实变函数论课后答案第四章4

实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题 1．
设()()n f x f x ⇒于E ，()()n g x g x ⇒于E ，证明：
()()()()n n f x g x f x g x +⇒+于E
证明：0ε∀>，
[||()()(()())|][||()()|][||()()|]
22
n n n n E x f x g x f x g x E x f x f x E x g x g x εε
ε+-+≥⊂-≥⋃-≥ A B εε⋃@
（否则，若[||()()(()())|]n n x E x f x g x f x g x ε∈+-+≥，而x A B εε∉⋃，
()c c c x A B A B εεεε∈⋃=⋂|()()||()()|2
2
n n f x f x g x g x ε
ε
⇒-<
-<
|()()(()())||()()||()()|22
n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ε
ε
εε
⇒≤+-+≤-+-<
+
=矛盾），则
[||()()(()())|]
[||()()|][||()()|]0
22
n n n n mE x f x g x f x g x mE x f x f x mE x g x g x εεε
+-+≥≤-≥+-≥→
（()(),()()n n f x f x g x g x ⇒⇒） 从而()()()()n n f x g x f x g x +⇒+ 2．
设|()|n f x K ≤.a e 于E ，1n ≥，
且()()n f x f x ⇒于E ，证明|()|f x K ≤.a e 于E
证明：由本节定理2（Riesz 定理）从()()n f x f x ⇒知∃{}()n f x 的子列
{}
()k
n f
x 使
()lim ()k n k f x f x →∞
=.a e 于E
设A E ⊂，(\)0m E A =，()()k
n f x f x →于A ，从条件|()|k
n f x K ≤.a e 于E ，
设
k n B E ⊂，(\)0k n m E B =,|()|k n f x K ≤.a e 于k n B 上
令1
()k
n k B B A +∞
==⋂I ，则B K ⊂，且
1
1
(\)()(()(())k k c
c
c
c
c n n k k m E B m E B m E B A m E A B E +∞+∞
===⋂=⋂⋃=⋂⋃⋂U U
1
1
1
()()(\)(\)00k k c
c
n n k k k m E A m E B m E A m E B +∞+∞+∞
===≤⋂+⋂=+=+∑∑∑
故(\)0m E B =
,,k n x B k B B A ∀∈∀⊂⋂，则|()|k n f x K ≤
令k →∞，|()|f x K ≤
故x B ∀∈有|()|f x K ≤，从而命题得证 3．
举例说明mE =+∞时定理不成立
解：取(0,)E =+∞，作函数列1(0,]
(){
0(,)
n x n f x x n ∈=∈+∞ 1,2,n =L
显然()1n f x →于E 上，但当01ε<<时
[;|1|](,)n E x f n ε->=+∞，[;|1|](,)n mE x f m n ε->=+∞=+∞不0→
故mE =+∞时定理不成立，即n f f →.a e 于E 不能推出()()n f x f x ⇒于E
周民强《实变函数》P108
若:n n T R R →是非奇异线性变换，n E R ⊂，则
**(())|det |()m T E T m E =⋅ （）
|det |T 表示矩阵T 的行列式的绝对值.
证明：记{}012(,,,);01,1n i I x i n ξξξξ==≤<≤≤L
{}12(,,,);02,1k n i I x i n ξξξξ-==≤<≤≤L
显然0I 是2nk 个I 的平移集{}j I x +（1,2,2nk j =L ）的并集，0()T I 是2nk
个
{}()
j T I x +（1,2,2nk j =L ）的并集，且有
{}{}***()()()j j m T I x m TI T x m TI +=+=，
{}()()j mT I x m TI += 1,2,2nk j =L
现在假定（）式对于0I 成立00(())|det |()|det |m T I T m I T =⋅= （） 则 0|det |(())2(())nk T m T I m T I ==
因为()2nk m I -=，所以得到()2|det ||det |()nk m TI T T m I -=⋅=⋅
这说明（）式对于I 以及I 的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体0a ∀>，
°{}12(,,,);0a n i
I x a ξξξξ==≤<L °000(())()|det()|()|det ||det ||det |()n a m T I m T aI T aE m I T aE a T m I =⋅=⋅== °0|det |()|det |()a
T m aE I T m I =⋅=） 对一般开集G ，1
i i G I +∞
==U ，i I 为二进方体，i I 互补相交
则1
1
1
()()()|det |()|det |i i i i i i m TG m TI m TI T m I T mG +∞+∞+∞
=======∑∑U
T 1-1 1
i i TG TI +∞
==U ，T 连续，1T -连续 G 开，则()T G 开，从而
可测
于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立 设G 为有界G δ集1
