几类不同增长的函数模型教案
【原创】高中数学人教A版必修一第三章3.2.1 几类不同增长的函数模型 教学设计
“几种不同增长的函数模型”教学设计一、 教材分析（一） 、教学内容本节课的内容是高中数学必修1第三章《函数的应用》的第二节“几种不同增长的函数模型”第一课时，根据课程设置要求，“几种不同增长的函数模型”需用2个课时，因此我把教材中的例题1和例题2作为第一课时。
（二）教材的地位和作用本节课要求学生通过实例分析，体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义及其在实际生活中的应用。
它既是第二章基本初等函数知识的延续，又为函数模型的应用打下了基础，起着承前起后的作用。
（三）、教学目标和要求1、知识目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数增长的含义。
2、能力目标：通过对几种不同增长的函数模型的分析，体会它们间的差异，培养学生利用图表分析问题的能力和数据处理能力；了解函数模型的广泛应用；培养学习数学的兴趣。
3、情感目标：通过对几种不同增长的函数模型的探究，体验指数函数、对数函数、幂函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。
（四）、教学重难点：重点: 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长；应用函数模型解决简单问题。
难点：学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的认识还很少所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难；如何选择适当的函数模型分析解决实际问题是另一个困难。
二、教学方法：问题探究和启发式相结合的教学方法． 三、教学工具：电脑多媒体四、教学过程1、复习、引入：在《基本初等函数》中我们学习了哪几种函数？ 2、创设问题情境一： （展示细胞生长故事的课件）12222324回顾：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是。
第一次第二次第三次第四次引导学生观察，思考，回答问题。
3、创设问题情境二：（展示问题情境课件）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元： 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
几类不同增长的函数模型(教案)
几类不同增长的函数模型（第一课时）一、三维目标（一）知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．(二)过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数等），了解函数模型的广泛应用．(三)情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识.二、教学重点将实际问题转化为函数模型，一次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．三、教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．四、教具准备多媒体课件、与教材内容相关的资料五、教学方法启发式与探究式相结合七、教学过程（一）创设情境： （视屏片段一）：猪八戒开招聘会，引出招聘的试题：猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”于08年元旦开张，生意蒸蒸日上。
第一个月营业额达到100万，第二个月达到了150万. 试问：照此增长，第三个月的营业额为多少？设计意图：通过卡通视屏引出话题，增加学生的学习兴趣，活跃课堂的氛围. （二）组织探究：问题1：你觉得第三个月的营业额是多少？设计意图：学会将实际问题转化为数学模型.分析其中的数量关系，得出所要寻找的是过点()()5.1111，、，且在*∈N x 上单调递增的函数模型问题2：进入高中以来，我们所学的函数中，哪些是符合在*∈N x 上单调递增？ 设计意图：比较自然地引导学生给出一次函数，指数函数，对数函数，幂函数.问题3：上述函数模型是否满足过点()()5.1111，、，？ 设计意图：引导学生思考，通过讨论。
老师对所给出的函数进行结构上的优化，从而建立符合题意的函数模型.问题4：结合excel 表格，你能分析出个模型增长的差异吗？月份 y=a x+by=ma x +by=ax α+b y=mlog a x+b 1 1 1 1.000 1.000 2 1.5 1.5 1.500 1.500 3 2 2.5 2.857 1.792 4 2.5 4.5 5.500 2.000 5 3 8.5 9.857 2.161 6 3.5 16.5 16.357 2.292 7432.525.4292.4048 4.5 64.5 37.500 2.5009 5 128.5 53.000 2.58510 5.5 256.5 72.357 2.66111 6 512.5 96.000 2.73012 6.5 1024.5 124.357 2.79213 7 2048.5 157.857 2.850设计意图：通过现场操作电子表格和绘制散点图，使学生初步感受直线上升，指数爆炸及幂函数，对数函数增长的特点.体会信息技术在数学课堂中的作用.（三）探索研究（视屏片段二）：若第10个月的营业额不超过500万，且在08年内，一月份到其他任何一个月份的营业额的月平均增长量不超过50万，那么所列的模型中哪个符合要求?设计意图：借助先前的表格，引导学生分析三种函数的不同增长情况对模型选择的影响，使学生明确问题的实质就是比较所列模型的增长情况.（四）巩固反思；通过一个课堂小游戏：让学生想象把30张纸叠在一起和把一张足够大的纸折叠30次，这两者的高度各是多少？设计意图：通过这个震撼的对比，让学生更进一步的理解直线上升和指数爆炸在增长上的差异。
3.2.1 几类不同增长的函数模型 优秀教案
增长）
入，引导
问题 7：这三个函数图象有什么共同点?（都是一群离散的点.）
发现。通
因为这里的自变量为天数，即 x∈N*.
过提问，
函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线来连接这 把学生逐
些离散的点.
步引入问
从每天所得回报看，在第 1～4 天，方案一最多；在第 5～8 天，方案 题情景
二最多；第 9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 中，最终
景 类不同增长的函数模型）
世界”息
息相关
时，学习
通常会更
主动
【例 1】 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择， 创设问题
互 这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报 40 元；
动
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；
情境，以 问题引入 能激起学
交
方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番.
较发现它们的增长趋势. （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学 生的学习热情. 【 教 学 重 点 】 ： 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对 数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数 增长的含义. 【 教 学 难 点 】 ： 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 【 课 前 准 备 】 ： 多媒体课件、投影仪、计数器.
增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些
实际问题.
