第六章- 刚体的简单运动

a2 a 2r 2
n A
v1 v2 2r
可知轮1匀角速定轴转动，有：
v12 a1 a1n 4r 2 r
本章基本要求：
(1) 明确刚体平移和刚体绕定轴转动的定义及其运动特征，能正确地判断 作平移的刚体和定轴转动的刚体。
(2) 深刻理解和掌握刚体绕定轴转动的转动方程、角速度和角加速度的概 念以及它们之间的关系。
3 2hv0 t 2 (h 2 v0 t 2 ) 2
例：飞轮绕固定轴转动，角加速度变化规律为
=k (k为常量)，当运动开始时角速度为0。 求角位置、角速度、角加速度以时间t表示 的函数表达式。
解： 已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d d k dt d dt d
bu bu sin cos 2 ) (cos 3 2 sin 2 cos ) l l bu u (cos 3 2 sin 2 cos ) cos 2 l l 3 2bu2 当=4时， aCx bu2 8l 2 2 2 a (a ) (a )
0
v
C点处：
v
B
vB
vdv 0 gds
R
得
2 vB 2gR
dv dv d dv v dv g cos 在BCE段： a R d d dt d dt
vdv 0 gR cosd
22 vC a 4g R
n C

2 得 v 2 vB 2 gRsin 2 gR 2 gRsin
vM
aM
解：
A n
30
(1 / s )
B
DA 0.3 A 0.6 DB 0.5
(m / s)
(1 / s )
vM RB B
2 aM RB B
0.5 0.6 0.15 2 0.5 (0.6 ) 2 0.09 2 2
(m / s 2 )
当=4时， vC
2 n 2 C
bu 2l
bu2 aC 2 2l

bu2 aC (aC ) (a ) 2 5 4l

bu2 a 2 4l
n C
用直角坐标法建运动方程，有：
xC b cos
yC b sin
tan ut l
vCx xC b cos vCy yC b sin
sec 2 u l
2

2
u 1 u cos 2 l sec2 l
bu bu 2 vC vC (vCx ) (vCy ) cos 当=4时， 2l l bu 3bu2 2 bu aCx C ( cos 3 ) ' 3 cos sin 2 cos4 sin x l l l
例：带式输送机，主动轮Ⅰ转数 n1=1200r/min，齿数Z1=24，齿轮Ⅲ和Ⅳ 用链条传动，Z3=15，Z4=45 ，轮Ⅴ的直 径D=460mm。问轮Ⅱ齿数为多少时输送 带的速度=2.4m/s。
解：
n1 z 2 n2 z1 n1 z2 z4 n4 z1 z3
n3 z 4 n4 z3 n1 z1 z3 z2 n4 z4
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度：
R
全加速度
R2 2 R2 4 R 2 4 R 2 2 R
由：
转动方程：
d
0

来自百度文库

0
k
sh k t
kd
2 0 2
积分得：
d k dt t d
0
角速度方程：

0
k
2 o
2
dt
0

d 0ch kt dt
角加速度方程：
得：
1 sh 1 t 0 k ( ) k
d k0 sh k t dt
k
为 对时间的一阶导数。 即
在轴上任取一点O，动点M的矢径用r表示， 则有矢量：
方向与速度矢方向一致，有：
d dr dv r a dt dt dt
方向与切向加速度矢方向一致。
方向与法向加速度矢方向一致。
转动刚体内任一点的速度和加速度可 以用矢积表示。
解： 须明确A、M 的运动不同 t=1s时， 轮： t=1s时，M点：
物体A： A下落的距离与M同一时间走过的弧长相等
s A sM
s A sM
s s A M
§6-4 轮系的传动比
1、齿轮传动
VA VB
R11 R2 2
i12称传动比
“+”为转向一致，为内啮合； “-”为外啮合，转向相反。
例：曲柄O1A绕O1轴转动，通过固连于连杆AB 上的齿轮2带动齿轮1绕C轴转动。为常量， O1A =O2B=2r， O1AO2B。两轮半径均为r。求 齿轮1和齿轮2分别在接触点P速度和加速度。
解： 水平杆连同齿轮2平动。由A点运动可知轮2上P点的运动。 由啮合关系可分析轮1上P点运动。
v2 v A 2r
角位移 和 r 不同， r 符合平行四边形法则，是矢量。 在有限时，其加减并不遵循矢量交换率，因此有限量角位移不 能定义为矢量。 但无穷小的角位移遵循矢量平行四边形法则，可以定义为矢量。 因此、可用矢量表示，大小为：
d dt
d d 2 2 dt dt
其方向按右手螺旋规则，如图，转轴取z轴， 它的正向用单位矢k的方向表示，于是有：
2、皮带轮转动 不考虑皮带厚度，皮带与轮间无相对 滑动，皮带上各点速度大小均应相等， 即： r11 r2 2 得：
i12
1 r2 2 r1
如多级传动按上述关系多次计算即可
例：减速箱，轴Ⅰ为主动轴，求传动比。
解： 斜齿轮，前述关系同样成立。
n1 Z 2 i12 n2 Z 1
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解： 已知运动求角速度、角加速度，微分问题： 设开始时OB杆处于铅垂位置：
AC v0t
v0 t AC 1 v0 t tan tan OC h h v0 v0 h h 2 22 2 2 v0 t h v0 t 1 2 h
aCy C ( y
2bu2 aCy 8l 2
C
Cx
Cy

