高二数学最新教案-高二下册数学(人教版)高二下册数学(人教版)典型例题精析(棱锥) 精品

典型例题精析

DIAN XING LI TI JING XI

【例1】如图9-8-14所示，已知四棱锥的高是h ，底面是菱形，侧面PDA 和侧面PDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都等于60°，求此棱锥的全面积. 解法一：作DE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE. ∵平面PAD ⊥平面AC ，平面⊥PDC 平面AC ，平面PDA ∩平面PDC=PD ， ∴PD ⊥平面AC.

∴∠PED 是二面角P-BC-D 的平面角，∠

PED=60°.

∠ADC 是二面角A-PD-C 的平面角，∠ADC=120°. 在Rt △PDE 中，PE=

h 33

2

sin60PD =︒，

DE=PD ·cot60°=

h 3

3. ∵四边形ABCD 为菱形，∴∠DCE=60°，且△PAB ≌△PBC ，在Rt △DCE 中，h 3

2

32h 33sin60DE DC =⋅=︒=

.

∴()++⋅+

︒⋅=+=DC AD PD DC S S S 2

1

sin602

侧底全 BC PE ⋅⋅⋅2

1

2 ()

31h 3

2h 32h 332h 322h 2123h 9422+=⋅+⋅⋅⋅+⋅=

. 解法二：由上得菱形ABCD 的边长DC=h 3

2

， ∴2PDA PDC h 3

2

21h h 322S S =⨯⋅⋅=+∆∆， 222h 39

2

h 2394sin60)h 32(

S =⋅=︒⋅=底 2PAB PBC h 39

4

S 2cos60S S S =⋅=︒=

+底底∆∆.

∴()

31h 3

2h 934h 32h 392S 2

222+=++=

全. 【例2】小明到他父亲的木工房，看到一个(如图

9-8-15所示)棱长为50 cm 的立方体工件，从立方体的前、后、左、右、上、

当解过程中

思维受阻时，要重新审题，并且由已知想结论，即由已知能得到什么结论.本题中，侧面PDA 和侧面PDC 都垂直于底面，得到PD ⊥面AC 是关键步骤.

已知面面垂直时，常用到面面垂直的性质，得到线面垂直.

图9-8-14

本题通过一个比较复

杂，但生活中可见的多面体，考查解答者的空间想象能力，以及在此基础上的条理化能力.处理类似问题，不重复、不遗漏是难点.

下看，都有两个相通的正方形孔，请算一算，这个立方体剩下的体积是多少？

解：若没有孔，体积为503=125000(cm 3

). 现在前、后、左、右、上、下有6个“通孔”，每一个“通孔”的体积为10×10×50=5000(cm 3

)，还应当看到在一“通孔”与另

外两个“通孔”有交叉的部分，这样共有6个交叉部分，每个部

分体积为10×10×10=1000(cm 3

)，因此所求体积为125000-5000

×6+6×1000=101000(cm 3

).

【例3】已知正四面体的棱长为a ，求以正四面体的各面中心为顶点的多面体的体积.

解：在四面体ABCD 中，设G 1、G 3分别为正△ABC 、正△ABD 的中心，连结AG 1、AG 3，并延长分别交BC 、CD 于M 、N 点，M 、N 分别为BC 、CD 的中点(如图9-8-16所示)，从而MN 为△BCD 的中位线，MN=

a 2

1. ∵△AG 1G 3∽△AMN ，

∴

3

2

AN AG AM AG MN G G 3131===. ∴a 3

1

MN 32G G 31==.

同理可得G 1G 2=G 2G 3=G 1G 4=G 2G 4=G 3G 4=a 3

1.

∴四面体G 1G 2G 3G 4为内接于正四面体ABCD 的一个正四面体. 易求得它的体积为33a 324

2)a 31(122V ==.

图

9-8-15

图9-8-16

由本例可知，以正四面体各面中心为顶点构成的内接于原正四面体的一个正四面体，其棱长与原正四面体的棱长之比为1∶3，它们的体积之比为1∶27.

本题是一道开放题，不

同能力的学生会采用不同的解法.