广义积分的概念与计算
广义积分的收敛性与计算方法
广义积分的收敛性与计算方法广义积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论广义积分的收敛性以及一些计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、广义积分的定义广义积分是对一类具有特殊性质的函数进行积分的过程。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中积分的上下限可以是有限的实数或者无限，但函数f(x)在积分区间内必须满足一定的条件。
二、广义积分的收敛性广义积分的收敛性是指积分结果是否存在有限的极限。
根据函数f(x)在积分区间的性质，广义积分可以分为两类：绝对收敛和条件收敛。
1. 绝对收敛如果函数f(x)在积分区间内绝对可积，并且积分结果存在有限的极限，那么广义积分就是绝对收敛的。
绝对收敛的广义积分具有一些重要的性质，例如线性性、保号性和可积性。
2. 条件收敛如果函数f(x)在积分区间内可积，但在某些点上发散，那么广义积分就是条件收敛的。
条件收敛的广义积分存在一定的不确定性，因此在计算时需要特别注意。
三、广义积分的计算方法广义积分的计算可以使用不同的方法，取决于具体的函数和积分区间。
以下是广义积分常用的计算方法之一：1. 初等函数法如果被积函数f(x)是一个初等函数，即可以使用基本初等函数（例如指数函数、对数函数、三角函数等）和基本运算（例如加、减、乘、除）表示，那么可以直接通过对这个函数求导和积分，以及使用基本积分公式来计算广义积分。
2. 替换法替换法是一种常用的计算广义积分的方法。
当被积函数f(x)在积分区间内具有一定的特殊性质时，可以通过引入一个新的变量，将积分转化为一个更容易计算的形式，然后再进行求解。
3. 分部积分法分部积分法是一种常用的计算广义积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个积分转化为两项乘积的形式，从而简化计算过程。
4. 极限求和法极限求和法是对广义积分进行近似计算的一种方法。
通过将广义积分转化为一列定积分的和或差，并通过极限运算来逼近积分结果，可以得到一个近似值。
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
广义积分例题详解
广义积分例题详解在本篇文章中，我们将详细讲解广义积分的概念和例题。
广义积分是对于无限区间或者被积函数存在无穷大或无穷小值的情况下，对积分的一种推广。
在进行广义积分的计算时，需要对被积函数进行分段处理，然后计算每一段的积分。
接下来，我们来看两个广义积分的例题：例1：计算广义积分$int_0^{infty}frac{1}{x^2+1}dx$解析：由于被积函数存在无穷大值，所以需要对区间进行拆分，拆分成$[0,1]$和$[1,infty)$两个区间。
然后再分别对这两个区间进行积分计算。
对于$[0,1]$这个区间，我们可以采用换元积分法，令$x=tantheta$，则有$dx=frac{1}{cos^2theta}dtheta$，并且$0leqthetaleq frac{pi}{4}$。
则原积分可以转化为：$int_0^{frac{pi}{4}}frac{1}{1+tan^2theta}cos^2theta dtheta=int_0^{frac{pi}{4}}cos^2theta dtheta=frac{pi}{8}$ 对于$[1,infty)$这个区间，我们可以采用比较大小的方法，由于$x^2+1geq x^2$，所以$frac{1}{x^2+1}leqfrac{1}{x^2}$，而$int_1^{infty}frac{1}{x^2}dx$是一个收敛的积分，所以原积分也是收敛的。
则有：$int_1^{infty}frac{1}{x^2+1}dxleqint_1^{infty}frac{1}{x^2}d x=frac{1}{x}|_1^{infty}=1$综上所述，原积分的结果为$int_0^{infty}frac{1}{x^2+1}dx=frac{pi}{8}$。
例2：计算广义积分$int_0^1frac{lnx}{sqrt{x}}dx$解析：由于被积函数在$x=0$处存在无穷小值，所以需要对区间进行拆分，拆分成$[0,1]$和$(0,1]$两个区间。
广义积分
第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。
2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。
广义积分与无穷小量的概念与运算
广义积分与无穷小量的概念与运算在微积分学中，广义积分是一种重要的数学工具。
它的概念与运算方法与无穷小量密切相关。
本文将介绍广义积分和无穷小量的基本概念，并探讨它们之间的运算规则。
一、广义积分的概念广义积分是对一定范围内函数的积分运算。
