第二章(1) 数学模型(微分方程)A
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
线性系统的数学模型
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关 系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型： 状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统 的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不 同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈 正反馈 单位反馈：H(S)＝1
主 要 内 容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程 作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电 路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数； 方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第2章-1-微分方程
K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
Ce (t ) ua (t )
自 动 控 制 原 理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流 电动机微分方程为
Rf
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流 负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自 动 控 制 原 理
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
V
H
M
x
P M
自 动 控 制 原 理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt
第二章控制系统数学模型
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
第二章微分方程
]
[
]
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →0 s →∞ s→0
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →∞
2.3
非线性数学模型线性化
实际意义上纯粹的线性系统是不存在的，组成系统的元件或多或少 地存在着非线性特性，对非本质的非线性特性我们要进行线性化处理， 既线性近似。
图2
[解]：这是直线机械位移动力学系统，可 以假定系统采用集中参数，m为质点。 (1)系统的输入为F(t)，输出为y(t)，弹簧 的弹性阻力为Fk(t)，阻尼器的阻尼力 为Ff(t)均为中间变量。 (2)画出m的受力图如左图2。
(3) 由牛顿第二定律（即加速度定律）：
d2y ∑ Fi = ma = m 2 dt
或 i L (t ) =
1 ∫ u L (t )dt L
3．弹簧： 弹性力它是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与机械变形成正比，
弹性力分平动和旋转两种。 平动弹簧的弹性力：
F = ky = k ∫ vdt
旋转弹簧的弹性力：
1 dF v= k dt
1 dT ω= k dt
T = kθ = k ∫ ω dt
d2y 即 F (t ) - Fk (t ) − Ff (t ) = m 2 dt
(4)列写中间变量Fk(t) 、 Ff(t)表达式：F (t ) = ky (t ), F (t ) = f k f
dy dt
(5)将上述中间变量的辅助方程代入原始方程，消去中间变量 Fk(t) 和Ff(t)
dy d2y F (t ) - ky (t ) − f =m 2 dt dt d2y dy (6)标准化，得到 m 2 +f + ky (t ) = F (t ) dt dt
第2章数学模
15
3. 惯性环节
惯性环节又称为非周期环节，其输出量延缓地反映输 入量的变化规律。
运动方程为：
传递函数为： G(s) 1 Ts 1
式中:T为时间常数
惯性环节的传递函数有一个负实极点 p ，1无T零点，阶
跃响应是按指数规律上升的曲线，如图
16
5.振荡环节 振荡环节包含两个储能元件，在动态过程中，两个
结构图包含四种基本单元： （１）信号线 （２）引出点 （3）比较点 （４）方框
22
绘制系统框图的一般步骤为： １）列出描述系统各环节或元件的运动方程式，确定
其传递函数。 ２）绘出各环节或元件的方框，方框中示明其传递函
数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。 ３）根据信号的流向关系，依次将各方框连接起来，
第2章 控制系统的数学模型
2.1 微分方程 2.2 传递函数 2.3 结构图 2.4 信号流图 2.5 MATLAB中数学模型的表示
1
2.1 微分方程
2.1.1 系统微分方程的建立
列写微分方程的一般步骤是：
１）根据实际工作情况，确定系统或各元器件的输入变 量和输出变量。
２）从输入端开始，按照信号传递的顺序和各元器件所 遵循的物理规律，列出微分方程组。
u
* n
，输出量为电动机转速
n
。
例2-7 原理图
例2-7 结构图
26
2.3.2 结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的两条基本原则是： 1）变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变； 2）变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。
1. 基本连接的等效变换
结构图的基本连接方式有三种：串联、并联和反馈。 （1）串联
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
控制系统数字仿真第二章习题答案
控制系统数字仿真与CAD第二章习题答案2-1 思考题：（1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式，各有什么特点？（2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？（3）控制系统建模的基本方法有哪些？他们的区别和特点是什么？（4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？（5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？答：（1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他数学模型表达式的基础。
状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多输入多输出系统。
传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。
零极点增益形式可用于分析系统的稳定性和快速性。
利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。
（2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。