i i G G +∞
==I ，i G 开，1
n
n i i S G ==I ，则n S 开，1
n n G S +∞
==I 且
不妨设11S G =有界，否则令1S G U =⊂ U 有界，令°1
G G U =⋂即可. 1T -连
续，则i TG 开，n TS 开，TG 可测（1
n n TG TS +∞
==I ），12TS TS ⊃⊃L ，
12n S S S ⊃⊃⊃⊃L L
故1
()()lim
()lim |det |()n n n n n n m TG m TS m TS T m S +∞
→+∞→+∞
====⋅I 1
|det |lim ()|det |()|det |n n n n T m S T m S T mG +∞
→+∞
====I （n S 开）
若G 为无界G δ集，令{};||m E x x m =<，则1m m G G E +∞
==⋂U ，m G E ⋂为有界G δ
集
1
()(())lim (())m m n m m TG m T G E m T G E +∞
→+∞
==⋂=⋂U
1
lim |det |()|det |lim ()|det |()|det |m m m n n m T m G E T m G E T m G E T mG
+∞
→+∞
→+∞
==⋅⋂=⋂=⋂=U n E R ∀⊂，T 线性，则n E R ∀⊂若0mE =，则(())0m T E =（后面证）
n E R ∀⊂，则由注释书P69定理3，存在G δ集G E ⊃，*mG m E =，若E 有界，*m E <+∞
则*(\)0m G E =，故**0((\))(\))m T G E m TG TE == （T 1-1）
****()(\))()0()()m TG m TG TE m TE m TE m TG ≤+=+≤
则*()()m TE m TG =，故**()()|det ||det |m TE m TG T mG T m E ===
若E 无界，{};||m E x x m =<则1m m E E E +∞
==⋂U ，m E E ⋂Z
*
***1
()(())lim (())lim |det |()m m m n n m m TE m T E E m T E E T m E E +∞
→+∞
→+∞
==⋂=⋂=⋂U
*
*
1
1
|det |lim ()|det |()|det |(())
m m m n m m T m E E T m G E T m E E +∞+∞
→+∞
===⋂=⋂=⋂U U
*|det |()T m E =
:n n T R R ∀→线性，若*()0m E =，则*()0m TE =
证明：(0,,1,0,,0)n i e R =∈L L 为n R 的基，()i i T e x =， n x R ∀∈，
12(,,,)
n x ξξξ=L ,1122n n Tx x x x ξξξ=+++L ,令122
1(||)
i i M x +∞
==∑，
则
11222
2
11221
1
|()|||||||||||||(||)(||)||n
n
n n i i i i T x x x x x M x ξξξξ==≤+++≤=∑∑L
则|()()|||,,n T x T y M x y x y R -≤-∀∈（即T 是Lipschitz 连续的）
∀一边平行于坐标平面的开超矩体
{}121122(,,,),(,)(,)(,)n i i i n n I x a b a b a b a b ξξξξ==<<=⨯⨯⨯L L 于12n I I I ⨯⨯⨯L
22
1()(||)n n
i i i diamI b a +∞
==-∑
12n TI TI TI TI =⨯⨯⨯L ，(,)i i i I a b =开，1T -连续，则i TI 是1R 中开集从而可
测，从而12TI TI ⨯是2R 中可测集，由归纳法知12n TI TI TI ⨯⨯⨯L 是可测集
若（）式成立*0()|det |()o m TI T m I =，则∀矩体{},i i i I x a b ξ=<<%，
1n
i i I I ==%U ，i
I 为正方体，则对开集G 也有()|det |()m TG T m G =，特别对开区间
{},i i i I x a b ξ=<<这一开集有*()|det |()m TI T m I =
则可知n E R ∀∈，若*()0m E =，则*()0m TE =
事实上，0ε∀>，{}1i i I +∞
=∃开区间，1
i i E I ∞
=⊂U ，1
||i i I ε∞
=<∑
*
*
*
*1
1
1
()(())()()i i i i i i m TE m T I m TI m TI ∞∞∞
===≤=≤∑U U
1
1
1
|det |()|det |()|det ||||det |i i i i i i T m I T m I T I T ε∞∞∞
======<∑∑∑
令0ε→知*()0m TE =
若（）成立，则T 将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到T 将可测集映为可测集或*()0m E =推出*()0m TE =这一性质！
下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积
（i ）坐标12,,,n ξξξL 之间的交换 （ii ）11,i i ξβξξβξ→→ (2,,)i n =L (iii) 112,i i ξξξξξ→+→ (2,,)i n =L 在（i ）的情形显然00|det |1,T TI I ==（）成立
在（ii ）的情形下，T 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以β而得到
{}