它与定积分的概念类似，但对于某些函数而言，定积分的定义不能直接适用。
这时，我们就需要引入广义积分来处理这种情况。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的广义积分可表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁻)〖∫_a^t f(x)dx〗其中，lim表示极限，a和b为积分区间的端点。
在计算广义积分时，我们通常将b设为一个趋于无穷的数，使得函数在该点不再有定义上的问题。
二、无穷小量的概念无穷小量是微积分中一个重要的概念，它表示当自变量趋于某个确定值时，函数取得的极限为零。
无穷小量常用符号o来表示。
形式化地，如果当x趋于a时，函数f(x)满足lim┬(x→a)〖f(x) = 0〗，则称f(x)为x趋于a时的无穷小量。
无穷小量在微积分中有着广泛的应用。
例如，在求导数和积分中，可以利用无穷小量的性质进行计算和推导。
三、广义积分与无穷小量的关系广义积分中的无穷小量概念与极限的思想密切相关。
为了更好地理解广义积分与无穷小量的关系，我们以一个例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x，我们想要求解∫f(x)dx，其中积分区间为[1, ∞)。
首先，我们将该广义积分问题转化为极限问题，即求解lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx〗。
根据定积分的性质，我们可以通过求解定积分的极限来得到广义积分的值。
进一步计算，我们有：lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx = lim┬(t→∞)〖ln(t) - ln(1)〗= ∞〗由此可见，在这个例子中，广义积分∫f(x)dx的值为无穷大。
这说明函数f(x) = 1/x在区间[1, ∞)上不满足定积分的定义，因此需要引入广义积分的概念来处理。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍广义积分的定义及其应用。
我们来看一下广义积分的定义。
广义积分是对不可积函数的积分的推广。
在一定条件下，如果函数在给定区间上的积分存在有限值，那么我们称之为广义积分存在。
广义积分的定义基于极限的概念，通过将函数分割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的积分来得到。
广义积分的计算方法有多种，其中最常见的是分部积分法和换元积分法。
分部积分法是将一个复杂的积分式分解成两个简单的积分式，然后进行计算。
换元积分法则是通过变量替换将复杂的积分式转化为简单的形式，从而进行计算。
这两种方法在解决复杂的广义积分计算问题时非常有用。
广义积分在数学中的应用非常广泛。
它可以用于计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
在物理学中，广义积分常用于描述物体的质量、力、功等。
在工程学中，广义积分则可以用于计算电路中的电流、电压等。
除了数学、物理、工程领域，广义积分还有一些其他的应用。
例如，在经济学中，广义积分可以用于计算收益、成本等；在生物学中，广义积分可以用于计算生物体积、生长速度等。
总之，广义积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
许多数学家致力于研究广义积分的性质和特点，以及它们在各个领域中的应用。
这些研究不仅推动了数学的发展，也为其他学科的发展提供了重要的理论支持。
总结起来，广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
广义积分的计算方法有多种，如分部积分法和换元积分法。
广义积分的应用范围非常广泛，包括计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
此外，广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
通过不断深入研究广义积分的性质和特点，可以为其他学科的发展提供重要的理论支持。
广义积分与应用
广义积分与应用广义积分是微积分中的重要概念，它是对函数在一定区间上的累积求和。
广义积分在数学和工程领域中有着广泛的应用，本文将介绍广义积分的基本概念和一些常见的应用。
一、广义积分的基本概念1.1 定积分的基本概念定积分是广义积分的一种特殊情况，用来求解函数在一个有限区间上的积分值。
定积分符号表示为∫，函数f(x)在[a,b]上的定积分表示为∫[a,b]f(x)dx。
1.2 不定积分的基本概念不定积分是对函数的原函数的求解，符号表示为∫f(x)dx。
不定积分存在一个常数项，因为对同一个函数而言，它的导函数是不唯一的。
1.3 广义积分的引入广义积分是对不可积函数或无界函数的积分概念进行推广，用于解决一些求和问题。
