层合板的刚度及强度 (1)

第五章层合板的刚度5.1 引言层合板(Laminate)是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。

每一层单向板(Unidirectional lamina)称为层合板的一个铺层。

各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。

层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。

因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。

与单向板相比，层合板有如下特征：(1) 由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确定的材料主方向。

(2) 层合板的结构刚度取决于铺层的性能和铺层的叠放次序，对于确定的铺层和叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。

(3) 层合板有耦合效应，即面内拉压、剪切载荷可产生弯曲、扭转变形，反之，在弯、扭载荷下可产生拉压、剪切变形。

(4) 一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可继续承载，层合板不一定失效。

因而，对层合板的强度分析要复杂很多。

(5) 在固化过程中，由于各单层板的热胀冷缩不一致，在层合板中要引起温度应力，这是层合板的初应力。

(6) 层合板由不同的单层粘结在一起，在变形时要满足变形协调条件，故各层之间存在层间应力。

5.2 层合板的标记层合板标记是表征层合板铺层铺设参数(层数、铺层材料主方向、铺层纤维种类、铺层次序)的符号。

如图所示，层合板总厚度为h，有N 个铺层。

通常将层合板中面(平分板厚的面)设置为xy 坐标面，z 轴垂直板面。

沿z 轴正方向将各铺层依次编号为1～N ，第k 层的厚度为t k 铺设角(纤维与x 轴的夹角)为θk ，其上下面坐标为z k 和z k -1。

z -k z z k z N z -N z z如果各铺层的材料和厚度相同，沿z轴正方向依次标出各层的铺设角θk (k=1,2,…,N)，便可表示整个层合板。

如•[0/45/90]T，表示有三个铺层的层合板，各层厚度相同，铺设角依次为0o、45o、90o，下标“T”表示已列出全部铺层。

•[0/90]S＝[0/90/90/0]T，下标“S”表示对称铺设。

•[0/452/90]T＝[0/45/45/90]T，[0/90]2T＝[0/90/0/90]T，下标数字表示重复铺层。

•[0/±45]S＝[0/45/－45]S，表示正负铺层连续铺设。

对于各铺层厚度不同的层合板，还需注明各铺层的厚度，如•[0 t/90 2t/45 3t]T，表示1到3铺层的厚度依次为t、2t、3t。

对于不同纤维的混杂铺层，可用下标区别，如•[02C/45G]S，C-碳纤维，G-玻璃纤维。

对于单向与双向铺层混合铺设，用“( )”表双向铺设，如•[0/(0, 90)/(±45)]S 。

依层合板结构的对称性，层合板分为以下几种：(1) 对称层合板：铺层的几何尺寸和材料性能都对称于中面θ=θ)z-(z)(如 [30/－60/15/15/－60/30]T=[30/－60/15]S，[0 t/90 2t/45 3t/90 2t/0 t]T=[0 t/90 2t/45 1.5t]S 。

(2) 反对称层合板：各层的铺设角关于中面反对称，其它几何尺寸及性能对称θ-=θz-((z))如 [－45/30/－30/45]T，把0o和90o也看作交错角，以下层合板也是反对称的，[0/90/0/90/0/90]T，[－45/30/0/－30/45]T，[30/45/90/－45/－30]T 。

(3) 非对称层合板：各层的铺设角关于中面没有对称性或反对称性。

(4) 夹芯层合板：用层合板作为面板，中间夹有低密度芯子的夹芯结构。

当材料质量相同时，夹芯结构可提高抗弯性能及受压稳定性。

5.3 层合板的模量研究的层合板为等厚度薄板，即层合板厚度与长、宽相比小很多，沿厚度方向位移与板厚相比小很多。

对于薄板，作如下基本假设：(1) 直法线假设：变形前的中面法线，变形后仍保持直线且垂直于变形后的中面。

这等于各铺层间完好粘结，沿厚度方向位移连续且无剪切变形，有0==zy zx γγ(5- 1)(2) 层合板的厚度不变，即0=z ε(5- 2)(3) 正应力z σ与其它应力比很小，可忽略，各铺层处于平面应力状态。

