数学建模降雨量预测方法优劣的评价

当 x ≥ 0.1 时， f4 (x ) =
1 1 + 3.85014 × 10−8 (x − 9.05)14
的总和；
S i ：人们对第 i 种方法的总满意程度。
4
模型建立
4.1 问题一的分析、建模与求解 由于某观测站所测的降雨量代表的是其邻近一定范围的降水量[1]，由此可认为每个 观测站和其附近一定范围内被预测的位置（以下简称“位置” ）的降雨量是相等的， 因而可用观测站附近位置预测的雨量和观测站实测雨量进行直接比较。为方便叙述，对 每个观测站进行编号， 依次为 1， 2， 3， …， 91， 第 i 个观测站的经纬度用向量 si = (si 1, si 2 ) 表示（i=1,2,3,…,91）, 其中， si 1 为东经， si 2 为北纬。同时对所有位置进行编号，依次 为 1，2，3，…，2491，第 i 个位置的经纬度用向量 pi = (pi 1, pi 2 ) 表示（i=1,2,3,…,2491）, 其中， pi 1 为东经， pi 2 为北纬。 将离观测站最近的位置所预测的雨量与观测站实测的雨量作比较。 已知各个位置与 [2] 观测站的经纬度，可以利用公式
M i = {j | min{D(si 1, si 2 , p j 1, p j 2 )}, j = 1,2, 3,..., 2491}
1 ≤ i ≤ 91
由题中数据的分析可知，41 天的数据可以分成 2 部分，即 6 月 18 日~6 月 28 日为 第一部分，7 月 1 日~7 月 30 日为第二部分。为了方便，将日期进行编号，记 6 月 18 日 为第 1 天，19 号为第 2 天，依此类推，28 号为第 11 天，7 月 1 日为第 12 天，7 月 30 日为第 41 天。进而将所有 4 × 41 = 164 个时段也进行编号，称第 i 天第 j 个时段为第 4(i-1)+j 时段，例如第三天第二时段为第 10 时段。
5
0.8，与其相邻的
1 区间处的满意度约为 0.1，即 4
fi (ai ) ≈ 0.8 i = 2, 3, 4, 5, 6 f (a + 3 (b − a )) ≈ 0.1 i i −1 i −1 i −1 4 1 f2 (a 3 + (b3 − a 3 )) ≈ 0.1 4
的误差；
d1( j ) ：第 j 种方法各个时段的总误差；
[ai , bi ] ：第 i 等级的降雨量范围（i=2,3,4,5,6） ；
f i ( x) ：预测降雨量属于第 i 个等级时，人们的满意程度；
2
g (x ) ：降雨量 x 所属的等级；
(k ) H ij ：人们对离观测站 i 最近的位置第 j 时段采用第 k 种方法所预测的数据的满意程度
pi ：第 i 个预测位置的经纬度向量 pi = (pi 1, pi 2 ) ； M i ：距离第 i 个观测站最近的有预测雨量的位置的编号的集合；
(k ) wij ：第 i 个位置第 j 时段采用第 k 种预测方法的预测值；
uij ：第 i 个观测站第 j 个时段的实际测量值；
(k ) dij ：第 i 个观测站所在地区内第 j 个时段采用第 k 种方法的预测的降雨量和实际测量
关键字
降雨量 预测 数学模型 误差 柯西分布隶属函数
1
1
问题重述
雨量预报对农业生产和城市工作和生活都有重要作用，但准确、及时地对雨量作出 预报是一个十分困难的问题，我国某地气象台、气象研究所正在研究 6 小时雨量预报方 法，即每天晚上 20 点预报从 21 点开始的 4 个时段在某些位置的雨量，这些位置都位于 东经 120 度、北纬 32 度附近的 53×47 的等距网格点上。再设立 91 个观测站点实测这 些时段的实际雨量，站点的设置是不均匀的。 气象部门提供了 41 天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据，希望建立 一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法，对两种预测方法进行评价。其中雨量用 毫米做单位，小于 0.1 毫米视为无雨。 (1) 请建立数学模型来评价两种 6 小时雨量预报方法的准确性； (2) 气象部门将 6 小时降雨量分为 6 等： 0.1—2.5 毫米为小雨， 2.6—6 毫米为中雨， 6.1—12 毫米为大雨，12.1—25 毫米为暴雨，25.1—60 毫米为大暴雨，大于 60.1 毫米为特大 暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？