广义积分符号表示为∫，函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为∫[a, b]f(x)dx。
二、广义积分的计算方法2.1 瑕积分瑕积分是广义积分的一种形式，它处理无界函数或在某些点上发散的函数。
瑕积分的计算需要将无穷区间[a, b]划分成有限个有界子区间，并通过求解有界子区间上的定积分来求解广义积分。
2.2 收敛与发散广义积分可能会收敛或发散。
当广义积分的值存在有限的极限时，称其为收敛；当广义积分不存在有限极限时，称其为发散。
2.3 收敛级数收敛级数是广义积分的另一种形式，它是无穷序列求和的极限。
收敛级数可以表示为∑an = s，其中s为收敛和。
三、广义积分的应用领域3.1 几何学应用广义积分在几何学中有着广泛的应用，可以用于计算曲线长度、曲线与坐标轴所围成的面积、曲面面积和曲面体积等。
3.2 物理学应用在物理学中，广义积分可以用于求解质点或杆的质心、质量、转动惯量等重要物理量。
此外，广义积分还可以用于计算流体力学中的流量、质量、功率等。
3.3 统计学应用广义积分在统计学中也有一些应用，例如求解概率密度函数和累计分布函数等，这对于研究随机变量的概率分布及其性质非常重要。
3.4 工程学应用在工程学中，广义积分被广泛应用于求解电路中的电流、电压、功率等，并且还可以用于计算传热学中的热量、传热速率等。
第五章定积分、广义积分
0 (令x t)
0
2
(5) xf (sin x)dx
f (sin x)dx
2 f (sin x)dx
0
20
0
(令x t)
二、基本问题及解法
问题(一) 有关变上限积分的运算
如果f ( x)在[a, b]上连续,则变上限积分( x)
x
f (t)dt
a
是x的连续函数.可进行函数的各种运算,如,求极限、 求
(3) a ( x a)k k 1时发散
利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:
例1.下列广义积分发散的是 ( )
1 dx
( A)0
; x
2 dx
(B)
;
1 3 x1
dx
(C )1
; x
dx
(D)2 x (ln x)
利用上述结论不难判定 (C), (D)正确.
6.微积分的常用公式
dy 2xe y2 cos x2dx
例5.设f ( x)在[0, )上连续且满足
x2 (1 x )
f (t)dt x
0
求f (2)
解 : 方程两边对x求导,得 f [x2(1 x)][x2(1 x)] 1,
即 f ( x2 x3 ) (2x 3x2 ) 1.令 x 1,得 f (2) 1 5
(a, c为任意常数)
2 a kf (x)dx k a f (x)dx
3 a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
4
分部积分公式
udv uv
vdu
a
a
a
5 也有相应的换元法；
6
f (x)dx F (x) F () F (a)
广义积分计算公式
广义积分计算公式广义积分是微积分中的一种重要概念，它是对实数区间上的函数进行积分的一种方法。
广义积分计算公式提供了一种计算广义积分的方法，它包括了不定积分和定积分两种形式。
在下面的文章中，我将详细介绍广义积分的计算公式和具体的计算方法。
首先，我们来看不定积分的计算公式。
不定积分是对函数进行积分而不指定上下限的形式，它可以表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)表示要积分的函数。
不定积分的计算公式可以通过基本积分公式来得到。
常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-12. ∫1/x dx = ln，x， + C。
3. ∫e^x dx = e^x + C。
4. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这些基本积分公式是广义积分计算的基础，它们可以用来计算更加复杂的不定积分。
下面我们来看定积分的计算公式。
定积分是对函数在一个闭区间上进行积分，它可以表示为∫[a,b]f(x)dx。
其中f(x)表示要积分的函数，[a,b]表示积分的闭区间。
定积分的计算公式可以通过牛顿—莱布尼茨公式来得到。
牛顿—莱布尼茨公式为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，如果能够找到一个函数F(x)，使得它的导数等于f(x)，那么定积分的结果就等于F(b)-F(a)。
在实际计算中，很多函数并没有具体的原函数表达式，因此我们需要通过其他方法来计算定积分。
常见的方法包括换元法、分部积分法和凑微分法等。
换元法是指通过变量代换来简化积分的计算。
具体来说，我们可以将原函数的自变量进行适当的变换，使得积分变得更加容易计算。