1211()(,,,),01,2,3,,,0(0),0(0)o n i T I x i n ξξξξξβββξβ==≤<=≤<><≤<L L 当当 从而可知0(())||m T I β= （）式成立
在（iii ）的情形，此时det 1T = （11
0001000
0100
001T ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L L L M M M O
M L
） 而且{}01212()(,,,),01(1),01n i T I x i ξξξξξξ==≤<≠≤-<L X @ （{}{}00122();,(,,,),01,1n i T I y x I y Tx i n ξξξξξ=∃∈==+≤<≤≤L
01221221(),(,,,),01,01n i y T I y ξξξξξξξξξ∀∈=+≤<≤+-=<L
则{}01212()(,,,),01(1),01n i T I x i ξξξξξξ⊂=≤<≠≤-<L 反过来，12(,,,)n y X ξξξ∀=∈L ，01(1)i i ξ≤<≠则1201ξξ≤-<
令122(,,,)n x ξξξξ=-L 则0x I ∈，12(,,,)n Tx y ξξξ==L 则
0()
y T I ∈，
0()X T I ⊂ ）
记{}1201(,,,)(),1n A x T I ξξξξ==∈<L {}012()(,,,),01(1)n i T I x i ξξξξ==≤<≠L
10(1,0,,0),()\e B T I A ==L ，则
{}12021(,,,),n A x I Y ξξξξξ==∈≤L @ {}112012\(,,,),n B e x I C ξξξξξ==∈<L @
（12(,,,)n x Y ξξξ∀=∈L ，则01,1i i n ξ≤<≤≤，21ξξ≤，则
12001,()x T I ξξ≤-<∈，且11ξ<，则x A ∈
反过来，y A ∀∈，则存在120(,,,)n x I ξξξ=∈L ，01i ξ≤<，使
122(,,,)n y Tx ξξξξ==+L ，12001,y I ξξ≤+<∈，且
212,y Y
OK ξξξ≤+∈！
1y B e ∀∈-，存在00()\z T I A ∈，使1\y z e =， 0x I ∃∈，122(,,,)
01n i z Tx ξξξξξ==+≤<L
121z A ξξ∉+≥，，1122\(1,,,)n z e ξξξξ=+-L ，
12210011,\z e I ξξξ≤+-≤<∈
1221111,\y z e C ξξξξ+-≤⇔<=∈
反过来，y C ∀∈，12012(,,,),,01,1n i y I i n ξξξξξξ=∈<≤<≤≤L
112(1,,,)n z y e ξξξ=+=+L ,则 1212011(,01)i ξξξξξ≤-+<<≤<
则0()z T I ∈，又10111,()\,\,z A z T I A B z e y z B ξ+≥∉∈==∈，
则11\,\,y B e C B e C B ∈∈=得证）
由此得到0011(),{
(),()T I A B A B I A B e A B e =⋃⋂=∅=⋃-⋂-=∅
010(())(\)1|det |m T I mA mB mA m B e mI T =+=+===
故（）式成立 这
里
用
到
A
，
B
可测，
0(),(,)(,)(,)A T I H H =⋂=-∞+∞⨯-∞+∞⨯⨯-∞+∞L ，0()T I 可测，H 开，则A
可测，0()\T I A B =可测
故还是需要：若:n n T R R →为非奇异线性变换，则Borel ∀集n E R ⊂，
()T E 是可测集，从而∀方块I ，()T I 可测，0()T I 可测有了，这就有（），
从（）知T 将零测集E 变为零测集，从而有T 将可测集变为可测集
1:n f R R →可测1
1()Borel
B R f B -⇔∀⊂为可测集（江则坚P109
习题10）
现设:n n f R R →连续，则∀开集n O R ⊂，1()f O -是开集， 记{}1|()n n B R f B R -=⊂是中的可测子集1B ，可证1B 是一个σ-代数，且包含全部开集，从而包含全部Borel 集
证1）1()f -∅∈∅=∅，1B 可测
2）若A ∈1B ，则1111()()()()c n n f A f R A f R f A ----=-=-显然也可测，
c A ∈1B
3）若,(1,2,3,)i A i ∈=L 1B ，则i ∀，1
()i f A -可测，1
111
()()
i i i i f A f A +∞+∞
--===U U 可测1B 是σ-代数 f 连续，则1()open
O
f O -∀∈1B ，1B 包含全部开集，从而包
含全部Borel 集
:n n T R R →为非奇异线性，1T -显然连续
I ∀方体半开半闭（显然为Borel 集）
，11()T I TI --=可测 1
[,)n i i i I a b ==∏为Borel ，1
11
[,)n
i i i m I a b m
+∞
===-
∏I
事实上，0ε∀>从()()m
k
m m n f x g x →（当k →+∞）知
00(,)
N N m ε∃=，使当0k N ≥时|()()|m k
m m n f x g x ε
→<而当
0max(,(,))k m N m ε≥时，k m k k n n ≥，故|()()|k k
m m n f x g x ε→<
（k k n 是{}1m k k n +∞
=的子列中的一个元，故,m k
k m k k l n n +=，0l ≥
则0(,)k N m ε≥时,0m k k l N +≥ 则,|()()||()()|k m
k
k l m k
m m m m n n
f x
g x f x g x ε+→=→<）
()k m f x 收敛于1()m g x R ∈，即k f 在E 上收敛.