4l
2
5
例：已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。 CD=DE，在AB段，加速度为a=g;在BCD段，切 向加速度a=gcos；求小环在C、D(=3/4)两处 的速度和加速度。
dv dv ds v dv g 解：在AB段： a ds dt ds dt
a R 2 4
a R tan 2 2 an R
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速 度与半径间的夹角都有相同的值。
例：边长为b的正方形绕定轴转动， =1rad/s 2，在某瞬时=1rad/s。已知A、 B两点的全加速度方向。求轴心的位置及 A、B两点的全加速度大小。
flash
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§6-1 刚体的平行移动
物体内任意直线在运动过程中始终与初始位置平行的运动为平移(平动)。
BA不变(大小、方向)：
刚体平移时每个点速度、加速度均相同，运动曲线完全相同。 可归属为对任一点运动的研究。
例：曲柄滑杆机构，OA=r。以匀角速度ω绕定轴O转动，
求BCD任意瞬时的速度和加速度。


vC 2 gR
aC 0（a=gcos）
a D 2 g 2

n aC aC 4g
n aD (2 2 ) g
D点处：
3 4
vD 1.848 gR
n a D ( a D ) 2 (a ) 2 3.487 g D
刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究： (1)刚体的运动； (2)刚体整体的运动与其上各点运动之间的关系。 本章主要研究刚体的两种简单运动：平移和定轴转动。 学习本章内容是为研究复杂运动打基础。
解： 在每一瞬时各点的加速度方向与转动半径的夹 角相等， 2
tg / 1
45
交点C点为“转动轴心”
a R 2 4
例：半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 2 为 t 4t ，单位rad和s，在此轮缘上绕一不 可伸长绳子并悬挂物体A。求t=1s 时轮缘上任一点M 和A的速度和加速度。
rad
s
由接触点速度相等可得：
rA 50 50 B A 20 d 60 3
轮B边缘点的速度与加速度：
rad
s
v rBB 0.08 50 0.4
3 3
m
s
a rB 0.08 (
2 B
50 2 200 2 ) 3 9
m
s2
§6-5 角速度和角加速度的矢量表示(自学)
解： 建立坐标系 O BCD平移，考察m点，有：
xm r cos r cost
dxm r sin t vm dt dvm am r 2 cos t dt
flash
例：已知绳等长l，=0sinkt， 0、k为 常数。求任意时刻M点速度和加速度。
解： AB平移，研究A或B点均可。 A圆弧运动，以最低点处为弧坐标原点，向右为正， 则有A的运动方程：
n3 Z 4 i34 n4 Z 3
n2 n3
传动系统的总传动比等于各级传动比的连乘积； 等于各从动齿轮数的连乘积与所有主动轮齿数的连乘积之比。
例：皮带轮传动，已知主动轮A直径为0.3m，从动轮B直径为0.5m，
主动轮的转速n=30r/min。皮带轮与皮带之间无滑动。求从动轮上M 点的速度与加速度，并在图上绘出M点的速度与加速度的方向。
u2 2 2 sin cos3 l
tan
ut l
sec 2
bu ds 2 cos b l dt 2bu2 dvC b 2 2 sin cos3 aC l dt
vC
2 vC bu2 a 2 cos4 b l n C
矢量法： 直角坐标法：
自然法：
s=f(t)
ds v dt
ab 0
例：摇杆机构，滑杆AB以等速u向上运动。求 = /4时，摇杆OC上C点的速度和加速度的大 小。（设初瞬时=0） 解： C的轨迹为圆弧，自然法方便。
取C0为坐标圆点，运动方程：
SC b
u l

u u 1 cos 2 l l sec2
60v n4 D
取整数：Z2=96
n4 n5
例：摩擦轮传动，两轮间无相对滑动。主动轮A的转速n=600r/min，
半径为50mm，从动轮B半径为80mm，接触点与B轮转轴间的距离
d=60mm。求从动轮B的角速度及其边缘点的速度与加速度。
解:
A
n
30

600 20
30
0 为最高位置时的角度。
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。 通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t )
转角对时间的变化率：
转动方程
flash
flash

d dt
瞬时角速度
d d 2 2 dt dt
瞬时角加速度
和 同号为加速，异号时为减速。
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
1 2 0 0 t t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
0 t