高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案
高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案【课型】新授课【教学目标】结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.【教学重点、难点】1. 教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.【学法与教学用具】1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.【教学过程】（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2. 教学用具：多媒体【教学过程】（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.高一数学3.2.1几类不同增长的函数模型教案例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。
几类不同增长的函数模型教学设计【DOC范文整理】
几类不同增长的函数模型教学设计教学设计2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的.通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异..恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题..让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣.重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点：应用函数模型解决简单问题.课时安排课时教学过程第1课时林大华导入新思路1.一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c , 请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n= 20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f = 0.01 ?2n, n块砖的厚度：g=10n , f 〜105, g= 2.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异.推进新新知探究提出问题如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y 元，把y 表示为x的函数.正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.分别用表格、图象表示上述函数.指出它们属于哪种函数模型.讨论它们的单调性.比较它们的增长差异.另外还有哪种函数模型与对数函数相关.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.总价等于单价与数量的积.面积等于边长的平方.由特殊到一般，先求出经过1年、2年…列表画出函数图象.引导学生回忆学过的函数模型.结合函数表格与图象讨论它们的单调性.让学生自己比较并体会.其他与对数函数有关的函数模型.讨论结果：y = x.y = x2.y = x.如下表X123456y=X123456y=X2149162536y = x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为图1,图2，图3.图1图2图3它们分别属于：y = x+ b, y = ax2 + bx + c, y= ax + b.从表格和图象得出它们都为增函数.在不同区间增长速度不同，随着x的增大y = x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y= logax + b，我们把它叫做对数型函数.应用示例例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三：天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y =40进行描述；方案二可以用函数y = 10x进行描述；方案三可以用函数y = 0.4 x 2x- 1进行描述.三个模型中，个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元0100.400XX0.80.40030101.60.840040103.21.640050106.43.2400601012.86.4400701025.612.8400801051.225.64009010102.451.2040010010204.8102.4040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象.图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1〜3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5〜8天，方案二最多；第9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8〜10天，应选择方案二；投资11 天以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样的结论.答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数的增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元;“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么写出y1、y2与x之间的函数关系式；在同一直角坐标系中画出两函数的图象；求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；可利用方程组求解，也可以根据图象回答；求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：y1 = 50 + 0.4x , y2 = 0.6x .图象如图5所示.图5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当yi = 200 时有0.4x + 50= 200 ,••• x1 = 375;当y2 = 200 时有0.6x = 200, x2 = 10003.显然375 > 10003,•••选用“全球通”更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随着利润x的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x , y = Iog7x + 1, y= 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y = 0.25x , y = Iog7x+ 1 , y = 1.002x 的图象.图6观察函数的图象，在区间［10,1000］上，模型y = 0.25x , y = 1.002x的图象都有一部分在直线y = 5的上方，只有模型y = Iog7x + 1的图象始终在y = 5的下方，这说明只有按模型y = Iog7x + 1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y = 0.25x，它在区间［10,1000］上递增，而且当x = 20时，y = 5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y = 1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间内有一个点x0满足1.002x0 = 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5,所以该模型也不符合要求；对于模型y = Iog7x + 1,它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y = Iog71000 + 1〜4.55 V5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y = Iog7x + 1奖励时，奖金是否不超过利润的25% 即当x € [10,1000]时，是否有yx = Iog7x + 1x< 0.25成立.图7令f = Iog7x + 1-0.25x , x € [10,1000].利用计算器或计算机作出函数f的图象，由函数图象可知它是递减的，因此f V f 〜一0.3167 V 0,即卩Iog7x + 1V 0.25x.所以当x € [10,1000]时，Iog7x + 1x V 0.25.说明按模型y = Iog7x + 1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y = Iog7x + 1确实能符合公司的要求. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%销售数量就减少X%.目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b 个.当=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时的取值范围.解：依题意，价格上涨x%后,销售总金额为y = a?b= ab10000[ - x2 + 100x + 10000].取=12, y = ab10000- 12x2 + 50x + 10000,所以x = 50,即商品价格上涨50% y最大为98ab.因为y = ab10000[ - x2 + 100x + 10000],此二次函数的开口向下，对称轴为x = 50,在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x > 0}的一个子集内增大时，y也增大.所以50>0,解得0vv 1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，通过x块玻璃以后强度为y.写出y关于x的函数关系式；通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.解：光线经过1块玻璃后强度为=0.9 ;光线经过2块玻璃后强度为？0.9 = 0.92 ;光线经过3块玻璃后强度为？0.92 = 0.93 ;光线经过x块玻璃后强度为0.9x.••• y = 0.9x .由题意：0.9x v 3. •- 0.9x v 13.两边取以10为底的对数，xlg0.9 v lg13.••• Ig0.9 v 0,「. x> lg13lg0.9.•/ Ig13lg0.9 = lg31 - 2lg3 〜10.4 , • xin = 11.•••通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象.