工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法

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电磁场分析的有限元法

电磁场分析的有限元法
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第7章 光波导分析的有限元法
7.1 微分方程边值问题
7.1.3 伽辽金(Galerkin)方法
Galerkin 法选取基函数i为加权函数,效果最好
Ri
S
i
(
2 t
K
2 t
)
dS
0
N
c j j j1
N
Ri
cj
S
i
(
2 t
K
2 t
)
j
dS
0
j1
Kij Sit2jdS S i jdS
7.1 微分方程边值问题 7.2 有限元分析
7.3 光波导模式问题的应用举例
2
第7章 光波导分析的有限元法
分析或设计波导器件时,知道波导模的特性及其场分布 非常重要。光波导精确求解的条件有限,近似分析时精度受 到限制,要高精度求得传播常数和电磁场分布,还要依赖于 数值分析法。
电磁场分析的数值法有很多,如有限元法(FEM)、有限 差分法、模匹配法、横向共振法等,而FEM因其较高的精度 和通用性,是目前使用最广泛、比较公认的精确数值技术方 法之一,并作为各种近似计算的基准。FEM特别适用于复杂 的几何结构和介电特性分布,可以解决几乎任意截面和折射 率分布的介质光波导的模式及场分布问题。
L f
L f 0 为方程的严格解(真解) 设 为方程的近似解,定义余数
r L f 表示近似解接近真解的程度
的最佳近似,应能使余数r在域内所有点有最小值。
余数加权积分
R wrd
其中w为加权函数
满足R=0的解称为微分方程的弱解或近似解。
w的选取方法:点重合, 子域重合, 最小二乘法, 迦辽金法等。
FEM是已发展成熟的数值计算方法。数学理论包括泛函 分析理论和抽象空间理论,应用范围包括土木工程如桥梁、 建筑,机械制造如船舶、飞机设计,计算场分布如应力场、 流体场、电磁场等等。有大量的商品化软件,使用方便。

二维瞬态磁场有限元建模及计算

二维瞬态磁场有限元建模及计算

二维瞬态磁场有限元建模及计算有限元法作为一种强有力的工程分析方法被广泛地应用于各种研究领域。

对于电气工程领域,有限元法同样是用于各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的最主要的数值方法,并且无一例外地是构成各种先进、有效的计算软件包的基础。

在有限元法的基础理论、应用技术及其应用于解决电磁装置的瞬态过程分析等相关方面进行了深入的研究与探讨,该工作对于发展瞬态电磁场问题的数值计算方法具有重要的意义。

标签:电气工程;瞬态电磁场;有限元法1 有限元分析软件——ANSYS发展及功能随着科学技术的迅速发展,以及许多相关学科成果不断渗透到电磁场分析领域,使得电磁场理论的研究工作得到更加深入的发展。

人们从关注电磁场的稳态性能发展到研究电磁场的瞬态性能。

经过不断地发展,有限元方法迅速从结构工程强度分析扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种应用广泛且实用高效的数值分析方法。

不仅使各种不同的有限元方法形态丰富,理论基础完善,而且己经开发了一批有效的通用和专用有限元软件,这些软件已经成功地解决了国际工程等领域中的众多大型科学和工程难题。

有限元软件已经成为推动科技进步和社会发展的生产力,并且取得了巨大的经济和社会效益。

在众多可用的通用和专用有限元软件中,ANSYS已经成为紧跟计算机硬软件发展的最新水平、功能丰富、用户界面友好、前后处理和图形功能完备、使用高效的有限元软件系统。

它拥有丰富和完善的单元库、材料模型库和求解器,保证了它能够高效地求解各类结构的静力、动力、振动、线形和非线形问题,稳态和瞬态热分析问题,静态和时变电磁场问题,压缩与不可压缩的流体力学问题,以及多场耦合问题。

此外其结构模型化功能和分析功能较强,解题规模大,计算效率高,能够适应广泛的工程领域,而且经过长期的使用与维护,比较可靠。

在实际电磁场的分析与计算中,ANSYS软件提供了完整的电磁场分析模块,可以用来分析电磁领域多方面的问题,如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运动效应、电路和能量损耗等。

