原子物理与量子力学习题解答

1
1 2
1
2 1
2
0 1
2
1 2
1 2
0 0
1 2
1
2
1 2
1 2
0
1 2
同理可得Lx其他本征态的情况
HUST
APPLIED PHYSICS
9
（3）
（3）在Lx表象中表示Lz及其本征态。
1 2
S Lz Lx
1 2 1
2
1 2
0
1 2
1 2 1 1 2 2
0 1 0
S L S Lz Lx z Lz Lx
对角化过程就是Lx 由Lz表象向Lx表象的变换过程
Lz表象中Lz 对应本征值 ,0,的本征态 为：12
1 2
1 2
1
0, 0
0
1,
000
1
2 1 2
0 1
2
1 2
1 2
0
0
0
1
1
2
1 2
0
1 2
将Lx的本征态在Lz的本征态 上展开，则Lz表象中Lx对应 的本征态为：
E (0) 1
E (0) m
H12 2
E (0) 1
E (0) 2
a2
E01 E02
E (2) 2
m2 m
H 2m 2
E (0) 2
E (0) m
H 21 2
E (0) 2
E (0) 1
a2
E01 E02
a2
a2
E1 E01 b E01 E02 E2 E02 b E01 E02
0
1 2
0
0
1 2
1
2
1 2
0
1 2
HUST
APPLIED PHYSICS
3
Lz表象到Lx表象的么正变换矩阵为：
1 2
S 1
2
1 2
1 2
0
1 2
1 2
1
1 2
2
1 2
S 1
2 1
2
1 2
0
1 2
1 2 1 1 2 2
Lx在Lx表象中的表示为：
S Lx S
2
2 0 0
0 0 0
1
2 0
0 1
1 0
HUST
APPLIED PHYSICS
10
5.3非简并定态微扰公式的运用（P172）
已知
HUST
E (0) 1
E01
,
E (0) 2
E02
H12 H 21 a, H11 H 22 b
E (1) 1
H11
b,
E (1) 2
H 22
b
E (2) 1
m 1 m
H1m 2
0时
时
0 1
2 0
1 0 1
0 a1 a1
1 a2 0 a2 本征态0
0 a3 a3
1
1 0
2 1
0 1
2 0
1 0 1
0 a1
1 a2
0
a3
Hale Waihona Puke Baidu
a1
a2
a3
本征态
1 2
1 1
2
HUST
APPLIED PHYSICS
2
STLzLx
APPLIED PHYSICS
11
0
1 2
1
2 1 2
0 1
2
1 2
1 2
0 1
1 2
1 2
由以上展开式系数可得Lx的取值及取值几率
HUST
APPLIED PHYSICS
8
（2）
（2）在Lx的本征态中分析Lz的取值情况
S Lx Lz
S
1
Lz Lx
S S
Lz Lx
Lz Lx
1
1
2
2
1 2
0 1
2
1 2
1 2
0 0
1
2 1 2
1
2
1 2
0
1 2
HUST
APPLIED PHYSICS
7
1
1
2
2
1 2
0
1 2
0
1
2
S Lz Lx
00
0
1 2
1
2 1 2
0 1
2
1 2
1 2
1 0
0
1 2
1 2
1 2
1 2
0
1 2
1 2
S Lz Lx
1 2
0 1 0 0 2 0
0 0 0
0 0 1
HUST
APPLIED PHYSICS
4
同理 L的y 久期方程为
i 2 0
i 2
i 2
0
i
2
0
0
Lz表象中对应本征值 ,0,的本征态为：
1
1 2
2 i 1
0
1
1 0
2 1
1
1 2
2 i 1
HUST
APPLIED PHYSICS
5
Lz表象到Ly表象的么正变换矩阵为：
1 2
1 2
1 2
1 2
i 2
1 2
S i 0 i S 1 0 1
2
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
i 2
2
1 2
，
Ly在Ly表象中的表示为：
S Ly S
2
2 0 0
0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1
L的x 久期方程为
2 0
2
2
0
2
0
0
L的x 本征值方程，如下
a1 a1
Lx Lx a2 a2
a3
a3
HUST
APPLIED PHYSICS
1
时
0 1
2 0
1 0 1
0 a1 a1
1 a2 a2 本征态
0
a
3
a3
1 2
1 2 1
HUST
APPLIED PHYSICS
6
（1）
（1）在Lz的本征态中分析Lx的取值情况
Lx在Lx表象中的本征态为： 由 表 象 变 换 公 式 Lz 的 本 征 态 在Lx表象下为：
1 0 0
0,0 1, 0
0
0
1
1
1
2
2
1 2
1
1 2
S Lz Lx
1
2 1 2