假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2;②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过302 ;③野生水葫芦从42蔓延到122只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到22、32、62所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1 +12 = t3 ;⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.哪些说法是正确的？图8解：①说法正确.•••关系为指数函数，「•可设y = ax .二由图知2= a1.••• a= 2,即底数为2.②••• 25= 32 > 30 ,•••说法正确.③•••指数函数增长速度越来越快，•••说法不正确.④t1 = 1, t2 = Iog23 , t3 = Iog26 ,「.说法正确.⑤•••指数函数增长速度越来越快，.••说法不正确.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.答案：建立函数模型；利用函数图象性质分析问题、解决问题.作业课本习题3.2A组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材.第2课时张建国导入新思路1.国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了 .假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2.我们知道，对数函数y = logax ,指数函数y = ax与幕函数y = xn在区间上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新新知探究提出问题在区间上判断y = Iog2x , y = 2x , y= x2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式Iog2x v 2x v x2和Iog2xv x2 v 2x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：在区间上函数y = Iog2x , y = 2x , y= x2均为增函数.见下表与图9.X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4 …y = 2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556 …y = x20.040.3611.963.244.846.76911.56 …y = Iog2x — 2.322 —0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766 …图9从图象看出y = Iog2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y = 2x的图象与y =x2的图象有交点.不等式Iog2x v 2x v x2和Iog2x v x2v 2x成立的自变量x的取值范围分别是和U.我们在更大的范围内列表作函数图象，X012345678…y=2x1248163264128256 …y = XXX91625364964…图10容易看出：y = 2x的图象与y = x2的图象有两个交点和，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x vx2，有时x2 v 2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y = 2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示.X01020304050607080 …y = 2x110241.05E + 061.07E + 091.10E + 121.13E + 151.15E + 181.18E + 211.21E + 24 …y = XXX040090016002500360049006400 …图11一般地，对于指数函数y = ax和幕函数y = xn，通过探索可以发现，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax >xn.同样地，对于对数函数y = logax和幕函数y = xn ,在区间上，随着x 的增大，logax 增长得越来越慢，图象就像是 渐渐地与x 轴平行一样.尽管在x 的一定变化范围内，logax 可能会大于xn ，但由于logax 的增长慢于xn 的增长，因此 总存在一个 x0，当x >x0时，就会有logax v xn.综上所述，尽管对数函数y = logax ,指数函数y = ax 与 幕函数y = xn 在区间上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着速度越来越快，会超过并远远大于=logax 的增长速度则会越来越慢.当x > x0时，就会有logax v xn v ax.虽然幕函数y = xn 增长 快于对数函数 y = logax 增长，但它们与指数增长比起来相 差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例 例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份 0.30元，卖不掉的报纸可以以每 份0.05元的价格退回报社.在一个月里，有 20天每天可卖 出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社 买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才 能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多 少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导:x 的增大，y = ax 的增长 y = xn 的增长速度，而y 因此，总会存在一个x0,设摊主每天从报社买进x份，显然当x € [250,400]时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价-付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20 X 0.30x ;②可卖出250份的10天里，收入为10X 0.30 X 250:③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10 X 0.05 X.付给报社的总价为30 X 0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x €[250,400]时，每月所获利润才能最大. 于是每月所获利润y 为y = 20 X 0.30x + 10 X 0.30 X 250 + 10 X 0.05 X- 30 X 0.20x = 0.5x + 625, x € [250,400].因函数y在[250,400]上为增函数，故当x = 400时，y 有最大值825元.图12例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t 之间近似满足如图12所示的曲线.写出服药后y与t之间的函数关系式；据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中次服药时间为上午7：00,问一天中怎样安排服药的时间效果最佳？解：依题意，得y = 6t , 0< t < 1 , - 23t + 203, 1<t <10.设第二次服药时在次服药后t1 小时，则一23t1 + 203 = 4, t1 = 4.因而第二次服药应在11: 00;设第三次服药在次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有一23t2 + 203 - 23 + 203 = 4,解得t2 = 9,故第三次服药应在16: 00;设第四次服药在次后t3小时，则此时次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，- 23 + 203 -23 + 203= 4,解得t3 = 13.5，故第四次服药应在20: 30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f表示学生接受概念的能力［f的值愈大，表示接受的能力愈强］,x表示提出和讲授概念的时间，可有以下的公式:开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些?解：当0v x< 10 时，f =- 0.1x2 + 2.6x + 43=- 0.12+ 59.9 ,知当x = 10 时，[f]ax = f = 59;当10v x< 16 时，f = 59;当16v x< 30 时，f = - 3x + 107,知f v—3X 16+ 107= 59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.••• f = - 0.1 X 2 + 59.9 = 53.5 , f = - 3X 20 + 107 = 47v 53.5 ,•••开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13的抛物线段表示.写出图13表示的市场售价与时间的函数关系P= f ;写出图13表示的种植成本与时间的函数关系式Q= g;认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？图13活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正.解：由图13可得市场售价与时间的函数关系为 f = 300-1，0<t <200 , 2t - 300, 200<t <300.由图13可得种植成本与时间的函数关系为g= 1XX+ 100,0 < t < 300.设t时刻的纯收益为h,则由题意得h= f - g.即h=- 1200t2 + 12t + 1752, 0< t < 200, - 1200t2 + 72t - 10252, 200<t < 300.当0W t < 200时，配方整理，得h = - 1XX+ 100,所以当t = 50时，h取得区间［0,200］上的最大值100;当200<t < 300 时，配方整理，得h=- 1XX+ 100,所以当t = 300时，h取得区间［200,300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h在区间［0,300］上可以取得最大值100,此时t = 50,即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品的企业，批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14、图14、图14所示.