数学物理方程ppt

定义10:
设为 y 0 方程 y g ( x, y) 的平凡解， 若 0, x I , ( , x ) 0, y ，当 y0 ( , x0 ) 时，对 x x0 ， 有 y( x, x , y ) ，则称 y 0 解稳定。
0 0 0
与pn ( x)分别是次多项式， 0 为常数。 则存在次多项式 qm ( x) 使非齐次方程 有如下形式的特解： 0 x i
y x qm ( x)e
定理4:
pm ( x )与 pn ( x)分别是
0 与0 (0 0) 为常数，
m, n 次多项式，
py qy e0 x [ pm ( x)cos 0 x pn ( x)sin 0 x] 则y

L

L
为向量场沿有向闭曲线L的环流量。
设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲 面S的侧符合右手规则，由Strokes公式，有
A dr p( x, y, z)dx q( x, y, z)dy r( x, y, z)dz [(r q )cos ( p r )cos (q p )cos ]dS
b a
0
定理1 k( 若 f ( x)在 x [a, b] ，x, t ) 在 [a, b] [a, b] 内 k 都连续，且 f ( x) ≤ m ，( x, t ) ≤ M ， 在 x [a, b]一致绝 。级数 对收敛，并且为方程
1 M ba
i 0
i ( x )
其中， px qy rz 称为向量场的散度，记 为 div A ，即
div A px qy rz
二、环流量与旋度
对于给定向量场
A( x, y, z ) p( x, y, z)i q( x, y, z) j r ( x, y, z) k
设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的 单位切向量为 0 ，则称积分 A dr A 0 ds
i
y ( x ) f ( x)
变为 代入原方程得
yi fi ik yk ,
k 1 n
k ( x, t)y(t)dt
b a
n i 1
y( x) f ( x) i ( x) yi , yi

b
a
i (t ) y(t )dt
ik

b
a
i (t ) k (t )dt, fi
0 0
定义11:
设 y 0 为方程 y g ( x, y) 的平凡解， 若 0, x , 0, y ，当 y 时， y( x y0 有 x x ，则, x , y ) 称解不稳定。
0 0 0
0
，
1
0
1
0
0
1.2
积分方程基础
定义1 积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若 方程关于未知函数是线性的，则称之为线性积分 方程；否则该积分方程称为非线性积分方程。
y p ( x ) y q ( x) y
n
(n 0, 1)
u (1 n) p( x)u (1 n)q( x)
二、高阶微分方程 1．可降阶的二阶微分方程
y f ( x, y )
y f ( y, y )
pp f ( y, p)
2．n阶常系数齐次线性微分方程
f ( x)dx g ( y)dy
2．齐次方程
dy y f( ) dx x
u xu f (u )
3．一阶线性微分方程
y p ( x) y q ( x)
ye
p ( x )dx
q( x)e p( x)dx dx c

4．Bernoulli方程
y
( n)
a1 ( x) y
( n 1)
a2 ( x) y
( n 2)
an1 ( x) y an ( x) y 0
定理1
Ly fi ( x) 的特解可以通过方程
i 1
n
Ly fi ( x), i 1, , n 的特解之和求得。
定理2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：
i
y ( x ) f ( x)