i = 3, 4, 5, 6
1 取 α 2 = 0.0526902, β 2 = 8, r2 = (a2 + b2 ) = 1.3 ，则 2 1 f2 (a 3 + (b3 − a 3 )) = 0.0399093 ≈ 0.1 ， f2 (a2 ) = 0.815289 ≈ 0.8 ，当 x ≥ 0.1 时， 4
降雨量预测方法优劣的评价
摘要
本文就如何评价降雨量预报方法的优劣建立了相应的数学模型， 并且用气象部门提 供的数据对两种预报方法进行了比较。 首先用误差作为评价标准， 对问题 1 建立了对两种降雨量预报方法进行比较的数学 模型。在计算误差的时候，为了使取值更具有比较意义，只选择离观测站最近的预测位 置的预测值进行计算，通过对误差的计算，建立了数学模型。用 Object Pascal 编程求 解，得出了如下结论：第一种降雨量的预报方法优于第二种预报方法。 问题 2 在问题 1 所建模型的基础上建立另外一个数学模型， 该模型巧妙结合公众的 满意度来评价预测方法的优劣。其中，在使用量化的方法对公众的满意程度进行刻划的 时候，充分考虑公众的认知心理，使用了柯西分布隶属函数。同样用源自文库Object Pascal 编 程求解，得出了如下的结论：第一种方法优于第二种方法。 综合问题 1 和 2 的结论，第一种方法优于第二种方法。
图 2 取中间型柯西分布隶属函数[3]，令
等级 2 到等级 6 满意度 函数的大致图像
0 fi (x ) = 1 βi 1 + αi (x − ri )
x < 0.1 x ≥ 0.1
(i = 2, 3, 4, 5, 6; αi > 0; βi是正偶数)
1 记等级 i 的范围区间为 [ai , bi ]（i=2,3,4,5,6） ，取 ri = (ai + bi ) 。取区间左端的满意度约为 2
4
考虑公众的感受，一般地，若天气预报准确，人们会对所预报的值表示满意；若天 气预报不准确，人们会不满意所预报的值，因此可以用人们的满意程度高低来判别这两 种预测方法的优劣（显然，人们满意程度高的方法更优） 。人们的满意程度可以通过量 化的方法来刻划。拟定人们对某次预报的满意程度函数 fi (x ) ∈ [0,1] ，其中 i 为该次预报 的等级， x 为实际降雨量；若 fi (x ) = 1 ，则人们对该次预报“完全满意” ，若 fi (x ) = 0 ， 则人们对该次预报“完全不满意” 。 考虑这样的一个过程：人们首先通过天气预报（通常只预报降雨等级）在心中形成 对未来天气状况的预期。随时间的转移，人们很快知道了真实的天气状况。这时人们会 将对真实天气状况的感受与对所预报的天气状况的理解进行比较。 两者给人感觉差距越 大，人们对预报天气情况的认可程度越低，即，满意度越低。由于“有雨”/“无雨”给 人的感觉是很明显的，因而可以取 1 x < 0.1 f1 ( x) = 0 x ≥ 0.1 降雨等级是根据人们的经验来划分的。若降雨量在等级范围区间的中间，则人们容 易确定所下的雨是属于哪个等级的，而在区间的两端却不容易确定，特别是在两个相邻 区间的交界处会更加模糊，难以确定属于哪个等级。假设预报的是等级 A，若实际降雨 量在 A 的范围区间的中间，人们会认为预报是非常准确的；若实际降雨量在 A 的范围 区间的两端， 则会认为预报基本准确。 若实际降雨量在两个等级范围区间的交界处附近， 则人们也会认为预报是比较准确的，因为人们较难辨别实际降雨的等级。例如，若降雨 量为 2.6 毫米，虽然应该分属于中雨，但是人们却往往区分不出是中雨还是小雨，因而 不管预报的是小雨还是中雨，人们总会认为是比较准确的。由以上分析，可知等级 2 到 等级 6 的满意度函数可以采用图形大致如下的函数：
