第五讲 不确定性与VNM效用函数

如果已知消费者的VNM效用函数为u 则消费者直接博彩的期望效用为 50％U（15）＋50％U（5） （委托他人）博彩（期望）收益的效用为 U（10） 注意：（直接）博彩的期望效用和（委托 他人博彩）（期望）收益的效用不同
对于一些消费者，如果（期望）收益（10） 的效用与期望效用相等 例如 50％U（15）＋50%U（5）＝U（50％×15 ＋50％×5 ） 消费者风险态度为风险中性（Risk－ Neutral） 含义： （期望）收益带来的效用和效用 的期望无差异
（四）消费者的风险态度
面对未来的不确定性，消费者所持的态度 （风险态度）不同，最优的消费选择将不 同 对于一个风险厌恶的消费者，要使其与风 险中性的消费者做出相同的选择，通常要 获得更多的效用补偿
一个例子 一个消费者用10元参加一次博彩 该消费者（委托他人博彩）可能以50%的 概率赢5元，也可能以50％的概率亏损5元 （委托他人）博彩的（期望）收益 15×50%＋5×15%＝10
p x 1 p y
的（期望）收益，以1-q的概率可以获得y 上述复合博彩的（期望）收益
q p x 1 p y 1 q y qp x 1 qp y
（三） VNM效用函数
问题：面对两个不同的博彩（如上例）， 如何判断消费者更偏好于其中哪一种博彩？ 消费者的主观心理感受 确定性下的研究思路 引入一个连续的（效用）函数u来刻画消 费者在不确定性下的偏好
引入VNM效用函数的意义 把以往效用函数仅仅是确定选择变量的函 数的情形推广到效用函数既可以是确定的， 也可以是不确定选择变量的函数的情形 我们可以刻画不确定性下消费者的最优选 择行为 通过引入VNM效用函数，消费者的最优选择 由效用最大化推广为VNM效用函数（期望效 用）最大化
如果我们用xi，I＝1,2,3….n表示随机变 量（Random Variable），则不确定性下 消费者的目标函数为 如果xi为离散型，且其概率为pi
连续性公理 如果x》y，且y》z，必存在一个概率p， o《p《1，满足 px＋（1-p）z－y 独立性公理 如果x－y，则
p x 1 p z p y 1 p z
不相等公理 如果q》p，一个消费者与
p x 1 p y
相比，更偏好于
q x 1 q y
本讲的主要内容
不确定性下消费者选择行为的刻画 VNM效用函数 消费者的风险态度的刻画和度量 不同风险态度消费者的确定性等价（不 确定性下消费者选择的目标函数）
（二） 博彩与不确定性下消费者行为的刻画 不确定性：行动的结果总是被置于某种概 率之下 消费者的需求受到所消费产品的价格和消 费者收入的影响 对于消费者无法控制的价格和收入存在不 确定性：如价格的上升或下降、收入的增 加或减少 在经济分析中，通常假设对于每种情形出 现的概率是已知的（先验概率）
EU X

i 1
n
p iU x i ,
p
i 1
n
i
1
如果x为连续型，p（x）为其概率密度函 数 EU X U xpxdx
Remark 确定性环境可以通过以1的概率出现确定 性环境对应的结果wenku.baidu.com以0的概率出现其他 结果刻画 不确定性下对消费者效用的刻画 VNM效用函数是一个更具一般意义的函数
x , 0, Ew x
2