其中图14的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图14的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图14分别写出国外市场的日销售量f、国内市场的日销售量g与批产品A上市时间t的关系式；批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元？分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式..在t € [0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段..回忆函数最值的求法.解：f = 2t , 0< t < 30,- 6t + 240 , 30<t < 40,g=- 320t2 + 6t .每件A产品销售利润h= 3t , 0< t < 20, 60, 20<t < 40.该公司的日销售利润当O W t < 20时，F = 3t，先判断其单调性.设O W t1 v t2 W 20,贝y F—F= 3t1 - 3t2 v 0.••• F在区间［0,20］上为增函数.Fax = F = 6000 v 6300.当20v t W 30 时，令60>6300,则703 v t v 30;当30v t W 40 时，F= 60v 60 = 6300,故在第24,25,26,27,28,29 天日销售利润超过6300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点..在t € ［0,40］上，有几个分界点，t = 20, t = 30两点把区间分为三段..二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幕函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本习题3.2A组3,4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.备课资料【备选例题】【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P=- 11602+ 100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30 万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q=- 1591602 + 1192 万元.问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？解：在实施规划前，由题设P=- 11602 + 100,知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.贝y 10年的总利润为1 = loo x 10= iooo.实施规划后的前5年中，由题设P=—11602 + 100,知每年投入30万元时，有最大利润Pax= 7958.前5年的利润和为7958 x 5 = 39758 .设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的万元用于外地区的销售投资，贝U其总利润为=—11602 + 100x 5+—159160x2 + 1192x x 5=—52 + 4950.当x = 30 时，ax = 4950.从而10年的总利润为39758 + 4950.••• 39758 + 4950 > 1000,•••该规划方案有极大实施价值.。
人教版高中数学教案 3.2.2几类不同增长的函数模型
3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾复习引入深题①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.生：回顾总结，口述回答.以旧引新导入课题实例分析例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？师生合作探究解答过程例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y= 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y= 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y= 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1 402 40 03 40 04 40 05 40 06 40 07 40 0将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过58 40 09 40 010 40 0………30 40 0x/天方案二y/元增加量/元1 102 20 103 30 104 40 105 50 106 60 107 70 108 80 109 90 1010 100 10………30 300 10x/天方案三y/元增加量/元1 0.42 0.8 0.43 1.6 0.84 3.2 1.65 6.4 3.26 12.8 6.47 25.6 12.88 51.2 25.69 102.4 51.210 204.8 102.4………30 214748364.8 107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？第30天，所得回报已超过2亿元.例 2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有7log10.25xyx x+=≤成立.令f(x)=log7x+1–0.25x，x∈[10,1000]巩固练习1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表x0 5 10 15y1 5 130 505 1130y2 5 94.478 1785.2 33733y3 5 30 55 80y4 5 2.3107 1.4295 1.1407x20 25 30y1 2005 3130 45051．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮……依次有a2台，a3台……被感染，依题意有a5=10×204=160.答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.动手尝试提升解题能力y2 6.37×1051.2×1072.28×108y3105 130 155y4 1.0461 1.0151 1.005关于x呈指数型函数变化的变量是.2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？归纳总结2．中学数学建模的主要步骤（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的师生合作反思⇒归纳⇒总结⇒完善生：通过独立思考和必要的交流，分析归纳例1、例2的解题过程，简述建模的主要步骤.师：点评、总理学生的回答，然后完善归纳步骤.师生合作：结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会.培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.[解析]设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.[评析]实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a21x + b ，y =ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[解析]本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）.（1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2 + bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y = –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.[评析]本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。
几类不同增长的函数模型 精品公开课教案
3.2 函数模型及其应用【课题】：3.2.1 几类不同增长的函数模型【设计与执教者】：广州市第三中学黄盛************************【学情分析】：【教学目标】：（1）知识与技能：1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题.（2）过程与方法：1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型.2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势.（3）情感态度与价值观：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情.【教学重点】：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义.【教学难点】：怎样选择数学模型分析解决实际问题.【课前准备】：多媒体课件、投影仪、计数器.【教学过程设计】：实例运用，巩固提高【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？师：本例涉及了哪几类函数模型（一次函数、对数函数、指数函数的模型）?其实质是什么？这里实际上问的是哪个模型能符合公司的要求，即依据这个模型进行奖励时，应满足所给定的条件，这些条件有哪些？生：（1）奖金总数不超过5万元；（2）奖金不超过利润的25%.师：这样我们就必须知道这个公司的销售利润应是多少，根据实际问题的实际意义，要使得奖励方案生效，销售部门利润必须达到10万元.同时，该公司是为了实现1000万元利润的目标，而准备制定的一个激励的奖励方案.因此，部门销售利润一般不会超过公司总的利润.因此我们只需在区间［10，1000］上考虑即可.这里现有三个奖励模型可供选择，因此只需在区间［10，1000］内检验这三个函数模型是否满足公司提出的两个条件.我们先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.让学生借助计数器列出表格，再作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（如下图）.观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在直线y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，但是这里只是直观判断，并且也只满足条件一，奖金总数不超过5万元.还要考虑奖金不超过利润的25%.下面通过计算确认上述判断.首先计算在区间［10，1000］内，哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x，它在区间［10，1000］上是递增的，当x∈（20，1000］时，y＞5，因此该模型不符合要求.对于模型y=1.002x，它在区间［10，1000］上也是递增的，结合图象，并利用计数器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.0020x=5，当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求.对于模型y=log7x+1，它在区间［10，1000］上也是递增的，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.（从这里可以看出对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化认识指数函数、对数函数、一次函数三个函数模型的增长差异。