有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现

有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现

(x,y) e 9 0 ,
其中
— ax ay
e i 2(/3), 为 i?2 中的
有界凸区域,区 域 / 3 = { ( * ,;K) U2 + y2 < l }.
1 二 维 P oisson方程的有限元法
l .i 有限元方法的基本原理和步骤 有限元法是基于变分原理和剖分技术的一种数
值计算方法,把微分方法的定解问题转化为求解一
摘 要 :文 章 讨 论 了 圆 形 区 域 上 的 三 角 形 单 元 剖 分 、有 限 元 空 间 ,通 过 变 分 形 式 离 散 得 到 有 限 元 方 程 .用 M A T L A B 编程求得数值解,并进行了误差分析. 关 键 词 :Poisson方 程 ;有限元方法;M A T L A B 编 程 ;三角形单元剖分
U e l f +2( n , R m).
定理[7]1 (有 限 元 近 似 解 的 炉 模 估 计 )假设 满足引理的条件,则 对 V f/ E 妒+1(/3,i T ) ,存在与 A 无 关 的常数C , 使得
W u - u . w, ^ chk \ u \ M
定理[7]2 (有 限 元 近 似 解 的 i 2 模 估 计 )假设
1
0
0
0
2
3
0
0
細 !1[8]:
4
560ຫໍສະໝຸດ 中 图 分 类 号 :0241.8
文 献 标 识 码 :A
文章编号:1009 - 4 9 7 0 ( 2 0 1 8 ) 0 5 - 0015 - 04
0 引言
热 学 、流 体 力 学 、电 磁 学 、声 学 等 学 科 中 的 相
关 过 程 ,都 可 以 用 椭 圆 型 方 程 来 描 述 .最 为 典 型 的

工程电磁场数值分析(有限元法)解读共31页

工程电磁场数值分析(有限元法)解读共31页

46、我们若已接受最坏的,就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会,使我——孙洙 50、谁和我一样用功,谁就会和我一样成功。——莫扎特
工程电磁场数值分析(有限元法)解读
21、没有人陪你走一辈子,所以你要 适应孤 独,没 有人会 帮你一 辈子, 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候,留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运,首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首,因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿. 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ,它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ,以便 让别一 只脚能 够再往 上登。

二维泊松方程的差分格式有限差分法

二维泊松方程的差分格式有限差分法
§3.7 有 限 差 分 法
有限差分法(Finite Differential Method)是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想:将场域离散为许多小网格,应用差分原理,将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题:
2 2
i, j
(k 1)
(k 1)
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中: ——加速收敛因子 (1 2)
• 迭代收敛的速度与 有明显关系:
收敛因子( ) 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数( N) >1000 269 174 143 122 133 171 发散
x 2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格, 网格线之间的距离为h,节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
K0 K!
(x
x0 )K
0(( x
x0 )n )
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N(,Nj 1)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N,(i, j) 停机
i1, j
(k) i, j1
Fh2
]
式中:i, j 1, 2,,k 0, 1, 2, • 迭代顺序可按先行后列,或先列后行进行。

36-二维泊松方程的有限元法

36-二维泊松方程的有限元法

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工程电磁场
主讲人: 王泽忠
2.单元网格划分 在二维情况下,以三角形单元为例 网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形。 具体要求是,三角形顶点连着顶点, 三角形三条边长或三个内角大小尽量接近。 图 显示了网格的一部分。 图 表示一个三角形的三个顶点,
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
相应的待定常数为
u1, u2 , , un , unn
2019/10/3
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工程电磁场
主讲人: 王泽忠
以 n 表示基函数序列通项的序号, nn 表示总项数。 u 的近似解(试探函数)表示为
nn
u M n (x, y)un
n 1
在伽辽金加权余量法中,权函数序列:
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工程电磁场
主讲人: 王泽忠
代入第二类边界条件,得
aM m ud bM md M m f d



