第16章 狭义相对论基础 解答

第16章 狭义相对论基础

16.1 静止长为1200m 的火车，相对车站以匀速v 直线运动，已知车站站台长900m ，站上观察者看到车尾通过站台进口时，车头正好通过站台出口。车的速率是多少？车上乘客看车站站台是多长？

解：由动尺缩短公式L L =

883.0010/s=1.9810m /s v ==⨯⨯，

900675m L L ===台台。

16.2 人们观测了以0.9100c 高速飞行的粒子经过的直线路径，实验结果得出的平均飞行距离是17.135m ，求出该粒子固有寿命的相对论预言值，并与实验室测出的固有寿命值

-8(2.6030.002)10s ±⨯比较．光速82.997910m/s c =⨯。

解：粒子的飞行时间为

8817.135s 6.28110s 0.9100 2.997910l t v -=

==⨯⨯⨯。 由动钟延缓公式

t ∆=

，有

886.28110 2.60410s τ--==⨯=⨯，

与实验值非常接近。

16.3 地面参考系中，在1000km x =处，于0.02s t =时刻爆炸了一颗炸弹．如果有一艘沿x 轴正方向、以0.75u c =速率运动的飞船，试求在飞船参考系中的观察者测得这颗炸弹爆炸的空间和时间坐标．又若按伽利略变换，结果又如何？假设两参考系的时空原点已经校好．

解：取飞船为运动系，则由洛伦兹变换，有

686

m 5.310m x '=

=

=-⨯，

6

280.75110))s 0.026s 310ux t t c ⨯⨯'=-=-=⨯。 如果按伽利略变换，则

686110m 0.753100.02m 3.510m x x ut '=-=⨯-⨯⨯⨯=-⨯，

0.02s t t '==。

16.4 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为4

1610m x =⨯，4

1210s t -=⨯以及

421210m x =⨯，42110s t -=⨯．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：（1）S ′系

相对S 系的速度是多少？(2)S ′系中测得的两事件的空间间隔是多少？

解：（1）

444214

4

4

211210m 610m 610m,110s 210s 110s.

x x x t t t ---∆=-=⨯-⨯=⨯∆=-=⨯-⨯=-⨯

根据洛伦兹变换，由题意，有

2)0v x

t t c

∆'∆=

∆-

=， 故

282484

(310)(110)m/s 1.510m/s 610

c t v x -∆⨯⨯-⨯===-⨯∆⨯。 （2）

48445.210m x -'∆=

=

=⨯。

另外，根据间隔不变性2

2

2

2

2

2

c t x c t x ''∆-∆=∆-∆和0t '∆=，亦可得

4|| 5.210m x '∆===⨯。

16.5 静止长度为0l 的火箭以匀速u 相对地面运动．一个光信号从火箭前端发出，到达尾部。求火箭上的观测者和地面的观测者观察该过程所需的时间．

解：以火箭运动方向为两参考系x 轴的正方向。这里的两个事件是光信号的发射和接收两事件在运动系（火箭）中，0x l '∆=-，光速为c ，方向沿反向，故

0/()/t x c l c ''∆=∆-=。

在静止的地面系中，由洛伦兹变换的逆变换，有

2

2

t ∆=

=

=

。

说明：若计算x ∆则

x ''∆=

=

=。 于是，在地面系中，光发射和接收这两事件的空间和事件间隔之比为/x t c ∆∆=-，即光速是不变的。

16.6 短跑运动员在地面上以10s 的时间跑完100m 的距离．一飞船沿同一方向以c 8.0的速率飞行，求飞船上的观测者测得的各量：（1）跑道的长度；（2）运动员跑过的空间间隔和时间间隔；（3）运动员的速度；（4）运动员相对于跑道的速度．

解：（1）由洛仑兹收缩公式，有

10060m L L ===。

（2）该问题中的两事件是运动员起跑和到达终点。取运动方向为正方向，则该两事件在地面静止系中的时间和空间间隔分别为100m,10s x t ∆=∆=。根据洛伦兹变换，该两事件在飞船运动系中的间隔分别为

89287410m 167m,

16.7s 4.410s.

x t -'∆==

=-⨯+'∆=

=

=-⨯

（由于计算结果是一个大量加一个小量，而这个小量可能会决定另外一些结果，故在上述结果中保留了小量。）

（3）飞船观测到的运动员的速度为

222

//1(/)/1/x x v t x t v u v

u t t v x c v x t c vu c

'∆∆-∆∆∆--'=

==='∆∆-∆-∆∆-。 注意u v c ，故

1

222

2222

28281/(1)(1)1/1/1(1)(1)(1)[1()]

(1)2.410m/s 10(10.8)m/s 2.410m/s 3.6m/s.

u v u v u vu u v v vu c vu c v c

u vu u vu v

v v v u v c v c v c v v u c

---'=

=-=-----≈--+≈--+=---=-+-=-⨯+⨯-=-⨯+

（也可以直接从,x t ''∆∆的数据出发利用小量展开来做。）

（4）上式中的3.6m/s 即为飞船观测到的运动员相对于地面的速度。

右图有利于理解本题，其中A 、B 分别为跑道的起点和终点。在飞船上看，地面（连同运动员）以高速向

后退。同时，可以检验相对速度

3.6m/s 与t '∆的乘积恰为跑道收缩后的长度60m L =。

16.7 在Σ系中观察两个事件同时发生在x 轴上，其间距为1m ．在Σ’系中观察这两个事件之间的空间距离是2m ，求在Σ’系中观察这两个事件的时间间隔．

解：根据时空间隔不变性，有

||t '∆=

代入数据，得9

|| 5.710s t -'∆=⨯。

16.8 在某惯性系Σ中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s ．已知在另一惯性系

Σ’中，该两事件的时间间隔为5s ．求：（1）两惯性系的相对速度是多少？（2）在Σ’

A L