整理所有小学数学公式大全

文件编号： B3-4D -13-0F -F9

整理人 尼克

所有小学数学公式大全

高等数学公式导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

sinx=

2u

1+u2，cosx=

1−u2

1+u2，u=tg

x

2，dx=

2du

1+u2

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin cos tg ctg

-α-sinαcosα-tgα-ctgα

90°-αcosαsinαctgαtgα

90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα

180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα

180°+α-sinα-cosαtgαctgα

270°-α-cosα-sinαctgαtgα

270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα

360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα

360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

sin

α2=±√1−cosα2 cos α2=±√1+cosα2

tg

α2=±√1−cosα1+cosα=1−cosαsinα=sinα1+cosα ctg α2=±√1+cosα1−cosα=1+cosαsinα=sinα

1−cosα

·正弦定理：a

sinA

=

b sinB

=

c sinC

=2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC

·反三角函数性质：arcsinx =π2−arccosx arctgx =π

2−arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

(uv)(n)=∑C n k u (n−k)v

(k)

n

k=0

u (n)v +nu (n−1)v ′+

n(n −1)2!u (n−2)v ′′+⋯+n(n −1)⋯(n −k +1)k!

u (n−k)v (k)+⋯+uv (n)

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)−f(a)=f ′(ξ)(b −a)

柯西中值定理：f(b)−f(a)F(b)−F(a)=

f ′(ξ)

F ′(ξ)

当F(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds =√1+y dx,其中 {y ′=tgα平均曲率：K =|Δα

Δs

|.Δα:从M 点到 {M ′

点，切线斜率的倾角变化量；Δs ：MM ′弧长。M 点的曲率：K

=lim Δs→0|ΔαΔs |=|dαds |=|′′|√直线：K =0;半径为a 的圆：K =1

a . 定积分的近似计算：

矩形法：∫f(x)≈

b −a

(y 0+y 1+⋯+y n−1)b

a

梯形法：∫f(x)≈b −a n [1

2(y 0+y n )+y 1+⋯+y n−1]

b

a

抛物线法：∫f(x)≈b −a

3n [(y 0+y n )+2(y 2+y 4+⋯+y n−2)+4(y 1+y 3+⋯+y n−1)]

b

a

定积分应用相关公式：

功：W =F ⋅s

水压力：F =p ⋅A

引力：F =k m 1m 2

r 2

,k 为引力系数

函数的平均值：y =1

b −a ∫f(x)dx

b a

均方根：√1

b −a ∫f 2(t)dt

b

a 空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：d =|M 1M 2|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2+(z 2−z 1)2

向量在轴上的投影：Prj u AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosϕ,ϕ是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与u 轴的夹角。Prj u (a 1+a 2)=Prja 1+Prja 2

a ⋅

b =|a |⋅|b |cosθ=a x b x +a y b y +a z b z ,是一个数量,

两向量之间的夹角：cosθ=

x x y y z z

√a x +a y +a z ⋅√b x +b y +b z c =a ×b =|i j k

a x a y a z

b x b y b z

|,|c |=|a |⋅|b |sinθ.例：线速度： {v

=w ×r.向量的混合积：[abc]=(a ×b)⋅c =|a x

a y a z

b x

b y b z

c x

c y

c z

|=|a ×b |⋅|c |cosα,α为锐角时，代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x −x 0)+B(y −y 0)+C(z −z 0)=0，其中 {n ={A,B,C },M 0(x 0,y 0,z 0)

2、一般方程：Ax

+By +Cz +D =03、截距世方程：x a +y b +z

c =1平面外任意一点到该平面的距离：d

=

|000|

√A 2+B 2+C 2

x −x 0m =y −y 0n =z −z 0

p

=t,其中 {s ={m,n,p };参数方程：{x =x 0+mt y =y 0+nt z =z 0+pt 二次曲面：1、椭球面：x 2a 2+y 2b 2+z 2

c 2

=12、抛物面：x 22p +y 22q =z,（p,q 同号）3、双曲面：单叶双曲面：x 2a 2+y 2b 2−z 2

c 2

=1双叶双曲面：x 2a 2−y 2b 2+z 2

c 2=1（马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：dz =

ðz ðx dx +ðz ðy dy du =ðu ðx dx +ðu ðy dy +ðu

ðz

dz 全微分的近似计算：Δz ≈dz =f x (x,y)Δx +f y (x,y)Δy 多元复合函数的求导法：

z =f[u(t),v(t)] dz dt =ðz ðu ⋅ðu ðt +ðz ðv ⋅

ðv

ðt z =f[u(x,y),v(x,y)] ðz ðx =ðz ðu ⋅ðu ðx +ðz ðv ⋅

ðv

ðx

当u =u(x,y)，v =v(x,y)时，du =ðu ðx dx +ðu ðy dy dv =ðv ðx dx +ðv ðy

dy

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)=0， dy dx =−F x F y ， d 2y dx 2=ððx (−F x F y )＋ððy (−F x F y )⋅

dy

dx

隐函数F(x,y,z)=0， ðz ðx =−F x F z ， ðz

ðy =−

F y F z

隐函数方程组：{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0 J =ð(F,G)ð(u,v)

=|ðF ðu ðF

ðv ðG ðu ðG ðv

|=|F u F v

G u G v |

ðu ðx =−1J ⋅ð(F,G)ð(x,v) ðv ðx =−1J ⋅ð(F,G)

ð(u,x)ðu =−1⋅ð(F,G) ðv =−1⋅ð(F,G) 微分法在几何上的应用：