( m 1, 2, , nn )
将近似函数(试探函数)代入,得
nn
aM m ( M nun )d bMmd Mm f d

n 1
Ae ,Re , Reb
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工程电磁场
主讲人: 王泽忠
单元系数矩阵和单元右端项的元素为
Ae,i, j (aNi N j )de


( m 1, 2, , nn )
以下为了书写方便,将 Mm (x, y) 写为 M m 。
对上述方程组应用格林公式,得
u
aM m

ud

M ma n d M m f d

二维泊松方程的有限元法

二维泊松方程的有限元法


2.单元网格划分
在二维情况下,单元可以是三角形和四边形。
具体要求是,三角形顶点连着顶点,
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点,
i, j, k 的顺序按逆时针。
18/4/25
华北电力大学电气与电子工程学院
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工程电磁场
主讲人: 王泽 忠
18/4/25
华北电力大学电气与电子工程学院
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工程电磁场
主讲人: 王泽 忠
将 1 、 2 、 3 作为未知数,
求解上述方程组,并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
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工程电磁场
1 xi
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设第k 个节点是第一类边界上的节点,
其电位已知k k 0。
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工程电磁场
主讲人: 王泽

在总体系数矩阵和右端向量中,做如下处理:
(1) Akk 1;
(2) Ri Ri Aikk 0 ( i 1,2, , n );
(3) Rk k 0 ;
(4) Akj 0 ( i 1,2, , n );
N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
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有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程有限元方法是一种常用的数值计算方法,用于解决各种物理问题。

在本文中,我们将使用有限元方法来解决二维泊松方程。

泊松方程是一个偏微分方程,常用于描述电势、热传导等问题。

让我们先来了解一下有限元方法的基本原理。

有限元方法将求解区域划分为许多小的子区域,称为单元。

每个单元内的解可以用一组基函数来表示,这些基函数在整个区域上是连续的。

通过在每个单元上建立适当的方程,我们可以得到整个区域上的解。

在本文中,我们考虑一个简单的二维泊松方程,如下所示:∇²u = f其中,∇²表示拉普拉斯算子,u表示未知函数,f表示已知函数。

我们的目标是求解未知函数u。

为了使用有限元方法求解这个方程,我们需要首先将求解区域划分为许多小的单元。

然后,在每个单元上选择适当的基函数。

通常,我们会选择一些简单的基函数,如线性函数或二次函数。

接下来,我们需要在每个单元上建立适当的方程。

这些方程通常采用变分法来得到。

变分法是一种数学方法,用于处理泛函的极值问题。

通过对方程进行适当的变分处理,我们可以得到一组代数方程。

然后,我们将这些代数方程组合起来形成一个大型的线性方程组。

通过求解这个线性方程组,我们可以得到整个区域上的解。

我们需要对解进行后处理,以获得我们感兴趣的物理量。

例如,我们可以计算电场、温度等。

通过使用有限元方法,我们可以有效地求解各种复杂的物理问题。

该方法已经在许多领域得到广泛应用,如结构力学、流体力学、电磁场等。

总结起来,有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法,可以用来解决各种物理问题。

在本文中,我们使用有限元方法来解决二维泊松方程。

通过合理划分求解区域、选择适当的基函数和建立适当的方程,我们可以得到整个区域上的解。

通过求解线性方程组和后处理,我们可以计算出感兴趣的物理量。

有限元方法的广泛应用使得我们能够更好地理解和解决实际问题。

工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法

工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法

式中 wi 为权函数, w1, w2 , , wk , 为权函数序列,
权函数之间要求线性无关。 权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
(1)配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn , 让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
K (e) jm

K (e) mm


Kim


ui


bi


K mj

u
j



b
j


Kmm um bm

b(e) i

f (e)
e
N (e) i
即权函数为
wi

R ci
( i 1,2, , n )
(4)伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0

m
ui L u jd ui fd

j 1

( i 1,2, , n )
在上述几种加权余量法中, 伽辽金法应用最广泛。 有限元法基于伽辽金法
场域离散
二维问题常使用三角形单元离散,便于处理复杂的场域形 状,容易实现。
单元:互不重叠,覆盖全部场域;每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点:网格的交点,待求变量的设置点。 该步骤需要记录的信息: 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小, 可以采用线性近似,将单元内任 意p点的u(x,y)表示为

