哈密顿原理的推导 ppt课件

因 ri 和 ri 仅是广义坐标和时间的函数，与广义 t q j
速度 q j 无关，
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ri

ri t

k j 1
ri q j
q j
(ri ri (q1, q2 ,, t)
(6)
q 将(6)式对广义速度 j 求偏导数，可得
关系式：
ri ri
q j
质点系的位置，作一直角坐标系oxyz，用矢径
ri(xi,yi,zi) 表示质点系 中任一质点Mi的位置， 显然，如果约束是非
定常的，则矢径ri是
广义坐标和时间的矢
量函数：
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r i

r i
(q1
,
q2
,,
qk
,
t
)
(i 1,2,n) (1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k，) 求(1)式的变分：
i 1
i 1


mi
ai


k j 1
ri q j
Hale Waihona Puke qj (4)

k j 1
n i 1

miai

ri q j

q j

为简化(4)式括号中的式子，可将其改写为：
miai

ri q j

d dt

mi
ri
ri q j

3. Hamilton原理
(1) 变分的概念
微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变
量，q为因变量；
当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称
为该函数的微分，
q
且： dq q'(t)dt
或: q' (t) dq dt
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
p dt
t
o
t t+dt
t1
t1
如果在函数 q=q(t)中的自变量t是时间，则该
函数的变分称为等时变分。
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(2) Hamilton原理：
a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实 运动邻近，且为约束所能允许的可能运动 的区分准则。
① 研究对象：具有k个自由度的理想、完整约 束下的质点系的运动
② 广义坐标：q1，q2，……qk ③ 质点系的位置：
p dt t
t t+dt
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(3) 变分的运算性质：
(a) 任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以
交换：即 ( dq) d (q)
dt dt
(b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对
自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自
变量的积分。
即：
t2 qdt t2 qdt
B δq j
M(qj,t)
(k+1)维空间
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④ 质点系的真实运动：
如上图中(k+1)维空间中的实曲线 AMB 表示；
AMB 称为质点系的真实路径，又叫正路。
,
M (q j+δqj,t ) A
B δq j
M(qj,t)
(k+1)维空间
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⑤ 质点系的可能运动：
质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个
由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称
为该函数的变分。
从图中可看出，q 实际上代表了虚位移。
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(2) 变分与微分的区别
变分：自变量不变，仅由于函数本身形式
的微小改变而得到的函数的改变；
微分：由于自变量的 q 微增量而引起 的函数的微增 量。
o
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
,
M (q j+δqj,t ) A
B δq j
M(qj,t)
(k+1)维空间
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b)哈密顿原理的推导：
非定常约束的概念：
即约束可随 t 变化，是 t 的函数 一、拉格朗日方程
——以广义坐标表示的动力学普遍方程
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设有一理想、完整约束的非自由质点系，具
有k个自由度，用k个广义坐标q1，q2，…，qk表示
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变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的
形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数
q~ q(t) (t) q
式中： 是一个微小系数，
(t) 是t的任意连续函数。
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
p dt
则：
t
o
t t+dt
对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t)
q j
(7)
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ri

ri t

k j 1
ri q j
q j
(ri ri (q1, q2 ,, t)
(6)
将(6)式对任一广义坐标qα求偏导数得：
ri
q
r i

k j 1
ri
q j
q
j
(i 1,2,, n)
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n
已知动力学普遍方程为： (Fi miai ) ri 0
将其展开后得：
i 1
n
n
Fi ri miai ri 0
i 1
i 1
(2)
(2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的
1) 若在平面上运动的质点，其坐标可选x,y， 若再考虑时间，则有3个坐标，
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2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的
一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，…
…qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置
,
M (q j+δqj,t ) A
可能运动，用 AM' B 表示。 AM' B 称为质点系的可能 路径，或旁路(弯路)。
运动始末位置上， 正路和弯路的位置相同 (显然，可能运动的曲 线有无数条)。
,
M (q j+δqj,t ) A
B δq j
M(qj,t)
(k+1)维空间
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⑥ 虚位移(变分)： q j
表示在同一瞬时，旁路对正路的偏离 MM' 。

mi
ri

d dt
ri q j
(5)
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为推导拉氏方程，先证明 ri 与 d ri 之间
的两个关系式:
q j dt q j
(1)
ri

ri t

k ri j1 q j
q j
(ri ri (q1, q2,,t) (6)
q j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，
元功的和，可以写为广义坐标的形式为：
n
k
Fi ri Q jq j
i 1
j 1
(3)
(3)式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。
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(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移 中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：
n
n
miai ri