导数在函数中的应用专题复习
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主要考查函数、导数的基础知识和基本方法.在近年的高考命题中多以选择、填空题的形式出现，内容上日趋综合化，解题方法上日趋多样化.
例1、(2011年高考湖南卷理科8)设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时的 值为
A. 1 B. C. D.
解析：将 代入 中，得到点 的坐标分别为 ， ，从而 对其求导，可知当且仅当 时取到最小。故选D
设 则，
⑴如果 ，由 知，当 时， ，而
故，由当 得：
从而，当 时， 即
⑵如果 ，则当， 时，
而 ； 得： 与题设矛盾；
⑶如果 ，那么，因为 而 ， 时，由 得： 与题设矛盾；
综合以上情况可得：
评析：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用及分类讨论的思想
考查方向四：导数在实际问题中的应用
例3、（2011年山东文4）曲线 在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
（A）-9（B）-3（C）9（D）15
解析：因为 ，切点为P（1,12），所以切线的斜率伟3，故切线方程为3x-y+9=0,令x-=0，得y=9，故选C
例4、(2011年高考全国卷理科8)曲线y= +1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围 成的三角形的面积为
评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.
例2、（2011年山东理9）函数 的图象大致是
解析：函数 为奇函数，且 ，令 得 ，由于函数 为周期函数，而当 时， ，当 时， ，则答案应选C。
考查方向二：曲线的切线问题
主要考查导数的几何意义，待定系数法，推理论证与运算求解能力．题型日趋综合化。
二、主干知识整合
1、导数的几何意义： 在 处导数 即为 所表示曲线在 处切线的斜率,即 ,此时曲线在点 处的切线方程为: .
作用:确定 处切线的斜率(在已知 表达式的情况下),从而确定切线方程.
2、用导数研究函数的单调性： 在区间 内可导，若 >0，则 在 上递增;若 <0，则 在 上递减. 注意： 为正（负）是函数 递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增 ≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减 ≤0在（a,b）上恒成立
例8、（2011年福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式 ，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
（Ⅰ）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 ．
解析：（Ⅰ）由题意可知 ，即 ，则 .
容器的建造费用为 ，
即 ，定义域为 .
（Ⅱ） ，令 ，得 .令 即 ，
（1）当 时， 当 ， ，函数 为减函数，当 时 有最小值；
（2）当 时， 当 ， ；当 时 ，
此时当 时 有最小值。
解析：
（1）当 时， ，由 得 解得来自百度文库
由 得 ，由 得 ，当x变化时 与 相应变化如下表：
x
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以， 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点。
（2）因为 为 上的单调函数，而 为正实数，故 为 上的单调递增函数
恒成立，即 在 上恒成立，因此 ，结合 解得
评析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
解析：（I）因为x=5时，y=11，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而，
于是，当x变化时， 的变化情况如下表：
主要考查将实际问题转化为数学模型的能力.利用导数求最值，解决某些简单的优化问题。
例7、（2010年山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且 ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 （ ）千元．设该容器的建造费用为 千元．
导数在函数中的应用专题复习
一、考情分析
根据高考通常是在知识的交汇点处命题这一特点，导数能与许多数学知识构成广泛的联系，特别是与函数、数列、平面向量、三角，因此导数的“交融性”在高考中尤为突出，导数的综合题仍将是今后高考数学命题的重点和热点．
函数与导数相结合的考查既有基础题也有综合题。基础题以考查基本概念与运算为主，主要考查函数的图象、性质及导数的相关知识；综合题一般是以三次函数、指数函数与对数函数为载体，主要考察综合应用知识的能力。基本题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)以函数为载体的实际应用题，通常是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.本文结合2011年高考题说说导数在函数中的应用。
(A) (B) (C) (D)1
解析： ， ，切线方程为
由 则 故选A
考查方向三：求参数范围
主要考查导数与方程、不等式、数列等的结合。是高考中函数与导数综合题的主流题型．
例5、(2011年高考安徽卷理科16)设 ，其中 为正实数
（Ⅰ）当 时，求 的极值点；（Ⅱ）若 为 上的单调函数，求 的取值范 围。
3、用导数研究函数的极值： 是函数 极值点则 ；但是 ， 不一定是极值点（还要求函数 在 左右两侧的单调性相反）；若 （或 ）恒成立，则函数 无极值。
4、用导数研究函数在闭区间 上的最值：一般是先确定函数 在 上的极值，再将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。
