2019版同步优化探究理数练习：第八章第五节椭圆含答案解析

课时作业 A 组一一基础对点练

2 2

1 •已知椭圆25+ 1(m>0)的左焦点为F i (—4,0)，则(

)

A . 2

B . 3 C. 4

D. 9

解析：由 4=・.25—m 2

(m>0)? m= 3,故选 B. 答案：B

2 .方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，贝U 实数k 的取值范围是( )

A . k>4 B. k= 4 C. k<4

D. 0

2 2

解析：方程kx 2+ 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程乡+ * = 1表示焦点在x 轴上的椭圆， 可得0

1 2

3. 已知椭圆的中心在原点，离心率 e= 2,且它的一个焦点与抛物线y 2= — 4x 的焦点重合，则此 椭圆方程为（）

2 2

+ 匕=1

A. 4 十 3 1

2

C.》+ y 2

= 1

2 2

解析：依题意，可设椭圆的标准方程为+

1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(一1,0),所 a b

2 2

b 2 = a 2—

c 2= 3,所以椭圆方程为专+卷二1,故选A.

答案：A

2 2

4. 椭圆拿+淳=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A, B,左、右焦点分别为F 1, F 2，若时讥尸冋, |F 1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(

B. _5

5

A.2 r x y

B.x8 + 6

2

D .

》+y 2

二

c 1

以c= x 又离心率e= a=1,解得* 2

,

c 解析：由题意可得 2|F 1F 2|= |AF 11+ |F 1B|,即 4c= a — c+ a+ c= 2a,故 e=— a

1 2.

答案：A 5.已知F i , F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且/ n

F 1PF 2=4则椭圆和

双曲线的离心率乘积的最小值为( ) B F

C. 1

D. 2 解析：如图，假设F i , F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， 点，设椭圆的长半轴长为a i ,双曲线的实半轴长为a 2，则根 P 是第一象限的

的定义得 |PF i | + |PF 2| = 2a i , |PF I |—

|PF 2|= 2a 2,： |PF i |= a i + n

设|F 1F 2|= 2c,又/ F 1PF 2= 4,则在△ PF 1F 2中，由余弦定理 据椭圆及双曲线 a 2, |PF 2| = a i — a 2. 得，4c 2 = (a 1 +

a 2)2 + ⑻―a 2)2 — 2(a 〔 + a 2)(a 1 — a 2)cos 扌，化简得，(2 —返归1+ (2 + {2)a 2= 4c 2，设椭圆的离心率 为e 1,双曲线的离心率为 e 2, •••2 e 2 2+ 2^2 2

= 4,又2

.2 2+ 2+

e 2 e 1 e 2 e 1 e 2

•翟＜4,即e

1以乎，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选B. 答案：B 6 .若x 2 + ky 2 = 2表示焦点在y 轴上的椭圆，贝U 实数k 的取值范围是 ________________ . 2 2

解析：将椭圆的方程化为标准形式得 专+省=1,因为x 2+ ky 2

= 2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以 k 2 k>2,解得 0

7.若椭圆的方程为 2 J 1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= + = 10— a a — 2

解析：由题可知c= 2.①当焦点在x 轴上时，10— a — (a — 2)= 22

,解得a = 4.②当焦点在y 轴上

时, a — 2 — (10 — a) = 22,解得 a= 8.故实数 a= 4 或 8.

2 2 1

8•已知椭圆拿+ b 2= 1(a>b>0)的离心率等于g,其焦点分别为A, B.C 为椭圆上异于长轴端点的任 意一点，则在△ ABC 中，驯人+严的值等于

sin C ----------------

解析：在厶ABC 中，由正弦定理得

Sin

A +C in

B - QBABCAI ,因为点

C 在椭圆上，所以由椭圆定 义知 |CA|

+ |CB|= 2a

，而|AB| = 2c ，所以虫S ； J 旦-2= 3

. 答案：3

x v 2

9•已知椭圆C:孑+當一1(a>b>0)的左，右焦点分别为F i (— c,0)，F 2(c,0),过F 2作垂直于x 轴的 直线

I 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|=63

c- (1)求椭圆C 的离心率；

⑵M ， N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和

x 轴相交于R ，Q 两点，0为坐标原点•若|OR| |0Q|= 4,求椭圆C 的方程. 解析：(1)：点A 的横坐标为c,

2 2 代入椭圆，得字+器=1. 解得M =詈=|AF 2|, 即弓=汛，

.2

2

. 3

…

a — c

= 6 ac

-

二e 2

+63

e — 1 = 0,解得

(2)设 M(0, b), N(0,— b), P(X 0, V 0), 则直线MP 的方程为y= V 0

~ x+ b.

X 0 令y= 0,得点R 的横坐标为 .

b — y 0

直线NP 的方程为y=

V 0 b

x — b. X 0

|OR| |OQ| =

令y= 0,得点Q 的横坐标为 bx 0

b +