运用矩阵束方法稀布优化可分离分布的平面阵_陈客松

摘 要 针对可分离分布平面阵列的稀 布 优 化 问 题，提 出 了 一 种 基 于 矩 阵 束 方 法 的 减少阵元数目、求解阵元位置和设计激 励 幅 度 的 优 化 方 法。 可 分 离 分 布 平 面 阵 的 方 向图等于两个正交线阵方向图的乘积。对形成期望方向图的两正交线阵的方向图进 行采样得到离散的数据集，再 构 造 Ｈａｎｋｅｌ矩 阵；然 后 对 此 Ｈａｎｋｅｌ矩 阵 进 行 奇 异 值 （ＳＶＤ）分解，舍弃一部分不重要的奇异值，得到近似 Ｈａｎｋｅｌ矩阵的最 优 的 低 秩 逼 近 矩 阵 ，它 和 稀 布 线 阵 的 方 向 图 相 一 致 ；基 于 广 义 特 征 值 分 解 的 最 小 二 乘 准 则 来 计 算 两 稀布线阵的阵元位置和激励，从而得到 稀 布 面 阵 的 位 置 和 激 励。 仿 真 结 果 证 实 了 该 算法的有效性。 关 键 词 阵 列 天 线 ；稀 布 阵 ；矩 阵 束 方 法 （ＭＰＭ）；奇 异 值 分 解 （ＳＶＤ） 中 图 分 类 号 ＴＮ ８２０．１＋５；ＴＮ ８２０．１＋３ 文 献 标 志 码 Ａ
图Байду номын сангаас１ 平 面 阵 列 模 型
则矩形栅格平面阵的方向图可写为
ＭＮ
∑ ∑ Ｆ（ｕ，ｖ）＝
Ｒｍｎｅｘｐ［ｊ ｋ（ｍｄｘｕ ＋ｎｄｙｖ）］
ｍ ＝１ｎ＝１
（１）
式中：ｋ＝２π／λ，λ 为工作波长；ｕ＝ｓｉｎθｃｏｓφ，ｖ＝ｓｉｎ θｓｉｎφ．０≤θ≤π，０≤φ≤２π 分 别 表 示 方 位 角 和 俯 仰 角。ｄｘ 和ｄｙ 分 别 为 第 （ｍ，ｎ）阵 元 的 横 坐 标 和 纵 坐
目前已经有许多用来综合非均匀平面阵列的技 术，包括优化算法（如遗传算法（ＧＡ）［４］、微 分 进 化 算 法（ＤＥＡ）［５］、免疫演算法［６］、解 析 方 法［７－８］、动 态 规 划 法、粒子群优化方法（ＰＳＯ））和其他 综 合 技 术 等。 其 中，ＧＡ、ＤＥＡ 和 ＰＳＯ 适合 求 解 全 局 最 优 解，但 是 非 常耗时；而其他 许 多 基 于 迭 代 的 方 法 往 往 难 以 保 证 找到所有变量的全局最优解。
Ｍａｔｒｉｘ ｐｅｎｃｉｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｐａｒｓｅ ｓｅｐａｒａｂｌｅ ａｎｔｅｎｎａ ａｒｒａｙ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ＣＨＥＮ Ｋｅｓｏｎｇ１ ＺＨＥＮＧ Ｍｅｉｙａｎ１ ＬＩＵ Ｗｅｉｄｏｎｇ２ ＷＵ Ｈｏｎｇｇａｎｇ２ ＬＩＵ Ｘｉａｎｐａｎ３
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｓｉｃｈｕａｎ ６１１７３１，Ｃｈｉｎａ；２．Ｔｈｅ Ｓｅｃｏｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ａｖｉａｔｉｏｎ Ａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｓｉｃｈｕａｎ ６１００４１，Ｃｈｉｎａ；
后稀布线阵 Ｘ 的阵元幅度激励和位置，Ｒ′ｎ 和ｄ′ｎ（ｎ
＝１，…，Ｐ≤Ｎ）分别为优化后稀布线阵Ｙ 的阵元 幅
度激励和位置。本文使用的是总体最小二乘准则，
取 Ｌ＝２．
１．２ 矩 阵 束 方 法 估 计 最 小 阵 元 数 目
对期 望 方 向 图 从 ｕ＝ －１ 到 ｕ＝１ 进 行 均 匀 采
样［１２］，即对 ＸＯＺ 面的方 向 图 进 行 采 样，则ｕｓ＝ｓΔ＝
ｆＭ，Ｎ （ｓ，ｔ）＝ｆＭ （ｓ）ｆＮ （ｔ）
Ｍ
Ｎ
∑ ∑ ＝
Ｒｍｚｓｍ Ｒｎｚｔｎ
ｍ ＝１
ｎ＝１
（６）
