第二章(1) 数学模型(微分方程)A

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200K
u1
→ i1 100K
R 1 i2 ↓
u2
100K
A/D1
R0
解:利用运算放大器“虚地” 的概念,得
u1 i 1 R1
由i1=i2,得
u2 du 2 i 2 ( C ) R2 dt
传递函数:
du 2 u 2 u1 C dt R 2 R1
R 2 / R1 G( s) R 2 Cs 1
【例5】建立比例微分器(PD)的微分方程。其中, U1(t)为输入量,U2(t)为输出量。
C 2 0.01μ R 2 100K
A/D1
R1
D/A1
100K
→ i1 C 1
i2 ↓

R0
100K
解:利用运算放大器“虚地” 的概念,得
u2 du 2 u1 du 1 i 2 ( C 2 ) i 1 C 1 R2 dt R1 dt du 2 u 2 du 1 u 1 C 1 由i1=i2,得 C 2 dt R2 dt R 1 R 2 C1s R 2 / R 1 G( s) ( R 2 C1s R 2 / R 1 ) R 2C 2 s 1
提出课题 拟定方案
设计装置
器件组装
试验调试 修改设计
性能测试
修改方案
系统设计:根据用户对被控对象性能的要求,设计控 制装置,使被控对象的性能指标满足用户提出的要求. 系统分析:对已经存在的控制系统,分析系统的性能 指标,作出系统性能优劣状况的判断。 系统分析是系统设计的基础.系统设计是系统分析的结 果.
h q 1 h0R0
d h h C q 1 dt R
线性
d h 1 dt 2
G( s)
h R q 1 RCs 1
【例8】建立有延迟的单容水箱的微分方程。
l/v
解:根据物料平衡原理,dt时间内
水箱液体的增加,应与进水量 相等:
q 1 (t ) q 2 (t ) C dh dt
C2
U2
图2-1
RC组成的四端网络
解: 设回路电流为i1、i2,根据克希霍夫定律, 列写方程如下: i
1
U1 R1i1 U c1
U c1 1 C1
① ②
U1
i1
R1
R2
i2
C2 U2
(i
1
i2 )dt
U c1 R2 i2 U c 2
U c2 1 C2
C1


图2-1 RC组成的四端网络
2.2 控制系统微分方程的建立 系统最基本的数学模型是反映系统变量之间 动态特性的微分方程式。 建立微分方程的步骤如下: ①将系统划分为若干环节,确定各个环节的输 入量和输出量。 ②从输入端开始,按信号传递的顺序,依据各 变量所遵循的物理、化学定律,列出各个环节的 原始方程(线性化) 。 ③消去中间变量,写出仅包含系统输入、输出 变量的微分方程式。
建立微分方程的关键是什么?
【例1】图由一RC组成的四端无源网络。试列写以Ui (t)为输入量,Uc(t)为输出量的微分方程。
解:设电容两端的电压为 根据电路定理,得
uc
.
ui
R
ui Ri uc
iC du c dt
i
① ②
C
uc
将(1)代入(2),消取中间变量i,得
传递函数:
U c ( s) 1 U i ( s) RCs 1
建立微分方程的关键是什么?
举例2. 实验法建立系统数学模型的几个步骤:
输入(已知) 黑匣子 输出(已知)
1.已知知识和辨识目的
2.实验设计--选择实验条件 3.模型阶次--适合于应用的适当的阶次 4.参数估计--最小二乘法 5.模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较,系
统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近.
第二章
教学重点:
连续系统的数学模型
控制系统微分方程、传递函数、系统结构图。
教学难点:
根据系统工作原理图绘制系统”结构图”。
教学内容:
2.1 概述 2.2 控制系统微分方程的建立 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 控制系统的信号流图 2.6 控制系统的传递函数
2.1 概述
1、控制系统的分析、设计过程
du c RC uc u i dt
G( s)
上述问题中有3个变量,需列出2个独立方程. 由此推知,N个变量的问题应建立N-1个独立方程
【例2】求图示RLC回 路的微分方程。
R + u(t)
输入
L uc(t)
输出
C
+ _
+ y _
i(t)
_
解:以 u L (t ),i(t ) 作为中间变量,列写该回路的微分方程
由电枢电压Ua(t)在电枢回路 中产生电枢电流ia(t)
1)电枢回路电压平衡方程:
dia (t ) U a (t ) La Ra ia (t ) Eb ① dt Eb是电枢反电势,它是当电枢旋转 时产生的反电势,其大小与激磁磁 通及转速成正比,方向与电枢电压 Ua(t)相反,即