常见的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换和对数函数的代换等。
分部积分法是指通过将积分公式转化为乘法形式，然后使用乘法的公式进行计算。
定积分的广义积分
定积分的广义积分定积分是微积分中的重要概念，它能够求出函数在一定区间内的面积或曲线长度等量值。
然而，不是所有函数都能够进行定积分，因为在某些情况下，函数可能在区间内出现无限大、无界、发散等情况。
这时，就需要引入广义积分的概念。
一、广义积分的定义广义积分是指函数在无限区间上的积分，它的定义分为以下两种情况：1. 第一类广义积分如果函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ ∞ 上 Riemann 可积，那么第一类广义积分可以定义为：$$ \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)dx $$其中，a 为下限，∞ 为上限，b 为上限的一个变量。
这个定义表示，当上限趋近于无穷大时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。
如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。
2. 第二类广义积分如果函数在区间a ≤ x ≤ b 的一个子区间上发生无限大或无穷小的情况，那么就需要使用第二类广义积分的定义。
对于函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ b 上不连续，但在每个分割区间内仍然 Riemann 可积的情况，第二类广义积分可以定义为：$$ \int_a^b f(x)dx = \lim_{\epsilon_1 \rightarrow 0^+, \epsilon_2\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon_1}^{c-\epsilon_2} f(x)dx $$其中，a 为下限，b 为上限，c 为 a 与 b 之间的某一点。
这个定义表示，当积分范围趋近于a 或b 时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。
如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。
二、广义积分的应用广义积分在微积分中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它可以被用来计算无限长的线、面、体等的质量、电荷、热量等物理量。
反常积分0
故a > 0时，积分收敛；a < 0时，积分发散。
作业 P368：3(1)(6)(7) P368：
于是
W ( x ) = R 2 mg ∫
x →∞
x R
1 1 x R dr = R 2 mg ( − ) = Rmg(1 − ) r R x r2
显然，W = lim W ( x )，从而
W = −∫
+∞ R
F ( r )dr = lim( − ∫ F ( r )dx ) = Rmg
x →∞ R
x
W = −∫
+∞ R
F ( r )dr
这就是 区间无限 的一种反 常积分。 为了求出此值，取x > R，先求出物体到达x处所做的功：
W ( x ) = − ∫ F ( r )dr = − ∫ G
R R x x
Mm dr （G为万有引力常数） 2 r
而在地 表上，地 球引力就 是重力， 故
Mm R2 g F ( R ) = −G 2 = − mg ⇒ G = M r
+∞ π π = + =π = arctan x + arctan x 2 2 0 −∞ 0
例.讨论 ∫
+∞ 0
e − ax dx的敛散性.
+∞
解：当a = 0时， 1 dx显然发散； ∫
0
当a ≠ 0时，由于 ∫
+∞
0
1 e − ax +∞ , a > 0 e − ax dx = − = a a 0 +∞ , a < 0
B→ −∞ B A→ +∞ a
a
2 若 [ f 注 ： f (x)在a, +∞]上 续 F(x)是 (x)的 个 函 。 连 ， 一 原 数 则
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
1广义积分的概念与计算
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
2020/9/26
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5
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
0
x2
1 x2
dx
1 d(x 1x) 0 (x 1x)2 2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的广义积分.