工程电磁场数值分析(有限元法)

工程电磁场数值分析(有限元法)
使用适当的数值方法求解离散方程组,得到场函数的近似解 。
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛,能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场,有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元,对每个单元进行数学建模和 求解,能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模,包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来,形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题,需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法,它将连续的求解域离散为有 限个小的单元,通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点,广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用,能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场,不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子,对每个磁 偶极子进行数学建模和求解,能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01

有限体积法求解二维泊松方程

有限体积法求解二维泊松方程

有限体积法求解二维泊松方程题目:探索有限体积法求解二维泊松方程在数学和计算科学领域中,求解偏微分方程是一个重要而复杂的问题。

其中,二维泊松方程是一个经典的偏微分方程,它在电磁学、热传导、流体力学等领域都有着重要的应用。

本文将探讨如何利用有限体积法(Finite Volume Method)来求解二维泊松方程,以及该方法的优势和局限性。

一、有限体积法概述有限体积法是一种离散化偏微分方程的方法,它将计算区域分割成有限个体积单元,并在每个单元上建立平衡方程。

在求解二维泊松方程时,我们首先需要将计算区域网格化,然后利用有限体积法建立离散方程,并通过迭代求解得到数值解。

1. 网格生成在利用有限体积法求解二维泊松方程时,首先需要对计算区域进行网格划分。

对于简单的矩形区域,常用的网格生成方法包括结构化网格和非结构化网格。

结构化网格适用于规则几何形状的区域,而非结构化网格则适用于复杂几何形状的区域。

2. 离散化方程在建立离散方程时,我们利用有限体积法将偏微分方程转化为代数方程。

以二维泊松方程为例,离散化方程可以表示为:\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -f(x, y) \]3. 求解方程利用有限体积法离散化后的代数方程可以转化为一个线性方程组,通过迭代方法(如迭代法、共轭梯度法等)求解,得到数值解。

二、有限体积法求解二维泊松方程的优势1. 适用于不规则区域由于有限体积法不依赖于网格的规则性,因此适用于不规则几何形状的计算区域。

2. 能量守恒有限体积法在离散化过程中保持了能量守恒的性质,因此在一些物理问题的模拟中具有一定的优势。

3. 数值稳定性好相比有限差分法等其他数值方法,有限体积法的数值稳定性更好,对于一些复杂的偏微分方程求解具有较好的表现。

三、有限体积法求解二维泊松方程的局限性1. 计算效率较低有限体积法需要对整个计算区域进行网格划分,对于大规模问题,网格生成和方程求解的计算成本较高。

有限元方法(课件)

有限元方法(课件)

有限元⽅法(课件)第⼀章有限元概貌与发展有限元⽅法是近似求解数理边值问题的⼀种数值技术。

这种⽅法⼤约有60年的历史。

它⾸先在本世纪40年代被提出,在50年代开始⽤于飞机设计。

后来,该⽅法得到了发展并被⾮常⼴泛地⽤于结构分析问题中。

⽬前,作为⼴泛应⽤于⼯程和数学问题的⼀种通⽤⽅法,有限元已相当著名。

有限元法应⽤于电磁场中,最先是⽤结点上的插值基函数来表征该结点上的⽮量电场或磁场分量的,称为结点有限元。

但是,在使⽤结点有限元进⾏电磁仿真时,会有⼏个严重的问题。

⾸先,⾮物理的或所谓伪解可能会出现。

其次,在材料界⾯和导体表⾯强加边界条件很不⽅便。

再次,处理导体和介质边缘及⾓也很困难,这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。

在这些问题中,最后⼀个问题⽐其它两个问题更严重,因为它缺少通⽤的处理⽅法。

即使对前两个问题,⽬前的处理状况也不能完全令⼈满意。

因此,有必要探讨其它的可能性或其它⽅法,⽽不仅仅是改进,从⽽将电磁场有限元分析引⼊⼀个新的时代。

幸运的是,⼀种崭新的⽅法已经被发现。

这种⽅法使⽤所谓⽮量基或⽮量元,它将⾃由度(未知量)赋予棱边⽽不是单元结点。

因为这个原因,它也叫棱边元(edge element )。

虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元,但它们在电磁学中的应⽤及其重要性直到前⼏年才被认识到。

