2019版同步优化探究理数练习：第八章第五节椭圆含答案解析

课时作业 A 组一一基础对点练
2 2
1 •已知椭圆25+ 1(m>0)的左焦点为F i (—4,0)，则(
)
A . 2
B . 3 C. 4
D. 9
解析：由 4=・.25—m 2
(m>0)? m= 3,故选 B. 答案：B
2 .方程kx 2 + 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，贝U 实数k 的取值范围是( )
A . k>4 B. k= 4 C. k<4
D. 0<k<4
2 2
解析：方程kx 2+ 4y 2= 4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程乡+ * = 1表示焦点在x 轴上的椭圆， 可得0<k<4,故选D. 答案：D
1 2
3. 已知椭圆的中心在原点，离心率 e= 2,且它的一个焦点与抛物线y 2= — 4x 的焦点重合，则此 椭圆方程为（）
2 2
+ 匕=1
A. 4 十 3 1
2
C.》+ y 2
= 1
2 2
解析：依题意，可设椭圆的标准方程为+
1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(一1,0),所 a b
2 2
b 2 = a 2—
c 2= 3,所以椭圆方程为专+卷二1,故选A.
答案：A
2 2
4. 椭圆拿+淳=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A, B,左、右焦点分别为F 1, F 2，若时讥尸冋, |F 1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(
B. _5
5
A.2 r x y
B.x8 + 6
2
D .
》+y 2
二
c 1
以c= x 又离心率e= a=1,解得* 2
,
c 解析：由题意可得 2|F 1F 2|= |AF 11+ |F 1B|,即 4c= a — c+ a+ c= 2a,故 e=— a
1 2.
答案：A 5.已知F i , F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且/ n
F 1PF 2=4则椭圆和
双曲线的离心率乘积的最小值为( ) B F
C. 1
D. 2 解析：如图，假设F i , F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， 点，设椭圆的长半轴长为a i ,双曲线的实半轴长为a 2，则根 P 是第一象限的
的定义得 |PF i | + |PF 2| = 2a i , |PF I |—
|PF 2|= 2a 2,： |PF i |= a i + n
设|F 1F 2|= 2c,又/ F 1PF 2= 4,则在△ PF 1F 2中，由余弦定理 据椭圆及双曲线 a 2, |PF 2| = a i — a 2. 得，4c 2 = (a 1 +
a 2)2 + ⑻―a 2)2 — 2(a 〔 + a 2)(a 1 — a 2)cos 扌，化简得，(2 —返归1+ (2 + {2)a 2= 4c 2，设椭圆的离心率 为e 1,双曲线的离心率为 e 2, •••2 e 2 2+ 2^2 2
= 4,又2
.2 2+ 2+
e 2 e 1 e 2 e 1 e 2
•翟＜4,即e
1以乎，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选B. 答案：B 6 .若x 2 + ky 2 = 2表示焦点在y 轴上的椭圆，贝U 实数k 的取值范围是 ________________ . 2 2
解析：将椭圆的方程化为标准形式得 专+省=1,因为x 2+ ky 2
= 2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以 k 2 k>2,解得 0<k<1. 答案：(0,1) 2 x
7.若椭圆的方程为 2 J 1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= + = 10— a a — 2
解析：由题可知c= 2.①当焦点在x 轴上时，10— a — (a — 2)= 22
,解得a = 4.②当焦点在y 轴上
时, a — 2 — (10 — a) = 22,解得 a= 8.故实数 a= 4 或 8.