（3）控制系统的建模方法大体有三种：机理模型法，统计模型法和混合模型法。
机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的分析简化建立起来的各物理量间的关系。
该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了解，精度高。
统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系统辨识等理论建立的系统模型。
该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。
混合法是上述两种方法的结合。
（4）“实现问题”就是根据建立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程，通过计算来使之正确的反映系统各变量动态性能，得到可靠的仿真结果。
（5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速度和并保证计算结果的稳定。
2-2.用matlab语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：(1) G（s）=324327242410355024s s ss s s s+++++++(2).X=2.25 -5 -1.25 -0.542.25 -4.25 -1.25 -0.2520.25 -0.5 -1.25 -121.25 -1.75 -0.25 -0.75 0X⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦u y=[0 2 0 2] X（1）解：（1）状态方程模型参数:编写matlab程序如下>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [A B C D]=tf2ss(num,den)得到结果：A=-10 -35 -50 -241 0 0 00 1 0 00 0 1 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,B=1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,C=[]1 7 24 24,D=[0]所以模型为:.X=-10 -35 -50 -241 0 0 00 1 0 00 0 1 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦X+1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦u,y=[]1 7 24 24X(2)零极点增益:编写程序>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [Z P K]=tf2zp(num,den)得到结果Z= -2.7306 + 2.8531 , -2.7306 - 2.8531i ,-1.5388P= -4, -3 ,-2 ,-1K=1(3) 部分分式形式:编写程序>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [R P H]=residue(num,den)得到结果R= 4.0000 ,-6.0000, 2.0000, 1.0000P= -4.0000, -3.0000 , -2.0000 ,-1.0000 H=[]G(s)=46214321s s s s -+++++++（2）解：（1）传递函数模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)得到结果num = 0 4.0000 14.0000 22.0000 15.0000 den =1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500324324 s + 14 s + 22 s + 15()s + 4 s + 6.25 s + 5.25 s + 2.25G s =(2) 零极点增益模型参数:编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D)得到结果Z =-1.0000 + 1.2247i -1.0000 - 1.2247i -1.5000P= -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.5000 -1.5000 K = 4.0000表达式 ()()()()()4s+1-1.2247i s+1+1.2247i ()s+0.5-0.866i s+0.5+0.866i s+1.5G s =（3）部分分式形式的模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)>> [R,P,H]=residue(num,den)得到结果R = 4.0000 -0.0000 0.0000 - 2.3094i 0.0000 + 2.3094iP = -1.5000 -1.5000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i H =[]4 2.3094 2.3094() 1.50.50.8660.50.866i iG s s s i s i=-+++-++2-3.用欧拉法求下面系统的输出响应y(t)在0≤t ≤1上，h=0.1时的数值。
(完整版)1-2章选择填空答案
单选1、自动控制系统的数学模型为（A ）。
A 微分方程、传递函数、动态结构框图、信号流图；B 梅森公式；C 状态方程、差分方程D 热学方程。
2、数学模型是描述系统输入量、输出量及系统各变量之间关系的（A）。
A 数学表达式；B 传递函数；C 信号流图；D 动态结构框图。
3、在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称作系统的（B）。
A 信号流图；B；传递函数C 动态结构框图；D 以上都对。
4、传递函数的定义为（B ）。
A 系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；B 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；C ；D 以上三者都是。
5、传递函数是经典控制理论的数学模型之一，她具有如下特点（B ）。
A它可以反映出系统输入输出之间的动态性能，但不能反映系统结构参数对输出的影响；B 传递函数表示系统传递、变换输入信号的能力，只与系统的结构和参数有关，与输入输出信号灯形式无关；C传递函数表示系统传递、变换输入信号的能力，不仅与系统的结构和参数有关，而且与输入输出信号灯形式有关；D 传递函数与系统微分方程式之间不可以相互转换。
6、自动控制系统的典型环节有（C）A 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节；B 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节；C 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节、时滞环节；D 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节、时滞环节；正弦、余弦等。
7、自动控制系统的动态结构图由哪些基本单元组成（ B ）A 信号线、引出点、综合点、方框、比较环节；B 信号线、引出点、综合点、方框；C 信号线、引出点、综合点、方框、前向通道、反馈通道；D 信号线、引出点、综合点、方框、前向通道、反馈通道、给定信号、输出信号。