在80年代初,Nedelec 讨论了四⾯体和矩形块棱边元的构造。

Bossavit 和Verite 将四⾯体棱边元应⽤于三维涡流问题。

Hano 独⽴地导出了矩形棱边元,并⽤于介质加载波导的分析。

Mur 和de Hoop 考虑了⾮均匀媒质中的电磁场问题。

Van Welij 和Kameari 应⽤六⾯体棱边元进⼀步考虑了棱边元在涡流计算中的应⽤。

Barton 和Cendes 将四⾯体棱边元应⽤于三维磁场计算,同时,Crowley 提出了⼀种更复杂的单元类型,即所谓的协变(covariant )投影单元,它允许单元带有弯曲的棱边。

有限元在电磁场中的应用

有限元在电磁场中的应用

的计算,即将无穷维自由度问题转化为有限个自由度的问题。 结点场量计算的思路如下:描述电磁场规律的是些偏微分方程, 首先找出与之相应的泛函,这样偏微分方程的边值问题就成了求泛函 的极值问题。场域被分成有限单元后,整个场域的泛函就是各单元泛 函之和。在引入插值函数并用结点场量表示单元内任一点的场量后, 泛函近似转化为多元函数,变分极值近似转化为多元函数的极值。在 对场量取偏导并令之为零后,得到的方程是代数方程。每个单元建立 一个方程,在整个求解区域中则有一个代数方程组,计及边界条件后 解此方程组就可求出各结点场量。在此过程中,并不要求每个单元中 的插值函数满足整个场域的边界条件,所以可以很容易的确定。由于

如平面场域中若用三角形【见图1(a)】,作为基本单元,当单元中每个结点 的自由度为1时,则线性场变量模型为

• • •
式中, 代表单元内任意一点的场量, x、y为该点的坐标, 为系数 (x, y) 若用双线性元的矩形单元【见图1(b)】为基本单元,则场变量模型为:
(x,y) =1 x 3 y+4 y (2 2)
2 1 J ( ) (9) dV V 2

• 这就是第一、第二类边界条件下的拉普拉斯方程所对应的泛函。将 式(7)代入式(9),然后进行求导运算可得

(10)
• 这就是拉普拉斯方程的三角单元矩阵特征式
• (5)集合单元特性得到表示整个解域性质的矩阵方程式。为了求得 全系统模型的特性,就必须“集合”全部单元的特性,然后求泛函的 极值,导出联立代数方程组(又称有限元方程)。“集合”所依据的 原理是:在一些单元相互连接的结点处,要求所有包括此结点的单元 在该结点处的场变量相同。(4)和(5)步可一并由计算机来完成。 • (6)求解有限元方程。这首先要考虑边界条件,然后由计算机解出 未知结点的场变量值,通过这些结点值就能求出场内任一点的场量值 。 • 总之,有限元法是从变分原理出发,通过区域划分和分片插值找出形 状函数,在通过“集合”把变分问题近似转化为多元函数的极值问题 。

工程电磁场数值计算(有限元法)剖析

工程电磁场数值计算(有限元法)剖析

(
d2N dx2
j
+N
j)
d
Ni
d2N dx2
j
d
Ni N j d
基函数 Ni 只是一阶可导 的,不能严格满足微分方 程,称为“弱解”。
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
(3)方程离散
Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
由于基函数 Ni 局域支撑,显见只有 Ki,i1, Ki,i, Ki,i1 不为0。 使用分步积分:
j1
记 Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
得代数方程组: Kαb 工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
利用有限元法求解一维边值问题:
L(u)
ddx2u2
ux
u(0) u(1) 0
0x1
(1)单元剖分
如图5个单元,6个节点
(2)选取基函数
x xi1
Ni
xi xi1
xi 1
K0116N0L(N1)d b Nfd 0 1 2 3 4 5 6 0
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
以下把单元e的贡献记为
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
b(e) i
e
N(e) i
f(e)d
这样,就有
K 0 0 K 0 ( 1 0 ) K 0 ( 0 2 ) K 0 ( 0 3 ) K 0 ( 0 4 ) K 0 ( 0 5 ) K 0 ( 0 6 )
n=6
w(3) = 0.0951585117d0
x(1)= 0.932469514203152d0
w(4) = 0.1246289713d0
x(2)= 0.6612d0
w(5) = 0.1495959888d0