若条件改为：F 是一族一致有界的[,]a b 上的函数族，则结论成立 令{}123,,,[,]E x x x a b =⊂L 则0,|()|,[,]M f x M x a b ∃>≤∀∈， {}1
1()|x f x f =∈F F ，
则1
x F 是1R 中的有界集，由聚点原理∃一列n f ∈F 和1()g x R ∈，
11()
()k
n f g x n →→∞
同样令{}
11
(2)2()|1,2,k
x n f x k ==L F （n f 为上述取定的一列n f ∈F ）
故12|()|k
n f x M ≤，由聚点原理，存在1k
n f 的子列2k
n f 和1
()g x R ∈（21k k n n k ≥≥）使
22()k
n f g x →，由此用归纳法可作出m N ∀∈，{}
1
m
k
n k f +∞=⊂F （m k
n f 为1m k
n f -的子
列）使
1()m k
m n f g x R →∈
令k k
k n f f =，则n f ∈F 且m ∀有()k k
m n f g x →故由Berstein 定理即知
(0,1)B C c ≤≤=，C c =
方法②建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集
A 和(0,1)上一切无尽九进位小数之集
B 之间的一一对应.集A 中每个
十进位小数对应B 中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而A 中不含7，将9a 7，而其他不动）
显然(0,1),B c A c === 周民强书P35思考题：
6．设F 是定义在[,]a b 上的实值函数族，[,]E a b ⊂是可数集，则存在n f ∈F （1,2,n =L ）使得{}()n f x 在E 上收敛.
我怀疑本题有错：若不假设F 是[,]a b 上一致有界的，会有反例： 令[,]a b =[0,1]，设{}|1,2,m f m ==L F 这里(),[,]m f x m x a b =∀∈，则显然任取无穷个(1,2,)
()k
k
k n n f k f x n ∈==→+∞L F 于[,]x a b ∀∈，故()n f x 不会
收敛！
0a =时，{}
111
|lim ()0[|()]n j
n k n i n j i
E x f x E x f x k +∞+∞+∞+∞
→∞
====>=>UI
UU 故还有：[|lim ()][|lim(())][|lim(())]n n n n
n n E x f x a E x f x a E x f x a →∞→∞→∞
<=--<=->- 111111
[|()][|()]j j k n i n j i
k n i n j i E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞
+∞+∞+∞+∞=========->-+=<-UI UU UI UU
鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所成立之集具有什么势
证明：①从江则坚CH1§题知2N c =，且从证明中知2N A ∀⊂与之
1-1对应的是(1)(2)0.(0,1)A A χχ∈L ，故(0,1)中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合，(0,1)B 满足(0,1)2N B c ==，而十进展开式中缺数字7的一切实数之集C 满足(0,1)B C ⊂⊂
附加题：徐森林书
设()(1,2,)i f x i =L 为定义在n R 上的实函数列，适用点集 1{|()}
,1,2,i x f x i j j ≥=L 表示点集[|lim ()0]n n x f x →∞> 证明：江则坚书第一章第一节习题8：若()()n f x f x →于E ，则1a R ∀∈有
11[|()]liminf [|()]n k E x f x a E x f x a k +∞
=≤=≤+I 11
1111[|()]liminf [|()][|()]c n i k k k n i n E x f x a E x f x a E x f x a k k +∞+∞
+∞+∞+∞=====⎛⎫>=≤+=>+ ⎪⎝⎭U I UI U 即111[|lim ()][|()]n i n k n i n E x f x a E x f x a k
+∞+∞+∞→∞===>=>+UI U 另一方面，{}()n f x ∀易知
{}|sup ()[|()]m m m n m n E x f x a E x f x a +∞≥=>=
>U 故{}
1|lim ()[|inf sup ()]n m n n m n E x f x a E x f x a →∞≥≥>=> 111111[|limsup ()][|sup ()][|()]m m m n m n m i k n i n k n i n m i E x f x a E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞
+∞+∞+∞+∞→∞≥≥========>=>+=>+UI U UI UU
思考:若A 不可测, B 也不可测,且(,)0A B ρ>,则A B ⋃不可测
((,)0A B ρ=显然不对, 1,,(,)0,R Q B R Q R Q R R ρ===⋃=可测 至少当,A B 有一个有界时,结论是对的 若存在开集G 使G A ⊂,G B ⋂=∅,不妨设A 有界, mG <+∞,则若A B ⋃可测,则
****(())(())()c mG m G A B m G A B m A m G A =⋂⋃+⋂⋃=+- )。