几种不同增长的函数模型 教案(2课时)
几种不同增长的函数模型教案（2课时）一、教学目标1.了解几种不同的增长函数模型，包括线性模型、指数模型和对数模型；2.熟悉不同增长函数模型的特点和应用领域；3.掌握利用增长函数模型进行数据预测和分析的方法。
二、教学内容第一课时：线性模型和指数模型1.线性模型的定义和特点–线性函数的表达形式和一次函数的特点–线性关系的图像表示和示例–线性模型的应用案例2.指数模型的定义和特点–指数函数的表达形式和指数增长的特点–指数关系的图像表示和示例–指数模型的应用案例第二课时：对数模型和应用实践1.对数模型的定义和特点–对数函数的表达形式和对数增长的特点–对数关系的图像表示和示例–对数模型的应用案例2.数据预测和分析实践–利用线性模型进行数据预测和趋势分析–利用指数模型进行数据预测和增长趋势分析–利用对数模型进行数据分析和曲线拟合三、教学方法1.导入法：通过提问和展示实例引入不同增长函数模型的概念和特点；2.归纳法：分析线性模型、指数模型和对数模型的定义和特点，进行比较和归纳总结；3.实践法：结合数据预测和分析的实际问题，进行实践操作和演练；4.讨论法：组织学生进行小组讨论，探究不同增长函数模型在实际问题中的应用。
四、教学资源1.教学投影仪和电脑；2.课堂板书和笔。
五、教学评估1.课堂讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估其对不同增长函数模型的理解和应用能力；2.练习作业：布置相关练习作业，测试学生对增长函数模型的掌握程度；3.课后反馈：与学生进行面对面的交流，了解他们的学习体会和疑惑，及时进行反馈和指导。
六、教学计划第一课时•导入：提出问题，引起学生思考和讨论（10分钟）•线性模型的讲解和示例分析（30分钟）•指数模型的讲解和示例分析（30分钟）•小结和课堂讨论（10分钟）第二课时•教师对对数模型进行讲解和示例分析（30分钟）•数据预测和分析实践活动（40分钟）•小结和课堂讨论（10分钟）七、教学延伸1.学生可自行研究其他增长函数模型，拓宽对函数模型的理解和应用；2.引导学生应用不同增长函数模型进行实际问题的数据预测和分析；3.组织学生参加数学建模和竞赛活动，提升应用数学能力。
3.2.1几类不同增长的函数模型
§3.2.1几类不同增长的函数模型教案【教学目标】1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.【教学重难点】教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。
（三）典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.解析：我们可以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。
几种不同增长的函数模型 教案(2课时)
几种不同增长的函数模型教案（2课时）课程概述本教案将介绍几种不同的增长函数模型，包括线性增长、指数增长和对数增长。
学生将学习如何识别不同的增长模型，并了解它们在实际生活中的应用。
通过本课程的学习，学生将掌握基本的增长函数的概念，并能够应用它们解决实际问题。
教学目标1.了解线性增长、指数增长和对数增长的基本概念；2.能够识别不同的增长模型，并理解它们的特点；3.理解增长函数模型在实际生活中的应用；4.能够应用增长函数模型解决实际问题。
教学重点1.线性增长、指数增长和对数增长的基本特点；2.增长函数模型在实际生活中的应用。
教学准备1.讲义：包括线性增长、指数增长和对数增长的定义和特点；2.示例问题和解答：提供实际问题的例子和相应的解答；3.板书工具：用于在黑板上记录关键概念和解题思路。
教学过程第一课时导入（5分钟）1.引导学生回顾函数的基本概念和性质；2.提问：你知道什么是增长函数吗？讲解线性增长（15分钟）1.定义：线性增长是指y值随着x值的增长而按固定比例增长的情况；2.特点：线性增长的图像是一条直线，斜率代表了增长的速度；3.示意图：绘制线性增长的示意图，并解释斜率的意义；4.示例问题：给出一个实际问题，让学生判断它符合线性增长还是其他类型的增长。
讲解指数增长（15分钟）1.定义：指数增长是指y值随着x值的增长而按指数倍数增长的情况；2.特点：指数增长的图像是曲线，增长速度会越来越快；3.示意图：绘制指数增长的示意图，观察它与线性增长的区别；4.示例问题：给出一个实际问题，让学生判断它符合指数增长还是其他类型的增长。
讲解对数增长（15分钟）1.定义：对数增长是指y值随着x值的增长而按指数倍数减小的情况；2.特点：对数增长的图像是曲线，增长速度会越来越慢；3.示意图：绘制对数增长的示意图，观察它与线性增长的区别；4.示例问题：给出一个实际问题，让学生判断它符合对数增长还是其他类型的增长。
小结与讨论（10分钟）1.总结线性增长、指数增长和对数增长的特点；2.学生讨论在实际生活中可以找到哪些符合这些增长模型的例子。
高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案设计
3.2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.知识点一 三种函数模型的性质知识点二 三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .题型一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A.y ＝10 000x B.y ＝log 2x C.y ＝x 1 000D.y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫e 2x增长速度最快.(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A.2 014ln x B.y ＝x 2 014 C.y ＝x2 014D.y ＝2 014·2x答案 D解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2 014·2x 的增长速度最快.故选D.题型二 几种函数模型的比较例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y (单位：元/102kg)与上市时间x (单位：天)的数据如下表：(1)y 与上市时间x 的变化关系：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ， y ＝a ·b x ，y ＝a log a x .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本. 解 (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，∴a ≠0，而此时y ＝ax ＋b ，y ＝a ·b x ，y ＝a log a x 均为单调函数， 与表中数据不符，因此y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将三组数据代入得⎩⎪⎨⎪⎧2 500a ＋50b ＋c ＝150，12 100a ＋110b ＋c ＝108，62 500a ＋250b ＋c ＝150，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.∴描述西红柿种植成本y 与上市时间x 的关系为 y ＝1200x 2－32x ＋4252. (2)当x ＝150时，y min ＝100(元/102kg).反思与感悟 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数.2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.跟踪训练2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？解 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30). (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ， 故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系.对几种函数的增长趋势把握不准致误例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).有以下结论：①当x >1时，甲走在最前面； ②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.解析 四个函数的图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.答案 ③④⑤纠错心得 解决这类问题可以作出图象，根据图象特征使问题得解.跟踪训练3 下面对函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )A.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C.f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D.f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 答案 C解析 函数f (x )＝log 21x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝x 21-在区间(0，＋∞)上的大致图象如图所示.观察图象，可知函数f (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢.函数h (x )的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上，衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A.y ＝3x B.y ＝log 3x C.y ＝x 3 D.y ＝3x 答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2.