工程电磁场数值分析(有限元法)解读

工程电磁场数值分析(有限元法)解读

基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数,具有以下性质: (1)是插值的;
1 (i j ) (2)Ni ( x j , y j ) 0 (i j )
(3)在相邻单元的公共边界上, Ni是连续的,从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
单元分析:计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。
K 00
K 01
1 2 3 4 5 6
N 0 L( N 0 )d
1 6
N 0 L( N1 )d
b0
1 2 3 4 5 6
N 0 fd
以下把单元e的贡献记为
(e) Kij Ni( e ) L( N (j e ) )d e
bi( e ) N i( e ) f ( e ) d
e
这样,就有
(1) (2) (3) (4) (5) (6) K00 K00 K00 K00 K00 K00 K00 (1) (6) K01 K01 K01 (1) (2) (3) (4) (5) (6) b0 b0 b0 b0 b0 b0 b0
3 ( x, y) 1 ( x, y) 2 ( x, y) u( x, y) u1 u2 u3
1 1 其中, x1 2 y1
1 1 1 x 2 y 1 1 2 x1 2 y1
1 x2 y2
1 x2 y2 1 x y
1 x3 y3
1 x3 y3 1 x3 y3 1 1 3 x1 2 y1
第4章 电磁场有限元法(FEM)
1. 有限元的基本原理与实施步骤 2. 有限元方程组的求解 3. 前处理与后处理技术 4. 渐近边界条件 5. 矢量有限元法 6. 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法

7.2.4二维泊松方程的有限元法+-+教学案例6-ANSYS软件在工程电磁场教学中的典型应用

7.2.4二维泊松方程的有限元法+-+教学案例6-ANSYS软件在工程电磁场教学中的典型应用

ANSYS 软件在工程电磁场教学中的典型应用齐磊1、案例说明导体表面电场计算、多导体系统部分电容参数计算、线圈电感计算是工程电磁场教学中的重要内容。

关于导体表面电场和多导体系统部分电容计算,其本质是静电场边值问题的求解,常用的计算方法包括解析法和数值法两大类:解析法主要有直接积分法、镜像法、分离变量法等,这几类方法只能解决一些特殊的工程问题,教学中也主要侧重于其基本原理的讲解和关键知识点的强化;数值法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、矩量法等,这几种方法各有利弊,实际应用中应结合具体工程问题选择合适的计算方法。

有限元法作为一种经典的数值计算方法,近年来随着计算机技术的发展,在工程实际中得到了广泛应用,并出现了成熟的商业软件如ANSYS可供使用。

本案例的第1部分主要讨论ANSYS软件在导体表面电场计算方面的应用,涉及的关键知识点包括静电场边值问题、恒定电流场计算、电准静态场定义、传导电流密度与位移电流密度、静电场与电流场耦合计算、虚拟媒质法等,通过该部分介绍可以深化对上述知识点的理解和掌握,并熟悉ANSYS软件的一般使用方法。

本案例的第2部分主要讨论ANSYS软件在电容参数计算方面的应用,涉及的关键知识点包括电容、静电独立系统、部分电容、静电屏蔽等,通过该部分介绍除深化相关知识点认识外,还可以拓展学生知识面,了解高压直流输电、换流阀系统、过电压分析与绝缘配合等相关知识。

本案例的第3部分主要讨论ANSYS软件在电感参数计算方面的应用,涉及的关键知识点包括恒定磁场边值问题、自感、互感、媒质磁化、镜像法等,通过该部分可以深化对上述知识点的理解,同时了解空心电抗器制造工艺以及可能存在的绕组发热、振动等相关问题。

