勾股定理基础知识详解+基本典型例题解析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理
一、勾股定理 二、 勾股定理的逆定理 三、《勾股定理》全章复习与巩固
一、勾股定理基础知识讲解 +基本典型例题解析
【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条
边长求出第三条边长
．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 如果直角三角形的两直角边长分别为
a， b ，斜边长为 c ，那么 a2 b 2 c2 .
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式：
类型三、利用勾股定理作长度为
n 的线段
3、作长为
、 、 的线段．
【思路点拨】 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于
，直角边为
和 1 的直角三角形斜边长就是
【答案与解析】 作法：如图所示
，类似地可作
.
（1）作直角边为 1（单位长度）的等腰直角△ ACB，使 AB为斜边；
（2）作以 AB 为一条直角边，另一直角边为 1 的 Rt
所以 a 2 c2 b 2 262 242 676 576 100 ．所以 a ＝ 10 ．
【总结升华】 已知直角三角形的两边长， 求第三边长， 关键是先弄清楚所求边是直角边还是 斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：
【变式 1】在△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A、∠ B、∠Ｃ 的对边分别为 a 、 b 、 c ． （1）已知 b ＝2， c ＝3，求 a ； （2）已知 a : c 3: 5 ， b ＝32，求 a 、 c ．
，所以
.
要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为
的线段．
【基本典型例题】 (1)
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A、∠ B、∠Ｃ 的对边分别为
（1）若 a ＝5， b ＝12，求 c ； （2）若 c ＝26， b ＝24，求 a ．
OA22=（ ） 2+1=2 ，Ｓ1= ；
OA32=（ ） 2+1=3，Ｓ2= ；
OA42=（ ） 2+1=4，Ｓ3= …
（1）请用含有 n（ｎ为正整数）的等式
（2）推算出 OA10=______________． （3）求出 S12+S22+S32+…+S102 的值．
Sn=___________；
=（ ）2+（ ） 2+（ ） 2+…+（
）2
= （1+2+3+…+10）
=．
2 22
2
即：Ｓ1 +S2 +S3 +…+S10 = ．
类型二、勾股定理的证明
2、如图所示，在 Rt△ABC中，∠ C＝90°， AM 是中线， MN⊥AB，垂足为 N，
试说明 AN 2 BN 2 AC 2 ．
【答案与解析】
a 、b、 c．
【思路点拨】 利用勾股定理 a 2 b2 c 2 来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ ABC 中，∠ C＝90°， a 2 b2 c 2 ， a ＝ 5 ，b ＝12，
所以
2
c
2
a
2
b
2
2
5 12
25 144 169 ．所以 c ＝ 13 ．
（2）因为△ ABC 中，∠ C＝90°， a 2 b2 c 2 ， c ＝ 26 ，b ＝24，
【答案】
解：（1）∵ ∠C＝90°， b ＝2， c ＝3，
∴a
c2 b2
32 22
（2）设 a 3k ， c 5k ． ∵ ∠C＝90°， b ＝32，
5；
∴
2
a
2
b
2
c．
即 (3k)2
2
32
2
(5k ) ．
解得 k ＝8． ∴ a 3k 3 8 24 ， c 5k 5 8 40 ．
【变式 2】（2015 秋?永登县期中）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问 题．
a2 c2 b2 ， b2 c2 a2 ， c2
2
a b 2ab .
要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1）所示的正方形．
图（ 1）中，所以
.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2）所示的正方形．
图（ 2）中
，所以
.
方法三：如图（ 3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
解：因为 MN⊥AB，所以 AN 2 MN 2 AM 2 ， BN 2 MN 2 MB 2 ，
所以 AN 2 BN 2 AM 2 BM 2 ．
因为 AM是中线，所以 MC＝MB．
又因为∠ C＝90°，所以在 Rt△AMC中， AM 2 MC 2 AC 2 ，
所以 AN 2 BN 2 AC 2 ．
【总结升华】 证明带有平方的问题， 主要思想是找到直角三角形， 利用勾股定理进行转化． 若 没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．
【答案】 解：（1）
+1=n+1
Sn= （ｎ是正整数）；
故答案是： ；
（2）∵ OA12=1，
2
2
OA2 =（ ） +1=2，
OA32=（ ）2+1=3，
2
2
OA4 =（ ） +1=4，
∴OA12= ，
OA2= ，
OA3= ，…
∴ OA10=
；
故答案是：
Leabharlann Baidu
；
2 22
2
（3）Ｓ1 +S2 +S3 +…+S10
，斜边为
；
（3）顺次这样做下去， 最后做到直角三角形
，这样斜边
、、 、
的长度就是
、、 、.