2 2 1
8•已知椭圆拿+ b 2= 1(a>b>0)的离心率等于g,其焦点分别为A, B.C 为椭圆上异于长轴端点的任 意一点，则在△ ABC 中，驯人+严的值等于
sin C ----------------
解析：在厶ABC 中，由正弦定理得
Sin
A +C in
B - QBABCAI ,因为点
C 在椭圆上，所以由椭圆定 义知 |CA|
+ |CB|= 2a
，而|AB| = 2c ，所以虫S ； J 旦-2= 3
. 答案：3
x v 2
9•已知椭圆C:孑+當一1(a>b>0)的左，右焦点分别为F i (— c,0)，F 2(c,0),过F 2作垂直于x 轴的 直线
I 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|=63
c- (1)求椭圆C 的离心率；
⑵M ， N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和
x 轴相交于R ，Q 两点，0为坐标原点•若|OR| |0Q|= 4,求椭圆C 的方程. 解析：(1)：点A 的横坐标为c,
2 2 代入椭圆，得字+器=1. 解得M =詈=|AF 2|, 即弓=汛，
.2
2
. 3
…
a — c
= 6 ac
-
二e 2
+63
e — 1 = 0,解得
(2)设 M(0, b), N(0,— b), P(X 0, V 0), 则直线MP 的方程为y= V 0
~ x+ b.
X 0 令y= 0,得点R 的横坐标为 .
b — y 0
直线NP 的方程为y=
V 0 b
x — b. X 0
|OR| |OQ| =
令y= 0,得点Q 的横坐标为 bx 0
b +
2 2
二 c = 3, b = 1,
•••椭圆
C 的方程为
x +y 2= 1.
10. (2018沈阳模拟)椭圆C: X 2 + £= 1(a>b>0)，其中e=扌，焦距为2,过点M(4,0)的直线I 与椭
圆C 交于点A, B,点B 在A, M 之间.又线段AB 的中点的横坐标为号，且AM = MB. ⑴求椭圆C 的标准方程. (2)求实数入的值. 2 2 解析：⑴由条件可知，c= 1, a = 2,故b 2 = a 2 — c 2= 3,椭圆的标准方程为乡+卷=1. (2)由题意可知A, B, M 三点共线， 设点 A(X 1, y 1)，点 B(X 2, y 2). 若直线AB 丄x 轴，则X 1 = X 2 = 4,不合题意. 则AB 所在直线I 的斜率存在，设为k, 则直线I 的方程为尸k(x —4). 尸 kx —4 , 由 x 2
y 2 +山=1 4 +
3 ，
消去 y 得(3 + 4k 2)x 2 — 32k 2x+ 64k 2
— 12= 0.① 由①的判别式 △= 322k 4 — 4(4k 2 + 3) (64k 2
— 12)= 144(1 — 4k 2)>0, f +
32k 2 x 1+ x 2= 4k 2+ 3， 64k 2
— 12
4k 2 + 3 .
解得k 2
v ；,且
X 1X 2 = 2
丄 X 1 + x 2 16k 4 由丁 = 3+k 2
= 7, 可得k 2 = 8, 将k 2 = *代入方程①，得7x 2
— 8x — 8= 0. 则x 1=半x 2=呼 又因为 AM = (4 — X 1,— y 1), MB =(X 2 — 4, y z ), A M
=矗，所以&4,所以=二^尹
B 组一一能力提升练
2
1. (2018合肥市质检)已知椭圆M: X
2 + y 2= 1,圆C: x 2+ y 2= 6- a 2
在第一象限有公共点 P,设
a k I
圆C 在点P 处的切线斜率为k i ,椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2,则込的取值范围为( )
A. (1,6) C. (3,6)
2
解析：由于椭圆M :字+ y 2
= 1,圆C: x 2
+ y 2
= 6- a 2
在第一象限有公共点
2
解得3<a 2
<5.设椭圆M : X
2 + y 2= 1与圆C: x 2 + y 2 = 6-a 2
在第一象限的公共点P(x o , y o )，贝U 椭圆
a
M 在点P 处的切线方程为 学+ y °y= 1,圆C 在P 处的切线方程为X 0X+ y °y= 6- a 2,所以k 「—葺,
a y 0
k 2=-
孟,kH 2
，所以快(3,5)
，故选
答案：D
2 2
2. 已知椭圆字+ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,且尸卡2|= 2c,若椭圆上存在点
M 使
+sin/MF 1F 2 sin/ MF 2F 1 而 a —二 —， .|MF 2| sin/ MF 1F 2 a _ .• = = (①
|MF 1| si n/MF 2F 1 c ①
2 2
又M 是椭圆％+匕=1上一点,
a b F 1, F 2是该椭圆的焦点,
B. (1,5) D. (3,5)
P,所以<
間>6-a 2,
e —a 2>1.