2、案例介绍2.1ANSYS 软件在导体表面电场计算中的应用ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件,它能与多数CAD软件接口,实现数据的共享和交换。

ANSYS软件共由前处理模块、分析计算模块及后处理模块三大模块组成,其分析计算电场分布的流程如图1所示。

工程电磁场数值分析4(有限元法)

工程电磁场数值分析4(有限元法)

变分原理
有限元法的数学基础是变分原理, 即通过求解泛函的极值问题来得 到原问题的近似解。
微分方程
有限元法将微分方程转化为等价 的变分问题,然后通过离散化将 变分问题转化为标准的线性代数 方程组。
插值函数
为了将连续的物理量离散化,有 限元法使用插值函数来近似表示 连续函数,从而得到离散化的数 值解。
有限元法的离散化过程
01
MATLAB/Simulin k
流行的数值计算和仿真软件,提 供丰富的数学函数库和图形界面, 适用于有限元分析。
02
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件,支持 多种编程语言接口,如Python、 Java等。
03
ANSYS Maxwell
专业的电磁场有限元分析软件, 提供强大的前后处理和求解功能。
对初值条件敏感
有限元法的数值解对初值条件较为敏感,可能导致计算结果的不稳 定。
对边界条件的处理复杂
对于某些复杂边界条件,有限元法需要进行特殊处理,增加了计算 的复杂性。
有限元法的改进方向与未来发展
高效算法设计
研究更高效的算法,减少计算量,提高计算 效率。
自适应网格生成技术
发展自适应的网格生成技术,根据求解需求 动态调整离散化参数。
通过选择适当的离散化参数和节点数,有 限元法能够获得高精度的数值解。
灵活性好
可并行计算
有限元法可以灵活地处理复杂的几何形状 和边界条件,方便进行模型修改和扩展。
有限元法可以方便地进行并行计算,提高 计算效率。
有限元法的缺点
计算量大
有限元法需要对整个求解区域进行离散化,导致节点数和自由度 数增加,计算量大。
电磁兼容性分析

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程
在科学与工程领域中,泊松方程是一种重要的偏微分方程,描述了许多物理现象,如电势、热传导和流体力学中的压力分布等。

解决这些问题的数值方法之一是有限元法,它能够有效地近似求解泊松方程。

二维泊松方程可以用以下形式表示:
∇^2Φ = -ρ。

其中,Φ是待求解的标量场,ρ是给定的源项,∇^2是拉普拉斯算子。

有限元方法通过将求解域划分为离散的单元,然后在每个单元上建立适当的插值函数来近似解。

通过将单元上的局部方程组装成整体方程,可以得到一个大规模的代数方程组,通过求解这个方程组可以得到泊松方程的数值解。

有限元法的关键步骤包括:
1. 离散化,将求解域划分为有限个单元,并在每个单元上建立插值函数来逼近解的行为。

2. 建立局部方程,在每个单元上,根据插值函数和泊松方程,建立局部有限元方程。

3. 组装全局方程,将所有单元的局部方程组装成整体方程。

4. 施加边界条件,根据具体问题的边界条件,对整体方程施加边界条件。

5. 求解方程,通过数值方法求解得到数值解。

有限元法在解决二维泊松方程时,能够有效地处理复杂的几何形状和边界条件,并且可以灵活地适用于不规则网格。

它在工程领域中得到了广泛的应用,如电路设计、结构力学分析和地下水流模拟等领域。

总之,有限元解二维泊松方程是一种强大的数值方法,能够有效地近似求解复杂的偏微分方程,为科学与工程领域中的问题提供了重要的数值模拟手段。

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b N fd 0
1 2 3 4 5 6 0
以下把单元e的贡献记为
K (e) ij

e
N (e) i
L(N
(e) j
)d
b(e) i

e
N (e) i
f
(e)d
这样,就有
K00

K (1) 00

K (2) 00

K (3) 00

K (4) 00

u1
1 ( x,
y)