b
k ( x, t ) y(t )dt
a
的唯一解。
定义4 若 k ( x, t) ( x) (t)， i ( x) 与 (t) 都线性 无关，则 k ( x, t ) 称为退化核。 k ( x, t ) 为退化核，则方程
n i 1 i i
a≤ x≤b
称为SturmLiouville方程。
六、微分方程解的理论基础
定义8
对于一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0
定义9
对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：
f ( x, y, y , y ) 0, t ( , ) a1 y ( ) a2 y ( ) a3 y ( ) a4 y ( ) a5
2 2 2
称为Bessel方程， 为非负常数。
定义4 二阶线性微分方程
2 2 1 2 x y xy x m y 0 2
(m为整数)
称为半奇数阶Bessel方程。
定义5 二阶线性微分方程
x y xy ( x ) y 0
定义2 若未知函数只出现在积分号下，称为第一类线性 积分方程；若未知函数不仅出现在积分号下，还 出现在其他部分，则称为第二类线性积分方程。
定义3 若含参数齐次方程 y( x) k ( x, t )y(t )dt ， 在 有非零解，则 0 称为特征 值，相应的解为特征函数。特征函 数构成的空间称为线性空间，其维 数称为 0 的重数。
2 2 2
称为虚宗量Bessel方程。
五、Legendre方程与SturmLiouville方程 定义6 二阶线性微分方程
(1 x ) y 2xy n(n 1) y 0, x [1, 1]
2
称为n阶Legendre方程。
定义7 二阶线性微分方程
d dy ( x) k ( x) dx ( x) q( x) y ( x) 0 dx
r
r
k 1
k
i 1
i, 0
i, 1
i , ( i 1)
ni 1
)ei x
i, j
（3）若ai ( x) R ，特征方程有r个不同的复根 1 , 2 , , r （ k k k i），其重数分别为 n1 , n2 , , nr ，所有复 根重数之和为，则
y (ci , 0 ci , 1 x ci , (i 1) x ni 1 )ei x sin i x
数学物理方程 李明奇 田太心 主编
出 版：电子科技大学出版社(成都市建设北路二段四号，邮编：610054) 责任编辑：徐守铭 发 行：电子科技大学出版社 印 刷：成都蜀通印务有限责任公司 开 本：787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425千字 版 次：2006年4月第一版 印 次：2007年8月第二次印刷 书 号：ISBN 9787811140989 印 数：2001—5000册 定 价：28.00元
如果S是一分片光滑的闭曲面，为外法向，V 为S所包围的空间区域，由Gauss公式有
A dS A n dS
0 S S

p( x, y, z)dydz q( x, y, z)dzdx r( x, y, z)dxdy
S
( p
V
x
q y rz )dxdydz
p0 x y
n
n ( n)
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn1 xy pn y f ( x)
k 0
pnk D(D 1)(D k 1)y f (e )
t
四、Bessel方程
定义2 二阶线性微分方程
x y xy ( x ) y 0
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第一章 笫二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
绪论 定解问题与偏微分方程理论 分离变量法 行波法 积分变换 Green函数法 Bessel函数 Legendre多项式 保角变换法 非线性数学物理方程简介
L L y z z x x y S
其中，向量 {cos , cos , cos }为有向曲面S的单位法 向量 n0 的方向余弦，向量场的旋度记为 ， 且 rot A
rot A (ry qz )i ( pz rx ) j (qx py )k
旋度是一个向量，它是由向量场产生的向量 场，称为旋度场。
grad u u
div A A rot A A
2 u u grad u u
第一章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
绪论
常微分方程基础 积分方程基础 场论基本概念 常用算符与函数 常用物理规律
1.1
常微分方程基础
一、一阶微分方程
一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:
y f ( x, y), p( x, y)dx q( x, y)dy 0
1．可分离变量的一阶微分方程
的特解为：
y x e [ pl ( x)cos 0 x ql ( x)sin 0 x]
k 0 x
定理5:
二阶非齐次线性微分方程
y py qy f (x )
的特解为
y y1

x
0
通解为
y y1
y2 f ( ) d y2 ( y1 , y2 )

b
a
i (t ) f (t)dt, i 1, , n
1.3
场论基本概念
一、散度与通量
设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量 为 n0 ，则向量场 A( x, y, z ) 沿曲面S的第二类曲 面积分
A dS A n dS
0 S S
称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。

x
0
y1 f ( ) d ( y1 , y2 )

x
0
y2 f ( ) d y2 ( y1 , y2 )

x
0
y1 f ( ) d C1 y1 ( x) C2 y2 ( x ) ( y1 , y2 )
三、Euler方程
在微分方程中，我们还经常遇到一类 特殊的非常系数非齐次线性微分方 程——Euler方程的求解：
（1）特征方程有n个不同的实根 1 , 2 , , n ， n x 则 y ci e ，ci 为任意常数；
i
i 1
（2）特征方程有r个不同的实根 1 , 2 , , n，其 重数分别为n1 , n2 , , nr ， n =n ，则 y (c c x c x 其中，c 为任意常数。
1.4
常用算符与函数
一、常用算符
求导算子D： 梯度算子

Df ( x) f ( x)
与Laplace算子 是两个最基本的算符：
2 2 2 2 2 2 x y z
, , x y z
设为向量场，u 以下公式：
u( x, y, z )为数值函数，则有
i 1 r
(Βιβλιοθήκη Baidui , 0 di , 1 x di , (i 1) x ni 1 )ei x cos i x
i 1
r
3．二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
定理3:
y py qy pm ( x)e0 x 对应的齐 设 0为 p 次方程的i ( i 0, 1, 2 )重根，其中， m ( x)