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18
(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
v.p. f (x) dx lim
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
A O1
b
x
lim 1 b
1 b
1
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3
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
a
f (x) dx
a a
b
v.p.a f (x) dx
(c为瑕点, a c b)
lim
0
c
a
f (x)dx
b
c
f (x) dx
注意: 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广 义积分收敛 .
1广义积分的概念与计算
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
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2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
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14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
广义积分的概念与计算
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ；
2、
dx
；
x2 2x 2
3、 x ne xdx （ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
第21页/共24页
5、 2 xdx ；
1 x1
6、 x ln x dx ；
0 (1 x 2 )2
0 a
在区间(a, b]上的广义积分，记作ab f ( x)dx .
b f ( x)dx lim b f ( x)dx
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
第10页/共24页
类似地，设函数 f ( x) 在区间[a, b)上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间[a, b)上的广义积分，
b
记作 f ( x)dx lim
b f ( x)dx .
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
第11页/共24页
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外连
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时广义积分发散.
第8页/共24页
例 4 证明广义积分 e pxdx 当p 0 时收敛， a
当 p 0时发散.
证
e pxdx a
lim
b
b
e
广义积分与变换
广义积分与变换广义积分和变换是数学中重要的概念和工具，它们在许多领域中都有广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍广义积分和变换的概念、性质以及应用，并探讨它们在数学和其他科学领域的重要性。
一、广义积分广义积分是指当被积函数在某些区间上不满足黎曼可积条件时，我们对其进行积分的方法。
广义积分的概念首先由数学家柯西引入，并经过数学家黎曼的修正和扩展而得到完善。
广义积分最常见的形式是定积分的广义形式，即积分上下限可以是无穷大或无界的。
对于函数f(x)，如果在[a, b]上黎曼可积，那么我们可以定义其定积分∫[a, b]f(x)dx。
如果f(x)在[a, b]上不满足黎曼可积条件，我们可以将积分区间[a, b]分割成若干个子区间，再分别在这些子区间上定义广义积分。
当极限∫[a, t]f(x)dx存在时，我们称之为广义积分的收敛性。
广义积分具有一些重要性质，如线性性、比较性、积分换元等。
这些性质使得广义积分成为处理无穷和无界函数的有力工具。
广义积分在微积分、数学分析以及其他科学领域的建模和问题求解中都有广泛的应用。
例如，它可以用于求解曲线长度、体积、面积等几何问题，还可以用于解析几何、概率论、统计学等领域的计算。
二、变换与广义积分变换是一种数学工具或方法，将原始函数或模型转换为新的函数或模型，并通过改变变量或坐标系来简化问题或求解问题。
变换与广义积分有着密切的联系和应用。
常见的变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、泊松变换等。
这些变换在信号处理、电路分析、图像处理、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
它们通过将原始函数表示为频域或复平面上的函数，使得问题的求解便捷而简单。
其中，傅里叶变换和拉普拉斯变换是最为常见和重要的变换。
傅里叶变换将函数表示为频域上的函数，它在信号处理和图像处理中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而进行频谱分析、滤波和频率特征提取等操作。
傅里叶变换的性质和快速算法（如快速傅里叶变换）使得信号处理变得简单高效。
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f
( x)dx
和 0
f
( x)dx
都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间
(
,
)
上的广义积分，记作
f
(
x
)dx
.
0
f(x)dx f(x)dx0 f(x)dx
0
b
lim f(x)dxlim f(x)dx
aa
b0
极 限 存 在 称 广 义 积 分 收 敛 ； 否 则 称 广 义 积 分 发 散 .