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
第2章线性系统的数学模型
duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 LCuC (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t )
【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。
数学模型的形式
时域（t）
： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 传递函数 变换
微分方程
傅氏 变换
频率特性
§2-2 时域数学模型
时域中数学模型的基本形式是微分方程。 线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为： 常系数线性微分方程，其一般形式可表为：
f (t ) L [ F ( s)]
1
拉氏变换的基本知识 拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
(2)微分性质
若 L[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
u uc ur u Ri Rf
运算放大器的数学模型为
uc (t )
Rf Ri
u r (t )
2.线性系统的特点
1）定义
如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的
系统就是线性系统 具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。
2）性质：满足叠加原理
迭加性 齐次性
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s)
《控制工程基础》课件-第二章
4/21/2023
27
第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
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1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
4/21/2023
20
第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
4/21/2023
12
第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
第二章1线性连续系统的数学模型
f2
1 i1
2
f3
1 i1i2
2
角位置跟踪系统（随动系统）的线性方程组
ue u1 u2 K (r c )
ut KV ue
ua Kwut
ua
Raia
La
dia dt
Eb
Mm Cmia
Mm
Jm
d
dt
fm
Jm
d 2m
+ ua ia _
Ra
+ Eb_
if ω
Mm
ua
Raia
La
dia dt
Eb
电枢绕组的电势平衡方程
Mm Cmia
电枢电流与磁场相互作用而产生电磁转矩
Mm
Jm
d
dt
fm
Jm
d 2m
dt 2
fm
dm
dt
电机转矩平衡方程
Eb
Kb
dm
dt
当电枢运动时电枢绕组中有反电势产生
5.机械传动机构
y1
t
Y1(s) Y(sG)=(sK) Y1(s)y2
t
§1.3 系统动态结构图的绘制
一、动态结构图的组成与绘制 二、结构图的等效变换和化简方法
一、动态结构图的组成与绘制
定义：结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数
学图形，是系统图解形式的动态数学模型。
动
组成：
原u
理
R 相L 加点
i
R+
C uc
di L dt Ri u uc
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建立系统（元件）数学模型常用方法： 1.分析法－对系统（元件）各部分的运动”机理”进 行分析，应用物理规律、化学规律找出系统输
入/输出变量之间的数学关系。
应用：系统内部运动机理（原理）比较清楚.
2.实验法－人为施加某种测试信号，记录系统的输
出响应.然后再根据测得的系统输入输出之间的
关系,找出系统中变量之间的数学关系。
根据物料平衡原理，dt时间内水箱液体 的增加，应与进水量相等：
dh q 1 q 2 C dt
d h q 1 q 2 C dt
根据托里拆定理，出水量与水位高度的 平方根成正比： h h q 2 q 2 线性化 R
0
R
1 R 2 h0R0
微分方程: C 线性化
C
dh h q 1 非线性! dt R 0
2.2 控制系统微分方程的建立 系统最基本的数学模型是反映系统变量之间 动态特性的微分方程式。 建立微分方程的步骤如下： ①将系统划分为若干环节,确定各个环节的输 入量和输出量。 ②从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各 变量所遵循的物理、化学定律，列出各个环节的 原始方程(线性化) 。 ③消去中间变量，写出仅包含系统输入、输出 变量的微分方程式。
图2-3 所示为电枢控制直流 电动机的原理图。要求以电枢 电压Ua(t)（v）为输入量，电 动机转速ωm（t）（rad/s） 为输出量，列写微分方程。 图中Ra(Ω)、La(H)分别是 电枢电路的电阻和电感，Mc是 折合到电动机轴上的总负载转 距。激磁磁通为常值。
＋ Ua
输入
＋
La ia
if Ra
激磁磁通
由电枢电压Ua(t)在电枢回路 中产生电枢电流ia(t)
1）电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) U a (t ) La Ra ia (t ) Eb ① dt Eb是电枢反电势，它是当电枢旋转 时产生的反电势，其大小与激磁磁 通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
＋
La ＋ Ua ia
d 2U 2 dU 2 R1 R2 C1C 2 ( R1C1 R1C 2 R2 C 2 ) U 2 U1 2 dt dt
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个 二阶线性微分方程。
【例4】建立惯性环节的微分方程。其中，U1（t） 为输入量，U2(t)为输出量。
C R2
D/A1
1μ
200K
u1
→ i1 100K
R 1 i2 ↓
u2
100K
A/D1
R0
解：利用运算放大器“虚地” 的概念，得
u1 i 1 R1
由i1=i2，得
u2 du 2 i 2 ( C ) R2 dt
传递函数：
du 2 u 2 u1 C dt R 2 R1
R 2 / R1 G( s) R 2 Cs 1
du c RC uc u i dt
G( s)
上述问题中有3个变量,需列出2个独立方程. 由此推知,N个变量的问题应建立N-1个独立方程
【例2】求图示RLC回 路的微分方程。
R + u(t)
输入
L uc(t)
输出
C
+ _
+ y _
i(t)
_
解：以 u L (t ),i(t ) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
传递函数：
【例9】建立热容系统的微分方程。
解：根据热容定义和热平衡方程， u r dt时间内加给热炉的热量应 与其炉内温度的上升所需热量 平衡。
Cd c (qc q0 )dt
c
qc q0 i
箱体热容C，热阻R
热炉向外散出的热量与炉内外温差成正比： 电炉丝通电发出的热量为：
u2 qc r r
【例6】.建立下列机械系统的微分方程.
