积分的运算技巧

[ln(x)] 1 1 x x
x ，所以
1dx x
ln
|
x
|
C
.
例 2 设曲线过点（1，2）且斜率为2x，求曲线方程．
解 设所求曲线方程为 y y(x)．
按 dy dx
2x
，故
y
2xdx
x2
C
．
又因为曲线过点（1，2），故代入上式2 1 C ，得 C 1，
于是所求方程为 y x2 1.
另一方面,设G(x) 是 f (x)的任一个原函数， 即G(x) f (x)，则可证F (x) 与G(x) 之间只相差一个常数.
事实上,因为 [F (x) G(x)] F (x) G(x) f (x) f (x) 0，
所以F(x) G(x) C ，或者G(x) F(x) C ，这就是说 f (x)的任一个原函数G(x) 均可表示成F (x) C 的形式．
(11) csc x cot xdx csc x C ，
(12)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
，
（13）
1 dx arcsin x C . 1 x2
三、 不定积分的性质
性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分
号外，即
kf (x)dx k f (x)dx （k 0）.
性质2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分
第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 f (x) 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论：
定理 若F (x) 是 f (x)的一个原函数，则F (x) C 是 f (x)的全部原函数，其中C 为任意常数．
证 由于F(x) f (x) ，又[F (x) C] F(x) f (x) ， 所以函数族F(x) C 中的每一个都是 f (x)的原函数．
例 3 设某物体运动速度为v 3t2 ，且当 t 0 时，s 2 ，
求运动规律s s(t)．
解 按题意有s(t) 3t2，即s(t) 3t 2dt t3 C，再将
条件t 0时s 2代入得 C 2，故所求运动规律为s t3 2．
积分运算与微分运算之间的互逆关系：
（1） f (x)dx f (x)或d f (x)dx f (x)dx；
(2) F '(x)dx F (x) C或 dF (x) F (x) C．
二、 基本积分公式
由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公
式可以相应地得出下列积分公式：
(1) kdx kx C (k 为常数)，
(2) xdx 1 x1 C （ 1），
1
(3)
1dx x
ln
x
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例 因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) L 2x ，所以 2x 的原函 数不是惟一的．
原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
第五章 不定积分
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法
第一节 不定积分的概念及性质
一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质
一、不定积分的概念
1．原函数的概念
定义 1 设 f (x) 是定义在某区间的已知函数，若存
在函数 F ( x) ，使得
F (x) f (x) 或dF (x) f (x)dx ,
C
，
(4) exdx ex C ，
(5) axdx ax C ， ln a
(6) cos xdx sin x C ，
(7) sin xdx cos x C，
(8)
1 cos2
x
dx
sec
2
xdx
tan
x
பைடு நூலகம்
C
，
(9)
1 sin 2
x
dx
csc 2
xdx
cot
x
C，
(10) sec x tan xdx sec x C ，
的代数和，即
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx.
例 4 求下列不定积分：
（1）
1 x2
dx；
(2)
x
xdx； (3)
dx 2gx
．
解 （１）
1 x2
dx
x2dx x21 C 1 C .
2 1
x
（２）
x
xdx
3
x 2 dx
2
5
x2
C
.
5
（３）
dx 2gx
x2 x2
1dx 1
x
2 x2
1 1
2
dx
1
x
2 2
1dx
dx
2
x
dx 2
1
x
2
arctan
x
C.
例 6 求下列不定积分：
(1) tan2 xdx ；
(2)
sin
2
x 2
dx
．
解 (1) tan2xdx (sec2x 1)dx
= sec2xdx dx tan x x C.
(2)
sin2
1 2g
dx x
例5
1 2g
1 1
1
x
1 2
1
C
2
求下列不定积分:
2gx C ． g
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
5
x2
1
x2
x
1
2x2
C.
52
（２）
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．
例 1 求下列不定积分：
（（解21））因（x为21d(）x；c因os为x（)213）sxi3nxs i，n xx所d2，x以；所（si以n3x）dxx21dxdxxco．13sxx3CC..
（3）因为 x 0时，(ln x) 1 ，又 x 0时，
xdx 2
1
cos 2
xdx
1 x 1 sin x C. 22
例 7 设 f sin 2 x cos 2 x , 求 f x ．
解 由于 f sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x ，
所以
f x 1 x ,故知 f (x) 是1 x 的原函数 ，
这样就证明了 f (x)的全体原函数刚好组成函数族 F(x) C ．
2. 不定积分的概念 定义 2 函数 f (x)的全体原函数F (x) C 叫做 f (x)的不 积分，定积分，记为
f (x)dx F (x) C ，其中F(x) f (x) ,
上式中的x 叫做积分变量， f (x)叫做被积函数， f (x)dx 叫