u2
2
(x,
y)Leabharlann u33 ( x,
y)
可得
Ni

i (x,
y)
( i 1, 2, 3 )
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数,具有以下性质:
(1)是插值的;
1 (i j) (2)Ni (xj , y j ) 0 (i j) (3)在相邻单元的公共边界上,
u(x, y) a bx cy
代入三个顶点的坐标和函数值, 可以解出a、b、c。得到
u(x,
y)

u1
1 ( x,
y)

u2
2 (x,
y)

u3
3 ( x,
y)
111
其中,
1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1
1

1 2
x
x2
x3
y y2 y3
111 1 2 2 x1 x x3
7.3 二维泊松方程的有限元法
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
以二维静电场泊松方程的求解 为例。
Ku b
2u 2u L(u) f
x2 y2 u g

目标:依据加权余量法,利用分域基,建立离散的代数 方程组,即确定系数{Kij} 和{bi}。
计算系数阵
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
这些积分可以分单元进行。例如对右
图所示的局部编码,K01、K00以及b0 的计算公式为:
K00
N L(N )d 1 2 3 4 5 6 0
0
K01 16 N0L(N1)d
wi (P, Pi )
(P, Pi )Rd 0

R(Pi ) 0
( i 1,2, , n )
配点法又叫点匹配法。
(2)子域法
将求解区域划分成 n 个子域,
每次选取权函数在一个子域上为 1, 其他子域上为零。
wi 01((PP不在在子子域域i内i内))
Ni是连续的,从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
计算系数阵 Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
在积分 Kij NiL(N j )d 中,对于确定的 i,j的有效取值为i
本身以及与节点i相联的周围节点,积分的有效区域为以i、 j 为公共节点的所有三角形单元 ,在这些单元中Ni、Nj才有 交叠。
u 的近似解表示为
m
u c ju j
j 1
将近似解代入方程,得余量
m
R Lu f c j Lu j f
j 1
如果余量为零,说明已经满足方程,
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。 只能放松约束, 强制余量的加权积分为零。 即
wi Rd 0 ( i 1,2, , n )
y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列!
1 11 1 3 2 x1 x2 x
y1 y2 y
u(x,
y)

u1
1 ( x,
y)

u2
2
(x,
y)

u3
3 ( x,
y)
记住我们的任务 —寻找基函数
u (x, y) 1N1 2 N2 3N3
对比
u(x,
y)
Rd 0
i
( i 1,2, , n )
(3)最小二乘法
按使方程余量平方积分最小选取权函数。
令 I (c1, c, , cm ) R2d

使 I 最小的条件为
I 0 ci
( i 1,2, , n )

R Rd 0
ci
7 二维泊松方程的有限元法
有限元法 可以从变分原理导出, 也可以从加权余量法导出。 前者需要补充泛函、变分法、欧拉方程、 泛函极值等数学知识,推导过程比较复杂。 后者相对比较直观,而且应用范围更广, 推导过程简单。
7.1 加权余量法
1、加权余量概念
假定边值问题方程
Lu f
式中, u 为未知函数, L 是算符(算子),表示对 u 的一种运算,
场域离散
二维问题常使用三角形单元离散,便于处理复杂的场域形 状,容易实现。
单元:互不重叠,覆盖全部场域;每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点:网格的交点,待求变量的设置点。 该步骤需要记录的信息: 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小, 可以采用线性近似,将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
即权函数为
wi

R ci
( i 1,2, , n )
(4)伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0

m
ui L u jd ui fd

j 1

( i 1,2, , n )
在上述几种加权余量法中, 伽辽金法应用最广泛。 有限元法基于伽辽金法
f 为已知函数。
为求 u ,设有一组完备、线性无关的函数 u1, u2 , , uk , , 取其前 m 项的线性组合作为 u 的近似解 u 。 若当 m 时,有 u u , 则称 u1, u2 , , uk , 为基函数序列, uk 为基函数。 c1, c2 , , cm 为待定系数。

式中 wi 为权函数, w1, w2 , , wk , 为权函数序列,
权函数之间要求线性无关。 权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
(1)配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn , 让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
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