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解
lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
计算广义积分
2
1 x2
sin1dx. x
解
2
1 x2
sin1dx x
2sin1xd1x
bl im 2bsin1xd1x
blimcos
1b x2
bl im co1bsco2s 1.
.
例 3证 明 广 义 积 分 1x1pdx 当 p1时 收 敛 ，
当 p1时 发 散 .
证
(1)
p1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
lnx1 ,
(2)
p1, 1
1 xp
dx
x1 1
p p 1
pp1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为1 ； p1
当 p1时 广 义 积 分 发 散 .
.
例4 证 明 广 义 积 分epxdx当p0时 收 敛 ， a
分，记作 a
f
(x)dx.
f(x)dxlimbf(x)dx
a
ba
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
.
类似地，设函数f (x)在区间(,b]上连续，取
ab，如果极限lim b a a
f
(x)dx存在，则称此极
点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
b
lim
0 a
f ( x )dx 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x )
在
区间
(
a
,
b]上
的
广
义
积
分
，
记
作
b
a
f
(
x
)dx
.
b a
f
(x)dxl im 0 ab
f(x)dx
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
q1时 发 散 .
证 (1)q1,
11
0 x q
dx
1
0
1 x
dx
lnx10
,
(2)q1,
1
0
1 xq
dx
x 1q 1 1 q 0
,
1
1
q
,
q q
1 1
因 此 当 q1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为1； 1q
当 q1时 广 义 积 分 发 散 .
.
例7
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
当p0时 发 散 .
证
epxdxlimbepxdx
a
ba
blim
e px p
b a
limepaepb b p p
e ap
p
,
,
p0 p0
即 当 p 0 时 收 敛 ， 当 p 0 时 发 散 .
.
二、无界函数的广义积分
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b] 上连续，而在
第八章 反常积分---广义积分
• §1 广义积分的概念与计算 • §2 广义积分的收敛判别法 • §3 习题课
.
本章内容、要求及重点
教学内容：
1、给出了反常积分的概念。 2、给出了反常积分的计算。 3、给出了反常积分的敛散性判别方法。
教学重点: 反常积分的概念；反常积分的判敛方法。 要求:
1、理解反常积分的概念。 2、熟练掌握求反常积分的判敛方法，并会计算 反常积分。
限为函数f (x) 在无穷区间(,b] 上的广义积
分，记作 b
f
(x)dx.
b f(x)dxlimbf(x)dx
aa
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
.
设函数 f ( x) 在区间(,) 上连续,如果
广义 积 分 0
b
c
b
a f ( x ) d a x f ( x ) d c x f ( x ) dx
c
b
l i0a m f(x )d x l i0c m f(x )dx
否 则 ， 就 称 广 义 积 分 a b f ( x ) d 发 散 . x
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
.
a dx
.
第一节 反常积分的概念与计算
• §1 无穷限的广义（反常）积分 • §2 无界函数的广义（反常）积分 • §3 小结
.
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,)上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x)在无穷区间[a,) 上的广义积
.
例1
计算广义积分
1
dx x2
.
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
al ima011x2dxbl im0b11x2dx
al im arctxa 0 anbl im arctxab0n
al im arctaanbl im arctban22.
.
例2
解
2 1
dx x ln x
2 dx lim
0 1 xlnx
lim2 0 1
d(lnx) lnx
l i0m ln(x)l1 2 n
l 0 i lm n 2 ) (lln n 1 ()l) n(
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
.
类似地，设函数f (x) 在区间[a,b) 上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
lim b f (x)dx存在，则称此极限为函数f (x)
0 a
在区间[a, b)上的广义积分，
b
记作 f (x)dx lim
b f ( x)dx.
a
0 a
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
.
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 除 点 c(acb)外 连
续 ， 而 在 点 c的 邻 域 内 无 界 .如 果 两 个 广 义 积 分
acf(x)d和 xcbf(x)d都 x收 敛 ， 则 定 义