电容器问题

图3

图1 Q

-Q

图

2 1、（2019丰台一模）24．

构建理想化模型，是处理物理问题常见的方法。

（1）在研究平行板电容器的相关问题时，我们是从研究理想化模型——无限大带电平面

开始的。真空中无限大带电平面的电场是匀强电场，电场强度为E 0=2k πσ，其中k 是静电力常量，σ为电荷分布在平面上的面密度，单位为C/m 2。如图1所示，无限大平面带正电，电场指向两侧。若带负电则电场指向中央（图中未画出）。在实际问题中，当两块相同的带等量异种电荷的较大金属板相距很近时，其中间区域，可以看作是两个无限大带电平面所产生的匀强电场叠加；如果再忽略边缘效应，平行板电容器两板间的电场就可以看作是匀强电场，如图2所示。已知平行板电容器所带电量为Q ，极板面积为S ，板间距为d ，求： a . 两极板间电场强度的大小E ；

b . 请根据电容的定义式，求出在真空中，该平行板电容器的电容C ；

c . 求解图2中左极板所受电场力的大小F 。

（提示：因为带电左极板的存在已经影响到带电右极板单独存在时空间场强的分布，所以不能使用a 问中计算出的场强，而是应该将电场强度“还原”到原来右极板单独存在时，在左极板所在位置产生的电场强度。）

（2）根据以上思路，请求解真空中均匀带电球面（理想化模型，没有厚度）上某微小面

元所受电场力。如图3所示，已知球面半径为R ，所带电量为Q ，该微小面元的面

积为∆S ，带电球面在空间的电场强度分布为20

()()r R E Q k r R r <⎧⎪

=⎨≥⎪⎩，其中r 为空间某点

到球心O 的距离。

（提示：“无限大”是相对的，在实际研究中，只要被研究点距离带电面足够近，就可认为该带电面为无限大带电平面）

2、（2019房山一模）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意图如图所示。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为L，导轨间存在垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。电容器电容C，首先开关接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，MN由静止开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度v m，之后离开导轨。问：

（1）这个过程中通过MN的电量q；

（2）直流电源的电动势E；

（3）某同学想根据第一问的结果，利用的公式

BLx

q

R R

∆Φ

==求MN加速过程的位移，

请判断这个方法是否可行，并说明理由。

3、（2019西城二模）如图1所示，有一个连接在电路中的平行板电容器，平行板间为真空，其电容为C ，两极板之间的距离为d ，极板的面积为s ，电源的电动势为E , 静电力常量为k ，忽略边缘效应。

（1）开关S 闭合，电路达到稳定, 求平行板电容器极板上所带的电荷量。

（2）保持开关S 闭合, 将一块表面形状以及大小和平行板电容器极板完全相同、厚度略小于d （可近似为d ）的绝缘电介质板插入平行板电容器两极板之间，如图2所示。已知：插入电介质后的平行板电容器的电容r C C ε'=，式中εr 为大于1的常数。求电介质板插入平行板电容器的过程中，通过开关S 的电量。并说明该电流的方向。

（3）电路在情境（1）的状态下,断开开关S ，保持电容器的电荷量不变。有一块厚度为d /2的导体板，其表面形状大小和该平行板电容器的极板完全相同。在外力F 的作用下，该导体板能够沿着下极板的内侧缓慢地进入到如图3所示的位置。不计摩擦阻力。

a ．求两极板间P 点的电场强度的大小E 1；

b ．在电场中，将单位体积内所蕴藏的电场能量叫做能量密度，用w e 表示。已知2

e 8E w k

=π场

，

式中E 场为电场强度。求该导体板进入电场的全过程中，外力F 所做的功W F 。

图1

图2

图3

4、（2018西城一模）2015年4月16日，全球首创超级电容储能式现代电车在中国宁波基地下线，如图1所示。这种电车没有传统无轨电车的“长辫子”和空中供电网，没有尾气排放，乘客上下车的几十秒内可充满电并行驶几公里，刹车和下坡时可把部分动能转化成电能回收储存再使用。

（1）图2所示为超级电容器充电过程简化电路图，已知充电电源的电动势为E ，电路

中的电阻为R 。图3是某次充电时电流随时间变化的i-t 图像，其中I 0、T 0均为已知量。

a ．类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了用v -t 图像求位移的方法。请你借鉴此方法，根据图3所示的i-t 图像，定性说明如何求电容器充电所获得的电荷量；并求出该次充电结束时电容器所获得的电荷量Q ；

b ．请你说明在电容器充电的过程中，通过电阻R 的电流为什么会逐渐减小；并

求出电容器的电容C 。

（2）研究发现，电容器储存的能量表达式为212

CU ，其中U 为电容器两端所加电压，

C 为电容器的电容。设在某一次紧急停车中，在汽车速度迅速减为0的过程中，超级电容器两极间电势差由U 1迅速增大到U 2。已知电车及乘客总质量为m ，超级电容器的电容为C 0，动能转化为电容器储存的电能的效率为η。求电车刹车前瞬间的速度v 0。

C

S

R

图1

图2

图3

5、（2018海淀二模）)用电子加速器产生的高能电子束照射可使一些物质产生物理、化学和生物学效应，其中电子束焊接是发展最快、应用最广泛的一种电子束加工技术。电子束加工的特点是功率大，能在瞬间将能量传给工件，而且电子束的能量和位置可以用电磁场精确和迅速地调节，实现计算机控制。

图14甲是电子束加工工件的示意图，电子枪产生热电子后被高压电源加速，经聚焦系统会聚成很细的电子束，打在工件上产生高压力和强能量，对工件进行加工。图14乙是电子加速系统，K 是与金属板M 距离很近的灯丝，电源E 1给K 加热可以产生初速度不计的热电子，N 为金属网，M 、N 接在输出电压恒为U 的高压电源E 2上，M 、N 之间的电场近似为匀强电场。系统放置在真空环境中，通过控制系统排走工件上的多余电子，保证N 与工件之间无电压。正常工作时，若单位时间内从K 发出的电子数为n ，经M 、N 之间的电场加速后大多数电子从金属网N 的小孔射出，少部分电子打到金属网丝上被吸收，从而形成回路电流，电流表的示数稳定为I 。已知电子的质量为m 、电量为e ，不计电子所受的重力和电子之间的相互作用。

（1）求单位时间内被金属网N 吸收的电子数n ′；

（2）若金属网N 吸收电子的动能全部转化为内能，试证明其发热功率P =IU ； （3）a.电子在聚焦时运动方向改变很小，可认为垂直打到工件上时的速度与从N 中射出时的速度相同，并假设电子打在工件上被工件全部吸收不反弹。求电子束打到工件表面时对工件的作用力大小；并说明为增大这个作用力，可采取的合理可行的措施（至少说出两种方法）；

b. 已知MN 梁板间的距离为d ，设在两板之间与M 相距x 到x +△x 的空间内（△x 足够小）电子数为△N ，求 与x 的关系式。

图14

高压

电源

甲

M

N

S

2

乙

N

M E 1K

A