几类不同增长的函数模型教案

3.2.2 几类不同增长的函数模型

（一）教学目标

1．知识与技能

利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.

2．进程与方法

在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.

3．情感、态度与价值观

在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.

（二）教学重点与难点

重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升

难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.

（三）教学方法

尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.

（四）教学过程

回顾复习

择，这三种方案的回报如下：

元；

元；

.

三种方案所得回报的增长情况

再作三个函数的图象

在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二

观察图象发现，在区间[10，1000]

上，模型y=0.25x，y=1.002x的图

象都有一部分在直线y=5的上方，

只有模型y=log7x+1的图象始终

y=5的下方，这说明只有按模

.

所以该模型不符合要求；

时，是否有

2

变化的数据如下表

．中学数学建模的主要步骤

例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.

【解析】设单位购买x 台影碟机，

在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用

280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩

在乙商场购买，费用y = 600x .

（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x

∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x

∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x

∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.

【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.

例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2

+ bx + c ，y = a

2

1x + b ，y =

ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.

由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）.

（1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨

⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩

⎨⎧==11

.0b a

所以得y =0.1x +1.

因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.

（2）设y = ax 2

+ bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩

⎪

⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，

所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.

因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.

（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=+2.121

b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，

所以y =52.08.4+x .

因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.

（4）设y = ab x

+ c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+3.12.113

2c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08

.0c b a ，

所以y = – 0.8×(0.5)x +1.4.

因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.

因此，选用y = –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.

【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.