在上述假定基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论。

5.3.1 层合板的应力应变关系考虑N 层厚度为h 的层合板，xy 坐标面为层合板的中面。

层合板中任意一点的位移分量为u=u (x,y,z )，v=v (x,y,z )，w=w (x,y,z )。

由基本假定得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂=000y w z v x w z u z w zy zx z γγε (5- 3)将上面式子对z 积分，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂-==y y x w z v v x y x w zu u y x w w ),(),(),(00 (5- 4)式中0u 、0v 、w 为中面的位移分量，且只是x 、y 的函数。

w 又称为挠度函数。

由几何方程有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂-∂∂=∂∂=y x y x w z x v y u x v y u y y x w z y v y v x y x w z x u x u xy y x ),(2),(),(200220220γεε (5- 5)写成矩阵形式为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y xxy y x k k k z 000γεεγεε (5- 6)式中⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧x v y u y v x u xy y x 0000000γεε， ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧y x w y w x w k k k xy y x 222222 (5- 7)分别为中面的应变分量和曲率分量(k xy 为扭曲率)。

在xy 坐标系中，第k 层的应力应变关系为k xy y x k k xy y x k k xy y x Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧γεεγεετσσ662616262212161211][ 其中11Q 、12Q 、22Q 、66Q 为θ 的偶函数，16Q 、26Q 为θ 的奇函数。

把它带入(5-6)得⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy yx kk xy y x k k k z Q Q Q Q Q Q Q Q Q 000662616262212161211γεετσσ (5- 8)由于各铺层的ij Q 不同，层合板的应变沿厚度方向是线性分布的，各层应力不连续分布，但在每一层是线性分布的，见图。

5.3.2要使(5-8)所示的应力分量在层合板的侧面上精确地满足应力边界条件，一般是相当困难的。

可应用圣维南原理，使层合板在厚度方向的应力分量合成的内力(合力及合力矩)整体地满足边界条件。

具有N 层铺层的层合板厚度为h ，在x 、y 为常量的横截面上，单位宽度上的合力、合力矩分别为N x 、N xy 、M x 、M xy 和N y 、N yx 、M y 、M yx 。

它们可由各铺层上的应力沿层合板厚度方向积分得到z N N N h h kxy y x xy y x d 2/2/⎰-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧τσσ，zz M M M h h k xy y x xy y x d 2/2/⎰-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧τσσ(5- 9)xy yx N N =，xy yx M M =沿z 方向应力分量在各铺层间连续分布，把每一层的应力应变关系(5-8)带入式(5-9)，得x⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎰∑⎰∑⎰⎰∑⎰∑⎰------====z z k k k z z Q Q Q Q Q Q Q Q Q z z M M M z z k k k z Q Q Q Q Q Q Q Q Q z N N N k k k k k k k k k k k k z z xy y x N k z z xy y x kN k z z k xy y x xy y x z z xy y x N k z z xy y x kN k z z kxy y x xy y x d d d d d d 11111121000662616262212161211110006626162622121612111γεετσσγεετσσ (5- 10)由于中面应变与曲率与z 无关，上式积分，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y xxy y x xy y x xy y xxy y x k k k D D D D D D D D D B B B B B B B B B M M M k k k B B B B B B B B B A A A A A A A A A N N N 662616262212161211000662616262212161211662616262212161211000662616262212161211γεεγεε(5- 11)式中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-===-===-==∑∑⎰∑∑⎰∑∑⎰==--==--==--N k Nk k k k k k h h ij k Nk k N k k k h h ij N k kN k k k h h ij h z h z z z D z h z z z B h z z z A 1132k ij 313k ij 2/2/2ij 1k ij 1212k ij 2/2/ij 1k ij 11k ij 2/2/ij )121()Q ()()Q (31d z Q )Q ()()Q (21zd Q )Q ()()Q (d Q ， )6,2,1,(=j i (5- 12)其中A ij 称为拉压刚度，B ij 为耦合刚度，D ij 为弯曲刚度，1--=k k k z z h 为第k 层的厚度， )(121-+=k k k z z z 为第k 层中面的z 坐标。