解：根据牛顿力学:
u(t) m b
K
f b by
u(t ) f k f b ma
f
k
ky
y(t)
f b ky 微分方程:
dy & & my b ky u (t ) dt
【例7】建立单容水箱的的微分方程。 解：
液阻R 液容C 液面差变化 H 流量变化 Q 被储存液体变化 V 水头（高度）的变化 H
【例5】建立比例微分器（PD）的微分方程。其中， U1（t）为输入量，U2(t)为输出量。
C 2 0.01μ R 2 100K
A/D1
R1
D/A1
100K
→ i1 C 1
i2 ↓
1μ
R0
100K
解：利用运算放大器“虚地” 的概念，得
u2 du 2 u1 du 1 i 2 ( C 2 ) i 1 C 1 R2 dt R1 dt du 2 u 2 du 1 u 1 C 1 由i1=i2，得 C 2 dt R2 dt R 1 R 2 C1s R 2 / R 1 G( s) ( R 2 C1s R 2 / R 1 ) R 2C 2 s 1
Wm Ea
SM
输出
负 载
Jm,fm
-
图2-3 电枢控制直流电动机原理图
例12、电枢控制直流电动机的微分方程
解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入 的电能转换为机械能.也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流 ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， 从而拖动负载运动。即：电压→电流→转距 因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分 组成: 1）电枢回路电压平衡方程; 2）电磁转矩方程; 3）电动机轴上的转矩平衡方程.
根据出水量的增量与水位高度的增量近 似成正比： h
q 2 C R
L[ f (t )] f (s)e s
微分方程: 拉氏变换：
d h h q 1 (t 0 ) dt R
RCsh(s) h(s) Rq 1(s)e s
G( s) h R e s q 1 RCs 1
i
2
dt
U 2 U c2
由④、⑤得:
⑤
i1
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由于
dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt
将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1i1 R2 i2 Uc 2
dUc1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
建立微分方程的关键是什么?
【例1】图由一RC组成的四端无源网络。试列写以Ui （t）为输入量，Uc(t)为输出量的微分方程。
解：设电容两端的电压为 根据电路定理，得
uc
.
ui
R
ui Ri uc
iC du c dt
i
① ②
C
uc
将（1）代入（2），消取中间变量i，得
传递函数：
U c ( s) 1 U i ( s) RCs 1
应用：系统内部运动机理原理不清楚。
举例1. 分析法建立系统数学模型的几个步骤：
1）建立系统和元件的物理模型。 2）列写原始方程。 利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫 电流和电压定律、能量守恒定律等. 3）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅 在建立状态模型时要求），消去中间变量，建 立适当的输入输出模型或状态空间模型。 4)对模型进行检验.
q0
c i R
微分方程：
d c Ru2 r RC c i dt r
【例10】建立无自恒水箱的微分方程。
解：由于输出流量q2为定值，因此 水箱水位高度的变化与输入流 量成正比
d h C q 1 dt
传递函数：
1 G (s) Cs
积分环节
【例11】建立电枢控制直流电动机的微分方程
第二章
教学重点：
连续系统的数学模型
控制系统微分方程、传递函数、系统结构图。
教学难点：
根据系统工作原理图绘制系统”结构图”。
教学内容：
2.1 概述 2.2 控制系统微分方程的建立 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 控制系统的信号流图 2.6 控制系统的传递函数
2.1 概述
1、控制系统的分析、设计过程
R1 [C1
dU 2 dU 2 d ( R2 i2 U 2 ) C 2 ] R2 C 2 U2 dt dt dt
d 2U 2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1 R2 C 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 U2 2 dt dt dt dt
整理,得微分方程:
提出课题 拟定方案
设计装置
器件组装
试验调试 修改设计
性能ห้องสมุดไป่ตู้试
修改方案
系统设计：根据用户对被控对象性能的要求，设计控 制装置，使被控对象的性能指标满足用户提出的要求. 系统分析：对已经存在的控制系统，分析系统的性能 指标，作出系统性能优劣状况的判断。 系统分析是系统设计的基础.系统设计是系统分析的结 果.
h q 1 h0R0
d h h C q 1 dt R
线性
d h 1 dt 2
G( s)
h R q 1 RCs 1
【例8】建立有延迟的单容水箱的微分方程。
l/v
解：根据物料平衡原理，dt时间内
水箱液体的增加，应与进水量 相等：
q 1 (t ) q 2 (t ) C dh dt
数学模型怎么表示?
4、控制系统数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
复域模型
频域模型
结构图