题：设地面附近有一空心球，顶点p上有众多的光滑斜直轨道与球面上其他点相连，试证明质点从p点自静止出发经任一轨道再到达球面所需时间相同.证明：如图2所示，取任一与水平线夹角为φ的轨道pq，其长为l=2rsinφ此处r为球半径.质点沿pq轨道大幅下滑的加速度为gsinφ，因此从p至q所需时间为t==2.图2该t与轨道参量φ无关，故任一轨道对应时间相同.根据上述结论，本题只要以p点为顶点并作一球面，并使其与题中紧固球面切线，从p点至切点q的扁平横的直轨道为所求.下面得出的就是过p且与紧固球面切线的球面的作法：图3：所示，原球面球心记为o，半径记为r.设o、p所在竖直平面即为图示的纸平面，在该竖直面上过p点作一条竖直线ab，且使pa长等于r.连结o、a两点，作直线段oa的中垂线，此中垂线与ab的交点o′即为待作新球面的球心，o′到p点的距离取为新球面的半径r′.这样作出的新球面o′与原球面o相切于q点，p到q的光滑斜直线轨道即为所求.基准2：老鼠返回洞穴沿直线行进，它的速度与至洞穴的距离成反比，当它前进至距洞穴距离为d1的甲处时速度就是v1则它前进至距洞穴距离为d2的乙处时的速度就是.从甲至乙用回去的时间就是.图3解析：由于老鼠的运动速度与至洞穴的距离成反比，故可以通过画-d图象，把反比例图象转化成线性图象，进而求出时间.本题也可以直接应用数学积分知识进行求解.设立老鼠返回洞穴的距离为d，运动的速度为v，则v=，k为反比例常数.根据题意d=d1时，v=v1，则k=d1v1.故d=d2时，v=v2满足用户v2==v1.为求老鼠从甲到乙用用时间，根据分析提出的求解思路如下：(1)图象法.创建图4，右图的-d图象，则图象上任一大的面积(图中阴图4影部分)其物理意义就是老鼠在经历任一长的距离△d时用回去的时间，因为这任意短的距离中，老鼠的速成度可视为不变，则△t==△d，这正是图象阴影面积中的短和阔的乘积.这样图象与d轴围困象与d轴围困的面积可以视作由无数个图中阴影面积所共同组成，也就是说，图在从d1至d2图象与d轴围困的梯形面积就是所求的老鼠Weinreb的时间。
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Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。
由机械能守恒定律得
mgh1 2m1m JC2rvC 2
求得
vC
2 gh
1
JC mr 2
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动 下降这段高度时，全部动能是
Ek 1 2mC 2v1 2JC2
对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得
Ek 1 2m1m JC2rvC 2
vC R aC R
对于平面上的滚动，上式中 v C 、a C 是圆心（通常就
是质心）的速度和加速度大小； 和 为滚动物体的角
速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加
速度）；R 是滚动物体的圆半径。
对于曲面上的滚动，式中的a C 应理解为圆心的切向
加速度。
车轮的纯滚动
B
RA
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半 径
为r，那么，它J对其1几m何r2的转动惯量 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和
斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
m C x a m sg i n fr
mC ya Nmcgo s
Jfrr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
aCx gsin
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
0 ， 0
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x，则质心所获得的速度由
v 2 2 a C xx 2 gsxi n 2 gh
求得
v 2gh
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度
之比是 2 3
A (E p2 E p1) E p
d A d Ep
d A F cos d x
Fx
d Ep dx
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐 标的导数的负值。
(7).转动动能
1 J 2 2
vωr
(8).转动定律
M J J d
dt
M rF
因 J 1 mr 2 代入上式得 2
aCx
2gsin，
3
fr
1mgsin，
3
2gsin
3r
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x
，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质
心的速度由
v22aC xx3 4gsxin3 4gh
求得
v 4 gh 3
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
则有平动方程
FxmCax Fy mCay
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于 空间固定平面的轴转动。
Lz JC
（3）纯滚动约束方程。
Mz JC
vC R
aC R
例题 讨论一匀质实
y
N
心的圆柱体在斜面上 O x
的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转
动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑
动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
maCy 0
maCy 0
解上列五个式子，得
aCx
g sin ，
1
J mr
2
g sin
1
J mr
2
r
fr m2JrJmsgin，Nmcgo s
(5). 保守力的特点
G
Mm r
Fdr 0 作功与路径无关
L
(6). 势能的定义
Aab E pa E pb
某个位置处的势能计算：If
E pb
0 ， E pa =Aa"0" =
"0"
a FC dr
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。
势能曲线
Ep (h)
E
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
二、滚动
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常 质心就在圆的中心。 几种滚动的形式：
有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还 应该满足约束条件：
力学基本概念
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律
dP
F
dt
（2). 角动量定理
dL
M
dt 对于质点,角动量
LrP
对于刚体,角动量 LJ
(3). 保守力与势能关系 FEp
(4). 三种势能
重力势能 Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
kx2
万有引力势能 Ep