La + Ua ia
Wm Ea
SM
输出
负 载
Jm,fm
-
图2-3 电枢控制直流电动机原理图
例12、电枢控制直流电动机的微分方程
解: 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入 的电能转换为机械能.也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t),再由电流 ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t), 从而拖动负载运动。即:电压→电流→转距 因此,直流电动机的运动方程可由以下三部分 组成: 1)电枢回路电压平衡方程; 2)电磁转矩方程; 3)电动机轴上的转矩平衡方程.
d 2U 2 dU 2 R1 R2 C1C 2 ( R1C1 R1C 2 R2 C 2 ) U 2 U1 2 dt dt
这就是RC组成的四端网络的数学模型,是一个 二阶线性微分方程。
【例4】建立惯性环节的微分方程。其中,U1(t) 为输入量,U2(t)为输出量。
C R2
D/A1
应用:系统内部运动机理原理不清楚。
举例1. 分析法建立系统数学模型的几个步骤:
1)建立系统和元件的物理模型。 2)列写原始方程。 利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫 电流和电压定律、能量守恒定律等. 3)选定系统的输入量、输出量及状态变量(仅 在建立状态模型时要求),消去中间变量,建 立适当的输入输出模型或状态空间模型。 4)对模型进行检验.
系统分析设计的对象是什么?
为什么要对实际模型进行简化?
2、什么是系统物理模型? 任何元件或系统实际上都是很复杂的,在对系统进 行初步分析设计时,难以对它作出精确、全面的描述,必 须进行简化或理想化。例如:电阻器电阻. 简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。 系统的简化是有条件的,要根据问题的性质和求解的 精确要求,来确定出合理的物理模型。 3、什么是系统的数学模型? 根据系统运动过程的物理、 化学规律,描述系统或元 件运动规律、特性和输入输出关系的数学表达式(曲线,表 格和计算机程序等),统称为系统或元件的数学模型。
建立系统(元件)数学模型常用方法: 1.分析法-对系统(元件)各部分的运动”机理”进 行分析,应用物理规律、化学规律找出系统输
入/输出变量之间的数学关系。
应用:系统内部运动机理(原理)比较清楚.
2.实验法-人为施加某种测试信号,记录系统的输
出响应.然后再根据测得的系统输入输出之间的
关系,找出系统中变量之间的数学关系。
图2-3 所示为电枢控制直流 电动机的原理图。要求以电枢 电压Ua(t)(v)为输入量,电 动机转速ωm(t)(rad/s) 为输出量,列写微分方程。 图中Ra(Ω)、La(H)分别是 电枢电路的电阻和电感,Mc是 折合到电动机轴上的总负载转 距。激磁磁通为常值。
+ Ua
输入

La ia
if Ra
激磁磁通
【例6】.建立下列机械系统的微分方程.
解:根据牛顿力学:
u(t) m b
K
f b by
u(t ) f k f b ma
f
k
ky
y(t)
f b ky 微分方程:
dy & & my b ky u (t ) dt
【例7】建立单容水箱的的微分方程。 解:
液阻R 液容C 液面差变化 H 流量变化 Q 被储存液体变化 V 水头(高度)的变化 H
i
2
dt
U 2 U c2
由④、⑤得:

i1
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由于
dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt
将i1、i2代入①、③,则得
U1 R1i1 R2 i2 Uc 2
dUc1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
根据出水量的增量与水位高度的增量近 似成正比: Βιβλιοθήκη Baiduh
q 2 C R
L[ f (t )] f (s)e s
微分方程: 拉氏变换:
d h h q 1 (t 0 ) dt R
RCsh(s) h(s) Rq 1(s)e s
G( s) h R e s q 1 RCs 1
数学模型怎么表示?
4、控制系统数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
复域模型
频域模型
结构图
状态空间
(微分方程) (传递函数) (伯德图)
(微分方程组)
传递函数,结构图,频域模型将是本门课程主要涉及的数 学模型.
如何建立实际系统的数学模型?
5、建立系统的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性,准确建立系统输 入输出的关系(数学模型)-称为建模。 常用方法: 1)机理分析 6)图解法 2)直接相似法 7)隔舱法 3)系统辨识 8)蒙特卡罗 4)定理推理 9)量纲分析 5)层次分析 10)计算机
R1 [C1
dU 2 dU 2 d ( R2 i2 U 2 ) C 2 ] R2 C 2 U2 dt dt dt
d 2U 2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1 R2 C 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 U2 2 dt dt dt dt
整理,得微分方程:
d 2 y(t ) dy(t ) LC RC y(t ) u (t ) 2 dt dt LCs 2Y (s) RCsY (s) Y (s) U (s)
【例3】如图所示为由一RC组成的四端无源网络。 试列写以U1(t)为输入量,U2(t)为输出量的微分 方程。
R1 R2
U1
C1
if Ra Wm Ea
SM
负 载
Jm,fm
图2-3 电枢控制直流电动机原理图
Eb=Ceωm(t) ②
Ce-反电势系数(v/rad/s)
电流ia(t)与激磁磁通相互 作用产生电磁转距Mm(t),

La ia Ua
if Ra Wm Ea
2)电磁转距方程:
M m (t ) Cmia (t )
q0
c i R
微分方程:
d c Ru2 r RC c i dt r
【例10】建立无自恒水箱的微分方程。
解:由于输出流量q2为定值,因此 水箱水位高度的变化与输入流 量成正比
d h C q 1 dt
传递函数:
1 G (s) Cs
积分环节
【例11】建立电枢控制直流电动机的微分方程
根据物料平衡原理,dt时间内水箱液体 的增加,应与进水量相等:
dh q 1 q 2 C dt
d h q 1 q 2 C dt
根据托里拆定理,出水量与水位高度的 平方根成正比: h h q 2 q 2 线性化 R
0
R
1 R 2 h0R0
微分方程: C 线性化
C
dh h q 1 非线性! dt R 0
传递函数:
【例9】建立热容系统的微分方程。
解:根据热容定义和热平衡方程, u r dt时间内加给热炉的热量应 与其炉内温度的上升所需热量 平衡。
Cd c (qc q0 )dt
c
qc q0 i
箱体热容C,热阻R
热炉向外散出的热量与炉内外温差成正比: 电炉丝通电发出的热量为:
u2 qc r r
u(t ) Ri(t ) u L (t ) y(t )
di u L L dt du (t ) dy (t ) iC c C dt dt
拉氏变换
dy ] s dt d2y L[ 2 ] s 2 dt L[
消去中间变量 u L (t ),i(t ) ,得
传递函数:
G( s) Y ( s) 1 U ( s) LCs 2 RCs 1
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