7.2）算得 d1(1) ≈ 75.71 ， d1(2) ≈ 80.61 ，显然 d1(1) < d1(2) ，即，第一种预测方法优于第
二种预测方法。 4.2 问题二的分析、建模与求解 气象部门将 6 小时降雨量分成 6 个等级，不妨将“无雨”也看成一个等级，则共有 7 个等级，如下表： 等级 名称 降雨量范围（单位：毫米） 1 无雨 [0,0.1) 2 小雨 [0.1,2.5] 3 中雨 [2.6,6] 4 大雨 [6.1,12] 5 暴雨 [12.1,25] 6 大暴雨 [25.1,60] 7 特大暴雨 [60.1,+∞)
当 x ≥ 0.1 时， f3 (x ) =
1 1 + 3.33511 × 10−6 (x − 4.3)18
1 取 α 4 = 3.85014 × 10−8 , β 4 = 14, r4 = (a4 + b4 ) = 9.05 ，则 2 3 f4 (a 3 + (b3 − a 3 )) = 0.121201 ≈ 0.1 ， f4 (a 4 ) = 0.87295 ≈ 0.8 ， 4
(k ) 记第 i 个位置第 j 个时段采用第 k 种预测方法的预测值为 wij ，第 i 个观测站第 j 个
时段的实际测量值为 uij 。 由于预测点的分布成等距网格式分布， 所以可能存在某个观测 站有多个预测点离它最近，即可能存在|Mi|>1，1 ≤ i ≤ 91 ，为了方便计算，只取它们预测 值的平均值，则第 i 个观测站所在地区内第 j 个时段采用第 k 种方法预测的降雨量和实 际测量值的误差为：
3
(k ) dij = uij −
1 Mi
i ∈M i
∑w
(k ) ij
1 91 (k ) 所以，第 j 个时段用第 k 种方法的平均误差为 ∑ dij ， 91 i =1
164 91 1 ∑ d (k ) 所以，第 k 种方法各个时段的总误差 d1(k ) = ∑ ij 。 j =1 91 i =1
2
模型假设
2.1 观测站所测得的降雨量准确可靠； 2.2 地球可以近似地看成一个球体； 2.3 降雨量等级的划分符合公众的认识； 2.4 气象站预测的数据刚好够描述整个地区的降雨情况； 2.5 各个预测位置的预测数据所描述的区域范围是一样的，并且各个观测站测量的区域 范围是一样的。
3
符号说明
si ：第 i 个观测站的经纬度向量 si = (si 1, si 2 ) ；
用 Mathematica 生成的各个时段的平均误差见下图（其中灰虚线为第一种方法，细黑色 线为第二种方法） 。
7
6
5
4
3
2
1
25
50
75
100
125
150
图 1 用 Mathematica 生成的各个时段的平均误差 图 1 中可以看出，方法一和方法二预测的误差是比较接近的，但第一种方法所产生 的误差总是比第二种方法所产生的误差小一点。用计算机（具体程序 Compare1 见附录
D(xA, yA, xB, yB ) = R arccos (cos yA cos yB cos xA cos xB + cos yA sin xA cos yB sin xB + sin yA sin yB )
求出它们的距离（其中地球半径 R=6371km，(x A, yA ) 为 A 地经纬度，(x B , yB ) 为 B 地经 纬度） 。 设 Mi 为距离第 i 个观测站最近的位置编号的集合，则：
f2 (x ) =
1 1 + 0.0526902(x − 1.3)8
1 取 α 3 = 3.33511× 10−6 , β 3 = 18, r3 = (a3 + b3 ) = 4.3 ，则 2 3 f3 (a2 + (b2 − a2 )) = 0.0411926 ≈ 0.1 ， f3 (a 3 ) = 0.955199 ≈ 0.8 ， 4