三、考查方向探析
考查方向一：以函数为依托的小综合题
例6、 (2011年高考全国新课标卷理科21)已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 。
（Ⅰ）求 、 的值；（Ⅱ）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。
分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。
解：（Ⅰ） ，由题意知： 即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以，
例1、(2011年高考湖南卷理科8)设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时的 值为
A. 1 B. C. D.
解析：将 代入 中，得到点 的坐标分别为 ， ，从而 对其求导，可知当且仅当 时取到最小。故选D
设 则，
⑴如果 ，由 知，当 时， ，而
故，由当 得：
从而，当 时， 即
⑵如果 ，则当， 时，
而 ； 得： 与题设矛盾；
⑶如果 ，那么，因为 而 ， 时，由 得： 与题设矛盾；
综合以上情况可得：
评析：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用及分类讨论的思想
考查方向四：导数在实际问题中的应用
例3、（2011年山东文4）曲线 在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
（A）-9（B）-3（C）9（D）15
解析：因为 ，切点为P（1,12），所以切线的斜率伟3，故切线方程为3x-y+9=0,令x-=0，得y=9，故选C
例4、(2011年高考全国卷理科8)曲线y= +1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围 成的三角形的面积为
评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.
例2、（2011年山东理9）函数 的图象大致是
解析：函数 为奇函数，且 ，令 得 ，由于函数 为周期函数，而当 时， ，当 时， ，则答案应选C。
考查方向二：曲线的切线问题
主要考查导数的几何意义，待定系数法，推理论证与运算求解能力．题型日趋综合化。
二、主干知识整合
1、导数的几何意义： 在 处导数 即为 所表示曲线在 处切线的斜率,即 ,此时曲线在点 处的切线方程为: .
作用:确定 处切线的斜率(在已知 表达式的情况下),从而确定切线方程.
2、用导数研究函数的单调性： 在区间 内可导，若 >0，则 在 上递增;若 <0，则 在 上递减. 注意： 为正（负）是函数 递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增 ≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减 ≤0在（a,b）上恒成立
例8、（2011年福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式 ，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
（Ⅰ）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 ．
解析：（Ⅰ）由题意可知 ，即 ，则 .
容器的建造费用为 ，
即 ，定义域为 .
（Ⅱ） ，令 ，得 .令 即 ，
（1）当 时， 当 ， ，函数 为减函数，当 时 有最小值；
（2）当 时， 当 ， ；当 时 ，
此时当 时 有最小值。
解析：
（1）当 时， ，由 得 解得来自百度文库
由 得 ，由 得 ，当x变化时 与 相应变化如下表：
x
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以， 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点。
（2）因为 为 上的单调函数，而 为正实数，故 为 上的单调递增函数
恒成立，即 在 上恒成立，因此 ，结合 解得
评析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
解析：（I）因为x=5时，y=11，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而，
于是，当x变化时， 的变化情况如下表：
主要考查将实际问题转化为数学模型的能力.利用导数求最值，解决某些简单的优化问题。
例7、（2010年山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且 ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 （ ）千元．设该容器的建造费用为 千元．
导数在函数中的应用专题复习
一、考情分析
根据高考通常是在知识的交汇点处命题这一特点，导数能与许多数学知识构成广泛的联系，特别是与函数、数列、平面向量、三角，因此导数的“交融性”在高考中尤为突出，导数的综合题仍将是今后高考数学命题的重点和热点．
函数与导数相结合的考查既有基础题也有综合题。基础题以考查基本概念与运算为主，主要考查函数的图象、性质及导数的相关知识；综合题一般是以三次函数、指数函数与对数函数为载体，主要考察综合应用知识的能力。基本题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)以函数为载体的实际应用题，通常是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.本文结合2011年高考题说说导数在函数中的应用。
(A) (B) (C) (D)1
解析： ， ，切线方程为
由 则 故选A
考查方向三：求参数范围
主要考查导数与方程、不等式、数列等的结合。是高考中函数与导数综合题的主流题型．
例5、(2011年高考安徽卷理科16)设 ，其中 为正实数
（Ⅰ）当 时，求 的极值点；（Ⅱ）若 为 上的单调函数，求 的取值范 围。
3、用导数研究函数的极值： 是函数 极值点则 ；但是 ， 不一定是极值点（还要求函数 在 左右两侧的单调性相反）；若 （或 ）恒成立，则函数 无极值。
4、用导数研究函数在闭区间 上的最值：一般是先确定函数 在 上的极值，再将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。
三、考查方向探析
考查方向一：以函数为依托的小综合题
例6、 (2011年高考全国新课标卷理科21)已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 。
（Ⅰ）求 、 的值；（Ⅱ）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。
分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。
解：（Ⅰ） ，由题意知： 即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以，