当a >1时，有下列结论：①指数函数y ＝a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y ＝a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y ＝log a x ，当a 越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y ＝log a x ，当a 越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)， ∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象.4.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( ) A.2x ＞x 2＞log 2x B.x 2＞2x ＞log 2x C.2x ＞log 2x ＞x 2 D.x 2＞log 2x ＞2x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.5.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________. 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快.一、选择题1.下列函数中，增长速度最慢的是( ) A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6 D.y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2.今年小王用7 200元买了一台笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，则三年后这种笔记本的价格是( )A.7 200×(13)3B.7 200×(23)3C.7 200×(13)2D.7 200×(23)2答案 B解析 由于小王用7 200元买了一台笔记本电脑，每隔一年这种笔记本电脑的价格降低13，故一年后，这种笔记本电脑的价格为7 200－7 200×13＝7 200×23，两年后，价格为7 200×23×(1－13)＝7 200×(23)2，三年后这种笔记本电脑的价格为7 200×(23)3.3.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A.指数函数：y ＝2tB.对数函数：y ＝log 2tC.幂函数：y ＝t 3D.二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数.4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半.易知B 符合题意.6.若x ∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2x ＞x 21＞lg x B.2x ＞lg x ＞x 21 C.x 21＞2x ＞lg x D.x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)，∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)，lg x ∈(0,1).∴2x ＞x 21＞lg x . 二、填空题7.三个变量y 1、y 2、y 3随变量x 的变化情况如表：x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 35.006.106.616.957.207.40其中x 呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________. 答案 y 3 y 2 y 1解析 根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y 2随着x 的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y 3随着x 的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y 1相对于y 2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.8.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意得2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9.若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 中最大的是________. 答案 a x解析 由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知a x >x n >log a x . 10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a >0且a ≠1)的图象.有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若残留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________. 答案 ①③解析 根据题意，函数的图象经过点(2，49)，故函数为y ＝(23)t .易知①③正确.三、解答题11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数. 解 (1)设v ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.12.现有某种细胞100个，每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，且每次只有占总数12的细胞分裂，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100(个)；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100(个)；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100(个)；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100(个).可归纳出，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N *.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个.13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W /m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10lg I 2I 0＝10lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10lg I 3I 0＝10lg 102＝20(分贝)； 恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝). (2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg I I 0＜50， 所以1≤I I 0＜105， 即1×10－12≤I ＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 的范围为[1×10－12，1×10－7).。
《几类不同增长的函数模型》第一课时教学设计
几类不同增长的函数模型（第一课时）实验高中《几类不同增长的函数模型》（第一课时）教学设计一、教学目标二、教学重点与难点三、教学方法附1：板书设计附2：教学设计说明1、教学内容解析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章第二节“函数模型及其应用”，教学安排为四课时，在这里我们主要研究的是第一课时的内容．学生在本册书的第二章已经学习了指数函数等基本初等函数的概念、图象和性质，本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，教材在探求解决实际问题的过程中，体验到几种常见函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点，始终贯穿着函数模型的应用这条主线，从而为下一节继续研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础，拉开高中阶段数学建模活动的帷幕．课程标准中明确指出：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容．数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力.2、教学目标分析本节课的内容脉络是：从学生熟悉的两个模拟实验入手，先动画演示摞砖的游戏，继而师生一起动手折纸．通过认真观察、动手操作，学生从不同的角度、层次挖掘其中所蕴含的数学问题，从而获得数学建模的初步体验；然后通过一组导入性问题的处理，使学生体会如何用恰当的函数模型来描述对应的数学问题，为后面的学习做出铺垫；进一步通过对例题的解决，让学生体会如何借助不同的表示方法对函数问题进行探究，弄清几类不同的增长型函数在实际问题中的应用，体会他们的增长差异.①本节课以培养学生挖掘实际背景中所蕴含的数学问题为切入点，突出了数学建模与解应用题的区别，体现了“数学是自然的，数学是有用的”这一新课程理念.②本节课以实际应用问题为主要研究的对象，以数表和图象为研究的主要依据，通过对图象以及数据的观察、分析、探究、归纳和概括得到所对应的结论，进而加强对几类函数的认识．③本节课渗透着函数与方程、数形结合的数学思想，通过将实际问题转化为函数问题，进而解决实际问题的研究经历，让学生体会到数学建模的过程和处理的方式．④通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，所采用的小组学习方式，也可以增强学生们的合作意识．3、教学问题诊断分析本节课涉及到的一次函数、二次函数、分段函数、指数函数学生在前面已经学过，基本掌握了它们的概念、图象和性质．另外，学生也熟悉了研究函数性质的一般方法，具有用函数知识解决实际问题的初步体验，这是本节课的知识基础．然而，学生前面的学习主要是针对某一类函数进行研究，很少将其综合在一起，学生没有或者很少有对这几类函数不同变化趋势的理解，让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．另外，在第二章中，学生主要是从函数的基本模型认识函数，而较少涉及到函数在生活、生产中的实际应用．学生在研究具体问题时，如何选择恰当的模型函数分析和解决实际问题是另一个困难．这节课学习的对象是平顶山市实验高中高一年级的学生．该校是河南省示范性高中，学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．在几个应用问题的理解上不会出现太大的问题．另外，学校一直十分重视新课改的研究，倡导尝试探究，学生已经习惯了小组合作学习的教学模式，参与讨论交流的积极性较高，这也是教学目标顺利实现的又一保证.4、教学策略分析①教法分析本节课选用合作探究与尝试概括相结合的教学方法．在教学中，从精心创设的问题情境出发，为学生提供更多的机会和时间，提问质疑、尝试探究、讨论交流、归纳总结等，促使学生的思维空间充分开放；积极营造出一个有利于人际沟通与合作的环境，使学生学会交流和分享自己的成果，并能把每个人的成果进行有效的整合，增强团队意识；这样做，能够丰富学生对数学与日常生活紧密联系的体验，感受数学的实际价值，增强应用意识，发展创新意识．②学法分析《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，本节课采用小组合作学习的教学组织形式，教师利用问题串来引导学生开展合作探究的学习活动．为了控制好课堂的研究方向，也为了提高小组讨论的效率，本节课设置了学案，引导学生的探究活动．在学案中为学生的讨论和探究设置了一系列的参考问题，在每一个问题之后都留给学生自己发现问题和解决问题的空间，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成积极思考、主动交流的学习习惯．③教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，本节课借助信息技术工具，动画演示摞砖的游戏，绘制具体的常函数、一次函数、指数函数等基本初等函数的图象并列出相应的数据表格，通过数形结合开展数学探究活动．综上所述，本节课的设计亮点可以概括为以下三个方面：以问题为纽带；化结果为过程；把知识变成能力．通过体验数学建模的四个环节，引导学生经历知识的探究过程，对培养学生揭示数学关系的能力非常有益．。
几类不同增长的函数模型 说课稿 教案 教学设计
几类不同增长的函数模型●三维目标1．知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．2．过程与方法(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．3．情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．二、重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y ＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝a x(a＞1)、对数函数y＝log a x(a＞1)、幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，a x＞x n＞log a x，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．课标解读1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．(重点) 2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及三种函数模型的性质的比较．(易混点)3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)三类函数增长速度的比较【问题导思】函数y＝2x，y＝log2x及y＝x2的图象如图所示.1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝x2.2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝2x.3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？【提示】存在．1．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有log a x<x n<a x.函数模型的增长差异研究函数y＝0.5e－2，y＝ln(x＋1)，y＝x－1在[0，＋∞)上的增长情况．【思路探究】解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．【自主解答】分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5e x0－2＝x20－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)<x2－1<0.5e x－2.1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．2．三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y15135625 1 715 3 645 6 655y2529245 2 18919 685177 149y35 6.10 6.61 6.957.27.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为() A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2【解析】通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】 C根据函数增长差异确定图象并比较大小函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)的大小．【思路探究】根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2012>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．【解】a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.根据函数增长差异选择函数模型某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思路探究】作出函数图象→观察图象得到结论【自主解答】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．不同的函数增长模型描述增长速度的差异：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，CB ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B【解析】 A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100×⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．【答案】 B数形结合思想在函数中的应用(12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A ，B 两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y (元)与通话时间x (分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD )图3－2－2(1)若通话时间为2小时，则按方案A ，B 各付话费多少元？(2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．【规范解答】 由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500，168)，MN ∥CD .1分 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )，则f A (x )＝⎩⎨⎧ 98(0≤x ≤60)310x ＋80(x >60)，f B (x )＝⎩⎨⎧ 168(0≤x ≤500)310x ＋18(x >500).3分(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分(2)因为f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝0.3(n >500)，6分所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分(3)由图可知，当0≤x ≤60时，有f A (x )<f B (x )．当x >500时，f A (x )>f B (x ).9分当60<x ≤500时，168＝310x ＋80，解得x ＝8803.当60<x <8803时，f B (x )>f A (x )；当8803≤x ≤500时，f A (x )>f B (x ).11分即当通话时间在⎝ ⎛⎭⎪⎫8803，＋∞时，方案B 才会比方案A 优惠.12分1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．小结1．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝a x(a>1)、对数函数y＝log b x(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．2．函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．。
几类不同增长的函数模型教学设计
几类不同增长的函数模型教学设计教学设计：几类不同增长的函数模型一、教学目标1.了解不同增长的函数模型，并能够区分它们的特点和应用领域；2.掌握常见的函数模型如线性函数、指数函数、对数函数和幂函数，并能够运用这些模型解决实际问题；3.培养学生对函数模型的理解和应用能力，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1.线性函数的增长特点和应用领域；2.指数函数的增长特点和应用领域；3.对数函数的增长特点和应用领域；4.幂函数的增长特点和应用领域。
三、教学过程1.导入引入（15分钟）以一个实际问题为引导，引导学生思考函数模型的应用场景和重要性。
例如，假设一个旅游公司在地开展了一项旅游活动，目标是每个月增加100名游客，学生应该思考如何建立一个适合这种情况的增长函数模型。
2.线性函数的教学（30分钟）2.1 线性函数的定义和特点：线性函数是自变量的一次函数，通常表示为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
讲解线性函数的特点，如斜率和截距的含义。
2.2线性函数的应用：通过实际问题引导学生判断何时可以应用线性函数模型，并举例说明如何建立和使用线性函数模型。
3.指数函数的教学（30分钟）3.1指数函数的定义和特点：指数函数是以常数为底数，自变量为指数的函数，通常表示为y=a^x，其中a>0，且a≠1、讲解指数函数的特点和增长规律。
3.2指数函数的应用：通过实际问题引导学生判断何时可以应用指数函数模型，并举例说明如何建立和使用指数函数模型。
4.对数函数的教学（30分钟）4.1 对数函数的定义和特点：对数函数是指数函数的逆运算，通常表示为 y = logₐ(x)，其中 a > 0，且a ≠ 1、讲解对数函数的特点和增长规律。
4.2对数函数的应用：通过实际问题引导学生判断何时可以应用对数函数模型，并举例说明如何建立和使用对数函数模型。
5.幂函数的教学（30分钟）5.1幂函数的定义和特点：幂函数是自变量为底数，指数为常数的函数，通常表示为y=x^a，其中a是常数。