式 中 ，ｚｍ ＝ｅｊωｍΔ ＝ｅｊ ｋｍｄｘΔ，ｚｎ ＝ｅｊωｎ! ＝ｅｊ ｋｎｄｙ! ．根 据
综合平面阵 列 的 阵 元 激 励 是 一 个 线 性 问 题，然
１．１ 阵 列 的 最 优 化 模 型 矩形平面 阵 列 结 构 如 图 １，其 单 元 按 矩 形 栅 格
排列在 ｘｏｙ 平 面 上。 此 阵 在 沿 ｘ 轴 方 向 上 Ｍ 行 阵 元，行间距为ｄｘ，沿ｙ 轴方向上有 Ｎ 列阵元，列间距 为ｄｙ，共有 Ｍ×Ｎ 个阵元，任 一 阵 元 编 号 为 （ｍ，ｎ）。 假设阵元均为全向辐射元。
轴平行的行中阵元的归一化电流。
可知在激励 分 布 为 可 分 离 型 分 布 的 条 件 下，具
有矩形边界的矩形栅格阵列的方向图是沿ｘ 轴排列 的线阵 Ｘ 和沿ｙ 轴排列的线阵Ｙ 的方向图的乘积。
矩阵束方法（ＭＰＭ）是在误差允许范围 内，使 用
尽可能少的阵元形成新的可分离型平面阵列来逼近
期望的方向图。最优化问题的数学描述
文 章 编 号 １００５－０３８８（２０１２）０６－１１８０－０７
运用矩阵束方法稀布优化可分离 分布的平面阵
陈 客 松１ 郑 美 燕１ 刘 卫 东２ 吴 宏 刚２ 刘 先 攀３
（１．电子科技大学电子工程学院，四川 成都 ６１１７３１；２．中国民用航空局 第二研究所，四川 成都 ６１００４１；电子科技大学航空航天学院，四川 成都 ６１１７３１）
DOI:10.13443/j.cjors.2012.06.028
第 ２７ 卷 第 ６ 期
２０１２ 年 １２ 月
ＣＨＩＮ电ＥＳ Ｅ Ｊ波ＯＵ ＲＮ科ＡＬ ＯＦ学 Ｒ ＡＤ学ＩＯ ＳＣＩ报ＥＮＣＥ
Ｖ ｏＤｌｅｃ．ｅ２ｍ７ｂ，ｅｒＮ，２ｏ０．１６２
ｓ／Ｓ，其 中ｓ＝ －Ｓ，… ，０，… ，Ｓ，有 （２Ｓ＋１）个 采 样 点 。
同理，对期 望 方 向 图 从ｖ＝ －１ 到ｖ＝１ 进 行 均 匀 采
样［１２］，即对ＹＯＺ 面的方向图进行采样，则ｖｔ＝ｔ!＝
ｔ／Ｔ，其中ｔ＝ －Ｔ，…，０，…，Ｔ．有 （２Ｔ＋１）个 采 样
点 。 任 一 采 样 点 （ｓ，ｔ）处 的 值 为
而综合阵元位置和相位是一个包含多个未知量的高 度非线性优化问题。传统的阵列综合技术如道尔顿 －切比雪夫方法和泰勒方 法［１－２］，仅 可 以 综 合 均 匀 间 隔的非均匀激 励 分 布。 它 们 在 综 合 窄 波 束、低 副 瓣 天线阵方面有 良 好 的 特 性，但 是 由 于 均 匀 间 距 的 限 制，这些方法为 得 到 所 需 的 辐 射 特 性 可 能 需 要 更 多 的阵元数目。非均匀分布的阵列综合使得设计者有 更大的自由度来减少阵元数目 。 ［３］
３．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｓｉｃｈｕａｎ ６１１７３１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｒｓｅ ｓｅｐａｒａｂｌｅ ａｒｒａｙ，ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｐｅｎｃｉｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ，ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｅｌｅ－ ｍｅｎｔ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｏ ｄｅｓｉｇｎ ｔｈｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｏｆ ｓｅｐｅｒａｂｌｅ ｐｌａｎａｒ ａｒｒａｙ ｉｓ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｏｆ ｔｗｏ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ａｒｒａｙ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｔｗｏ ｄｅｓｉｒｅｄ ｏｒ－ ｔｈｏｇｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ａｒｒａｙ ｒａｄｉａｔｉｏｎ ｐａｔｔｅｒｎ ｉｓ ｓａｍｐｌｅｄ ｔｏ ｆｏｒｍ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｄａｔａ ｓｅｔ．Ｓｅｃ－ ｏｎｄｌｙ，ａ Ｈａｎｋｅｌ Ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｂｕｉｌｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ （ＳＶＤ）ｃａｎ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ．Ｂｙ ｄｉｓｃａｒｄｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ａｎ ｏｐｔｉｍａｌ ｌｏｗ－ ｒａｎｋ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｈａｎｋｅｌ ｍａｔｒｉｘ ｗｈｉｃｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｓｐａｒｓｅ ａｎｔｅｎｎａ ａｒ－ ｒａｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｉｇｅｎ－ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ａｒｒａｙ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐａｒｓｅ ｓｅｐａｒａｂｌｅ ａｒｒａｙ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆ－ ｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ａｎｔｅｎｎａ ａｒｒａｙ；ｓｐａｒｓｅ ａｒｒａｙ；ｍａｔｒｉｘ ｐｅｎｃｉｌ ｍｅｔｈｏｄ（ＭＰＭ）；ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＳＶＤ）
矩阵束 方 法 （ＭＰＭ）［９－１０］已 成 功 应 用 于 一 维 线 性阵列 的 综 合 。 ［１１］ 目 前 还 未 见 将 矩 阵 束 方 法 应 用 到平面阵列综合中的报道。矩形平面阵列可分为可 分离型分布平面阵和不可分离型分布平面阵。本文 主要研究将矩阵束方法应用到可分离型分布的阵列 中。如果一个矩形平面阵的激励分布是可分离的， 则它所产生的方向图等于两个线阵方向图的乘积。 首先对形成期望方向图的两个正交线阵进行均匀采 样并 由 采 样 点 数 据 构 造 Ｈａｎｋｅｌ 矩 阵；然 后 对 此 Ｈａｎｋｅｌ矩阵进行奇异值分解，在 误 差 允 许 范 围 内 求 得逼近期望方 向 图 所 需 的 最 小 阵 元 数 目；最 后 基 于 特征值分解的最小二乘准则计算两稀布线阵的阵元 位置和激励，从 而 求 得 重 构 平 面 阵 的 阵 元 位 置 和 激 励。最后的 仿 真 实 验 将 会 优 化 切 比 雪 夫 平 面 阵 列 （非等激励）的 方 向 图 和 优 化 经 免 疫 演 算 法［６］（非 均 匀 阵 元 位 置 和 非 等 激 励 ）稀 布 后 的 方 向 图 ，并 将 其 与 文 献 ［１２］的 稀 布 约 束 最 优 化 方 法 进 行 比 较 。