工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法

u 的近似解表示为
m
u 源自文库 c ju j
j 1
将近似解代入方程，得余量
m
R Lu f c j Lu j f
j 1
如果余量为零，说明已经满足方程，
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。 只能放松约束， 强制余量的加权积分为零。 即
wi Rd 0 （ i 1,2, , n ）

u1
1 ( x,
y)

u2
2
(x,
y)

u3
3 ( x,
y)
可得
Ni

i (x,
y)
( i 1, 2, 3 )
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：
（1）是插值的；
1 (i j) （2）Ni (xj , y j ) 0 (i j) （3）在相邻单元的公共边界上，
wi (P, Pi )
(P, Pi )Rd 0

R(Pi ) 0
（ i 1,2, , n ）
配点法又叫点匹配法。
（2）子域法
将求解区域划分成 n 个子域，
每次选取权函数在一个子域上为 1， 其他子域上为零。
wi 01（（PP不在在子子域域i内i内））
Rd 0
i
（ i 1,2, , n ）
（3）最小二乘法
按使方程余量平方积分最小选取权函数。
令 I (c1, c, , cm ) R2d

使 I 最小的条件为
I 0 ci
（ i 1,2, , n ）
得
R Rd 0
ci
即权函数为
wi

R ci
（ i 1,2, , n ）
（4）伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0

m
ui L u jd ui fd

j 1

（ i 1,2, , n ）
在上述几种加权余量法中， 伽辽金法应用最广泛。 有限元法基于伽辽金法
7 二维泊松方程的有限元法
有限元法 可以从变分原理导出， 也可以从加权余量法导出。 前者需要补充泛函、变分法、欧拉方程、 泛函极值等数学知识，推导过程比较复杂。 后者相对比较直观，而且应用范围更广， 推导过程简单。
7.1 加权余量法
1、加权余量概念
假定边值问题方程
Lu f
式中， u 为未知函数， L 是算符（算子），表示对 u 的一种运算，
b N fd 0
1 2 3 4 5 6 0
以下把单元e的贡献记为
K (e) ij

e
N (e) i
L(N
(e) j
)d
b(e) i

e
N (e) i
f
(e)d
这样，就有
K00

K (1) 00

K (2) 00

K (3) 00

K (4) 00
f 为已知函数。
为求 u ，设有一组完备、线性无关的函数 u1, u2 , , uk , ， 取其前 m 项的线性组合作为 u 的近似解 u 。 若当 m 时，有 u u ， 则称 u1, u2 , , uk , 为基函数序列， uk 为基函数。 c1, c2 , , cm 为待定系数。
y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 11 1 3 2 x1 x2 x
y1 y2 y
u(x,
y)

u1
1 ( x,
y)

u2
2
(x,
y)

u3
3 ( x,
y)
记住我们的任务 —寻找基函数
u (x, y) 1N1 2 N2 3N3
对比
u(x,
y)
7.3 二维泊松方程的有限元法
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
以二维静电场泊松方程的求解 为例。
Ku b
2u 2u L(u) f
x2 y2 u g

目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数 方程组，即确定系数{Kij} 和{bi}。
Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
计算系数阵 Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
在积分 Kij NiL(N j )d 中，对于确定的 i，j的有效取值为i
本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、 j 为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有 交叠。
u(x, y) a bx cy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
u(x,
y)

u1
1 ( x,
y)

u2
2 (x,
y)

u3
3 ( x,
y)
111
其中，
1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1
1

1 2
x
x2
x3
y y2 y3
111 1 2 2 x1 x x3
计算系数阵
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
这些积分可以分单元进行。例如对右
图所示的局部编码，K01、K00以及b0 的计算公式为：
K00
N L(N )d 1 2 3 4 5 6 0
0
K01 16 N0L(N1)d

式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。 权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn ， 让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
场域离散
二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形 状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。 该步骤需要记录的信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为