【总结升华】 （1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的； （2）取单位长度时可自定，一
般习惯用国际标准的单位，如 1 cm 、１m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可．
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、（2015 春?遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街 路上行驶速度不得超过 70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m的 C 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检 测仪间距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换： 1m/s=3.6km/h）
一、勾股定理 二、 勾股定理的逆定理 三、《勾股定理》全章复习与巩固
一、勾股定理基础知识讲解 +基本典型例题解析
【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条
边长求出第三条边长
．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 如果直角三角形的两直角边长分别为
a， b ，斜边长为 c ，那么 a2 b 2 c2 .
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式：
类型三、利用勾股定理作长度为
n 的线段
3、作长为
、 、 的线段．
【思路点拨】 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于
，直角边为
和 1 的直角三角形斜边长就是
【答案与解析】 作法：如图所示
，类似地可作
.
（1）作直角边为 1（单位长度）的等腰直角△ ACB，使 AB为斜边；
（2）作以 AB 为一条直角边，另一直角边为 1 的 Rt
所以 a 2 c2 b 2 262 242 676 576 100 ．所以 a ＝ 10 ．
【总结升华】 已知直角三角形的两边长， 求第三边长， 关键是先弄清楚所求边是直角边还是 斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：
【变式 1】在△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A、∠ B、∠Ｃ 的对边分别为 a 、 b 、 c ． （1）已知 b ＝2， c ＝3，求 a ； （2）已知 a : c 3: 5 ， b ＝32，求 a 、 c ．
，所以
.
要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为
的线段．
【基本典型例题】 (1)
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A、∠ B、∠Ｃ 的对边分别为
（1）若 a ＝5， b ＝12，求 c ； （2）若 c ＝26， b ＝24，求 a ．
OA22=（ ） 2+1=2 ，Ｓ1= ；
OA32=（ ） 2+1=3，Ｓ2= ；
OA42=（ ） 2+1=4，Ｓ3= …
（1）请用含有 n（ｎ为正整数）的等式
（2）推算出 OA10=______________． （3）求出 S12+S22+S32+…+S102 的值．
Sn=___________；
=（ ）2+（ ） 2+（ ） 2+…+（
）2
= （1+2+3+…+10）
=．
2 22
2
即：Ｓ1 +S2 +S3 +…+S10 = ．
类型二、勾股定理的证明
2、如图所示，在 Rt△ABC中，∠ C＝90°， AM 是中线， MN⊥AB，垂足为 N，
试说明 AN 2 BN 2 AC 2 ．
【答案与解析】
a 、b、 c．
【思路点拨】 利用勾股定理 a 2 b2 c 2 来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ ABC 中，∠ C＝90°， a 2 b2 c 2 ， a ＝ 5 ，b ＝12，
所以
2
c
2
a
2
b
2
2
5 12
25 144 169 ．所以 c ＝ 13 ．
（2）因为△ ABC 中，∠ C＝90°， a 2 b2 c 2 ， c ＝ 26 ，b ＝24，
【答案】
解：（1）∵ ∠C＝90°， b ＝2， c ＝3，
∴a
c2 b2
32 22
（2）设 a 3k ， c 5k ． ∵ ∠C＝90°， b ＝32，
5；
∴
2
a
2
b
2
c．
即 (3k)2
2
32
2
(5k ) ．
解得 k ＝8． ∴ a 3k 3 8 24 ， c 5k 5 8 40 ．
【变式 2】（2015 秋?永登县期中）分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问 题．
a2 c2 b2 ， b2 c2 a2 ， c2
2
a b 2ab .
要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1）所示的正方形．
图（ 1）中，所以
.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2）所示的正方形．
图（ 2）中
，所以
.
方法三：如图（ 3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
解：因为 MN⊥AB，所以 AN 2 MN 2 AM 2 ， BN 2 MN 2 MB 2 ，
所以 AN 2 BN 2 AM 2 BM 2 ．
因为 AM是中线，所以 MC＝MB．
又因为∠ C＝90°，所以在 Rt△AMC中， AM 2 MC 2 AC 2 ，
所以 AN 2 BN 2 AC 2 ．
【总结升华】 证明带有平方的问题， 主要思想是找到直角三角形， 利用勾股定理进行转化． 若 没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．
【答案】 解：（1）
+1=n+1
Sn= （ｎ是正整数）；
故答案是： ；
（2）∵ OA12=1，
2
2
OA2 =（ ） +1=2，
OA32=（ ）2+1=3，
2
2
OA4 =（ ） +1=4，
∴OA12= ，
OA2= ，
OA3= ，…
∴ OA10=
；
故答案是：
Leabharlann Baidu
；
2 22
2
（3）Ｓ1 +S2 +S3 +…+S10
，斜边为
；
（3）顺次这样做下去， 最后做到直角三角形
，这样斜边
、、 、
的长度就是
、、 、.
【总结升华】 （1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的； （2）取单位长度时可自定，一
般习惯用国际标准的单位，如 1 cm 、１m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可．
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、（2015 春?遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街 路上行驶速度不得超过 70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 30m的 C 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检 测仪间距离为 50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换： 1m/s=3.6km/h）