平面向量综合练习题

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1．下列命题中正确的是( )

A.OA →－OB →＝AB →

B.AB →＋BA →＝0

C ．0·AB →＝0

D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →

考点 向量的概念

题点 向量的性质

答案 D

解析 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相

反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.

2．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C

点的纵坐标为( )

A ．－13

B ．9

C ．－9

D ．13

考点 向量共线的坐标表示的应用

题点 已知三点共线求点的坐标

答案 C

解析 设C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．

∵A ，B ，C 三点共线，∴3

－8＝y ＋68，∴y ＝－9. 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，

则AD →·AC →等于( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

考点 平面向量数量积的坐标表示与应用

题点 坐标形式下的数量积运算

答案 A

解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝

2×3＋(－1)×1＝5.

4．(2017·庄河高中高一期中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，a ＋λb 与a 垂直，则

A．－2 B．1

C．－1 D．0

考点向量平行与垂直的坐标表示的应用

题点已知向量垂直求参数

答案 C

解析a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，

因为a＋λb与a垂直，

所以(a＋λb)·a＝0，

即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.

5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为() A．2 B．4

C．6 D．12

考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用

题点利用坐标求向量的模

答案 C

解析因为a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，

所以(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b

＝|a|2－2|a|－96＝－72.

所以|a|＝6.

6．定义运算|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ是向量a，b的夹角．若|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，则|x×y|等于()

A．8 B．－8

C．8或－8 D．6

考点平面向量数量积的概念与几何意义

题点平面向量数量积的概念与几何意义

答案 A

解析∵|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，

∴cos θ＝x·y

|x|·|y|＝－6

2×5

＝－

3

5.

..

..

又θ∈[0，π]，∴sin θ＝45

， ∴|x ×y |＝|x |·|y |·sin θ＝2×5×45

＝8. 7．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝

x a ＋y b ，则(x ，y )为( )

A.⎝⎛⎭⎫12，12

B.⎝⎛⎭⎫23，23

C.⎝⎛⎭⎫13，13

D.⎝⎛⎭⎫23，12

考点 平面向量基本定理的应用

题点 利用平面向量基本定理求参数

答案 C

解析 令BF →＝λBE →.

由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →

＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12

λAC →. 令CF →＝μCD →，

则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →

＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫12AB →－AC →＝12

μAB →＋(1－μ)AC →. 因为AB →与AC →不共线， 所以⎩⎨⎧ 1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧ λ＝23，μ＝23，

所以AF →＝13AB →＋13

AC →，故选C. 二、填空题

8．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．

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考点 平面向量数量积的应用

题点 已知向量夹角求参数

答案 238

解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°

－5×4＝0，解得m ＝238

. 9．若菱形ABCD 的边长为2，则||AB →－CB →＋CD

→＝________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用

题点 利用向量的加、减法化简向量

答案 2

解析 ||AB →－CB →＋CD →＝||AB →＋BC →＋CD →＝||AC →＋CD →＝||

AD

→＝2. 10．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.

考点 平面向量数量积的应用

题点 利用数量积求向量的模

答案 3 2

解析 因为向量a ，b 夹角为45°，

且|a |＝1，|2a －b |＝10. 所以4a 2＋b 2－4a ·b ＝10， 化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，

化为|b |2－22|b |－6＝0，

因为|b |≥0，解得|b |＝3 2.

11．已知a 是平面的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值围是________．

考点 平面向量数量积的应用

题点 利用数量积求向量的模

答案 [0,1]

解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，

∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角，θ∈⎣⎡⎦

⎤0，π2)， ∴0≤|b |≤1.