数学《几类不同增长的函数模型》教案
3.2.1几类不同增长的函数模型（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。
教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。
建立实际问题的函数模型是难点。
教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。
投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。
再看累计回报数表P114。
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过log＋1，y＝。
其中哪个模型利润的25%。
现有三个奖励模型：y＝，y＝x2能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
几类不同增长的函数模型教案
几类不同增长的函数模型教案不同的增长函数模型可以涵盖各种实际问题和数学概念。
以下是几个常见的函数模型以及它们的教学案例。
一、线性函数模型线性函数模型是最简单也是最容易理解的增长模型之一、在这个模型中，函数的增长率是恒定的，即每单位自变量增加都会导致固定的因变量增加。
这种模型可以用来解释一些日常生活中的现象，例如物体的匀速直线运动。
教学案例：以匀速直线运动为例，教师可以带领学生观察一个滚动的球，并记录下球滚动的时间和球滚动的距离。
通过分析数据，学生可以发现球滚动的距离与时间成正比，即球滚动的距离是时间的线性函数。
教师可以引导学生使用公式来表示这种线性关系，并使用此关系预测未来的球滚动距离。
二、指数函数模型指数函数模型中，增长率是以指数的形式增加或减少的。
这种模型适用于许多和复利相关的问题，如存款利息、细菌繁殖等。
教学案例：以细菌繁殖为例，教师可以给学生一个初始细菌数量，并告诉他们每小时细菌数量翻倍。
学生可以使用指数函数模型来表示细菌数量随时间的增长。
他们可以计算出不同时间点的细菌数量，并观察到数量的指数增长。
通过这个案例，学生可以理解指数函数模型的概念，并应用这个概念解决实际问题。
三、对数函数模型对数函数模型与指数函数模型相反，其增长率是逐渐减少的。
这种模型适用于许多与收益递减相关的问题，如广告效果的衰减、物种灭绝等。
教学案例：以广告效果的衰减为例，教师可以让学生观察一则广告的点击次数随时间的变化。
学生可以发现广告的点击次数一开始会快速增加，但随着时间的推移增长速度逐渐减慢。
通过绘制折线图并使用对数函数模型来拟合数据，学生可以更好地理解对数函数模型的特点，并预测广告点击数的未来情况。
四、多项式函数模型多项式函数模型是基于多项式函数的增长模型，适用于许多实际问题，如多项式曲线拟合、物体的轨迹等。
教学案例：以轨迹为例，教师可以引导学生观察一个投掷物体的轨迹，并记录下物体在不同时间点的位置信息。
学生可以通过数据拟合一条多项式曲线来表示物体的轨迹，并通过这个模型来预测物体下一步的位置。
几种不同增长的函数模型 教案
几种不同增长的函数模型教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的增长特征。
能够根据实际问题，建立相应的函数模型，并比较不同函数模型的增长差异。
2、过程与方法目标通过实例分析和数据对比，培养学生观察、分析和归纳的能力。
引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和创新思维能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长特征。
不同函数模型在实际问题中的应用及比较。
2、教学难点如何根据实际问题选择合适的函数模型。
理解指数函数爆炸式增长的特点。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、案例分析法四、教学过程1、导入新课展示一些生活中常见的增长现象，如人口增长、经济增长、细菌繁殖等。
提问学生这些增长现象可以用哪些数学函数来描述，引出本节课的主题——几种不同增长的函数模型。
2、知识讲解一次函数模型：形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，其增长特点是直线式增长，增长速度保持不变。
举例：某工厂生产某种产品，每月的产量与生产时间之间的关系可以用一次函数表示。
二次函数模型：形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数，其增长特点是先增后减或先减后增，存在对称轴。
举例：某商场销售某种商品，销售额与销售价格之间的关系可以用二次函数表示。
指数函数模型：形如 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数，其增长特点是爆炸式增长，增长速度越来越快。
举例：某城市的人口增长情况可以用指数函数表示。
对数函数模型：形如 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数，其增长特点是增长速度逐渐变慢。
举例：某种药物在人体内的浓度变化可以用对数函数表示。
几类不同增长的函数模型教案
几类不同增长的函数模型是必修1第三章函数的应用中的内容，本节课内容相对较多，主要是通过让学生自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型；在教学中同时渗透数形结合的思想方法，让学生学会利用图像会比较几类不同增长的函数模型的增长趋势的方法；并从中体会直线上升、指数爆炸和对数增长的含义。
一、引入与引言（1）“澳大利亚的兔子”（2）函数来源于实际又服务于实际，客观世界的变化规律，常需要不同的数学模型来描述，这涉及到函数的应用问题.所谓“模型”，通俗的解释就是一种固定的模式或类型,在现代社会中，我们经常用函数模型来解决实际问题.那么，面对一个实际问题，我们怎样选择一个恰当的模型来刻画它呢？二、例题讲解：例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问:你会选择哪种投资方案？思考：（1）设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？（2）上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？（3）这三个方案前11天所得的回报如下表,分析这些数据，你如何根据投资天数选择投资方案？（4）分析上述三个函数的图象，你对指数函数模型与线性函数模型的增长速度有何看法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？（5）到第30天，三个方案所得的回报分别是多少元？例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％。
现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x其中哪个模型能符合公司的要求？思考：（1）根据问题要求，奖金数y应满足哪几个不等式？P107 习题3.2 A组1，2。
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3.2.2 几类不同增长的函数模型
（一）教学目标
1．知识与技能
利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.
2．进程与方法
在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.
（二）教学重点与难点
重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升
难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
（四）教学过程
回顾复习
择，这三种方案的回报如下：
元；
元；
.
三种方案所得回报的增长情况
再作三个函数的图象
在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二
观察图象发现，在区间[10，1000]
上，模型y=0.25x，y=1.002x的图
象都有一部分在直线y=5的上方，
只有模型y=log7x+1的图象始终
y=5的下方，这说明只有按模
.
所以该模型不符合要求；
时，是否有
2
变化的数据如下表
．中学数学建模的主要步骤
例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x 台影碟机，
在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用
280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩
在乙商场购买，费用y = 600x .
（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x
∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x
∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2
+ bx + c ，y = a
2
1x + b ，y =
ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）.
（1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨
⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩
⎨⎧==11
.0b a
所以得y =0.1x +1.
因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y = ax 2
+ bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，
所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.
（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=+2.121
b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，
所以y =52.08.4+x .
因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.
（4）设y = ab x
+ c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+3.12.113
2c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08
.0c b a ，
所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.
因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此，选用y = –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。