得E
MF 1F 2
曲
MF 2F 1
,则该椭圆离心率的取值范围为
(0, .2- 1)
B.(于，1)
C. (0, £ D . (2- 1,1)
IMF 2I
IMF 1I 解析：在^
MF 1F 2
中, sin/ MF 1F 2二sin/MF 2F 1,
• |MF 1|+ |MF 2|= 2a.② 2ac 2 a 2
由①②得，眄匸衆，|M
*暑.
曲 2a 2
「•a — c<|MF 2|<a+ c ，即卩 a — c< <a+ c ， a + c
整理得 c 2 + 2ac — a 2>0，.「e 2
+ 2e — 1>0， 解得 e> 2— 1,又 e<1 ,•「.2— 1<e<1，故选 D. 答案：D
2 2
3. 已知P （I ,I ）为椭圆4+y
2 = 1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的 直线方程为 解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k ，弦的端点坐标为（x i ，y i ），（x 2，y 2），
2 2 则乎+瞥1,① 2 2 X
2+红i ②
4 2 ①一②得(X1 +
" Mi — X2 + (yi + y2( yi — y2)= ° ••• X i + X 2 = 2, y i + y 2= 2, x i — X 2
y i — y 2
1
•-丁
+y i —y 2
= 0
，「k=X —2 = —
2.
i
•••此弦所在的直线方程为y —i = — ^(X — 1),
即 X +
2y — 3 — 0. 答案：x+ 2y — 3— 0
x
2
2
x
2
4. ____________________ 已知椭圆C: - + y 2
— 1的两焦点为F i , F 2,点P(X 0, y °)满足0<?+ y 2
<1，则|PF i |+ |PF 2|的取 值范围是 .
2
解析：由点P(X 0, y 0)满足0<罗+ y 0<1,可知P(x 0, y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a — . 2, b —1,所以由椭圆的定义可知 |PF i |+|PF 2|<2a — 2 2, 当 P(x 0, y °)与 F i 或 F 2 重合时，|PF i |+|PF 2| —2,又|PF i |+ |PF 2|>|F i F 2|— 2, 故|PF i |+ |PF 21的取值范围是［2,2 2). 答案：［2,2 2)
2 2
5. (2018保定模拟)椭圆C:拿+ b 2= 1(a>b>0)的离心率e=
今,a+ b= 3.
(1) 求椭圆C 的方程. (2) 如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点 直线DP 交x 轴于点N,直线AD 交BP 于点M ，设BP 的 的斜率为m.证明：2m — k 为定值. 外的任意一点， 斜率为 k ，MN
解析：(1)因为 V 3 c e= =—
e
2 a ， 1 b= ^3。

•代入 a+ b=
3 得，c=^/3，a = 2， b= 1. 2 故椭圆C 的方程为专+ y 2
= 1.
2 所以a=申, (2)证明：因为B(2,0), P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y= k(x — 2)20,〜
，①
2
把①代入4+y 2= 1,解得P 3k 2 — 2 4k gk 2
+ 1，—
4k 2 + 1 / 1 直线AD 的方程为y= 2X+ 1.② ①与②联立解得M 由 D(0,1)，
P
4k+ 2 4k
gk- 1，2k — 1 丿 ，— 4k 4+1, N(x,0)三点共线知 -牛—1 4 k + 1
0—
1
8k 2—、 4k 2 + 1 — 0
得N
，0 . 所以MN 的斜率为 m= 4k 门 一 0 2k — 1
4k+ 2 4k — 2 2k — 1—
2k+
1 = 4k(2k+ 1 ) = 2k+ 1 =
2 2k+ 1 2— 2 2k — 1 2 = 4 ，
2k+1 1 则 2m — k= —k= 2(定值).。