EU W U EW MaxEU w Max Ew
消费者的目标函数简化为 Max ax＋b
现在考察风险规避（爱好）的消费者的目 标函数的等价 假定不确定性使消费者的选择在确定性选 择w的基础上或者增加了s，或者减少了s （s可正可负） s服从期望为0，方差为d2的某一分布 则风险规避（爱好）消费者的目标函数为 EU（w＋s） U为VNM效用函数
对于风险中性的消费者 由于其VNM效用函数（期望效用）与（期望） 收益带来的效用相等 例如，pU（x）＋（1-p）U（y）＝U（px＋ （1-p）y） 给定效用函数单调，最大化VNM期望效用函 数等价于最大化期望收益 风险中性消费者的目标函数为其期望收益 例如， px＋（1-p）y
一个例子 对于一个风险中性的消费者具有单调的 VNM效用函数U w
U（x）为效用函数 A-P风险规避度R（x）
u '' x R x ' u x
如果R（x）《0，效用函数为凸，消费者 为风险爱好 如果R（x）＝0，效用函数为线性，消费 者为风险中性
如果R（x）》0，效用函数为凹，消费者 为风险规避 如果R（x）越大，表示效用函数的凹度 越大，因而消费者越倾向于规避风险 注意：新古典效用函数刻画的是风险规 避的消费者
先验概率：或者是由于经验的积累所形 成的主观判断，或者是由于建立在科学 实验基础上的客观分析 后验概率：通过行为所传递的信号对先 验概率进行贝叶斯修正 先验概率是（理性的）人所共知的 经济分析中概率分布的外生给定
不确定下消费者的行为刻画 （离散型） 消费者以p的概率获得结果x，以1-p的概 率获得结果y 结果：收入、价格变化导致的消费水平的 改变等 消费者在不确定下的行为与博彩的类似性
考虑该消费者通过购买保险获得稳定收益 的情形 例如，对于消费者的一种选择w（如消费 者的个人财富），可能以p的概率因不可 抗力损失L，以1-p的概率完好无损 消费者可以向保险公司支付保险费q，以 希望在灾难发生时获得Q的补偿
该消费者的期望效用为 pU（w－L＋Q－q）＋（1-p）U（w－q） 当L＝Q时（全额补偿） 则上式变为 pU（w－q）＋（1-p）U（w－q）＝U（w － q） 则U（w－q）表示即使在不确定性下消费 者可获得的（确定性的）效用
对于一些消费者，如果（期望）收益的效 用大于期望效用 例如 U（50％×15＋50％×5 ）》 50％U（15） ＋50%U（5） 消费者风险态度为风险规避（Risk－ averse） 含义：消费者更偏好期望收益（希望委托 他人博彩，而不愿直接参与博彩）
风险规避的消费者其效用函数的可能形式
效用
U（50%×15＋50%×5）
风险爱好的消费者其效用函数的可能形式
效用 效用函数 50%U（5）＋50%U（15）
U（50％×5 ＋50％×15）
消费量
直觉：消费者的风险态度与其效用函数 的形式有关 特别地，与效用函数的凹凸性有关 函数凹凸性在数学上与二阶导数有关 一个猜测：消费者的风险态度与其效用 函数的二阶导数有关
Arrow－Pratt绝对风险规避度（Measure of Absolute Risk Averse） Arrow（1970），Pratt（1964） 利用效用函数的形式（二阶导数）来判定 消费者的风险态度 消费者行为的一致性 除以效用函数的一阶导数，排除效用函数 之外的参数的影响
效用函数 50%U（15）＋50％U（5）
消费量
对于一些消费者，如果（期望）收益的效 用小于期望效用 例如 U（50％×15＋50％×5 ） 《 50％U（15） ＋50%U（5） 消费者风险态度为风险爱好（Risk－ loving） 含义：消费者更偏好不确定性收益（希望 直接参与博彩，而不愿委托他人博彩）
2 Eu x E u x u ' x u ' ' x 2 E 2 u x u ' ' x 2 E 2 qu ' x u ' ' x 2 E 2 u ' ' x 2 q Rx 2 u ' x 2
保险公司有激励提供保险
Eux u x q x 为随机收入（具有不确定性的收
入） X－q为其确定性等价（Certainty Equivalence） 上式含义：消费者从随机收入中得到的 期望效用与以购买保险的方式获得的确 定性等价收入中得到的效用相同
问题：消费者支付的保费q？ 把上式两边在x点按Taylor级数展开 函数的局部逼近 u x q u x qu ' x
博彩（Lotteries） 一个博彩者或者以p概率获得某项大奖， 或者以1-p的概率一无所获 博彩（期望）收益的考察 p x 1 p y
复合博彩（Compound Lotteries） 一次博彩的（期望）收益又成为复合博彩 下可能出现的结果之一 一个复合博彩的例子 一个博彩者以q的概率可以获得
上式与不购买保险时消费者的期望效用 相等
Eu w s u w q
一般形式
0,
Eux u x q
2

Remark 保险公司提供全额补偿的激励 假设有n个消费者购买保险 当且仅当
pq
i 1
n
i
Qi 1 p qi 0
Remark VNM效用函数可能不是唯一的 只有满足仿射（Affine）条件时，VNM效 用函数才是唯一的 仿射函数 V（）＝aU（）＋c 一个例子
V p x 1 p y aU p x 1 p y c a pu x 1 p U y c paU x c 1 p aU y c pV x 1 p V y
第五讲 不确定性与VNM效用函数
中国人民大学财政金融学院 郑志刚
（一） 引言
从确定性环境到不确定性环境 问题：新古典微观经济学如何对（未来） 存在不确定性的消费者选择行为进行刻画？ VNM效用函数 Von Neumann and O. Morgenstein： “Theory of Games and Economic Behavior”（1944） 在不确定性条件下，消费者的决策目标为 期望效用最大化
u p x 1 p y pux 1 p u y
u为VNM效用函数 含义：一个博彩的VNM效用可以用博彩可 能出现的结果的VNM效用的期望表示
VNM效用函数存在需要满足的公理 次序完全公理 对于两个不同的结果x，y，消费者的偏好 序或者是x》y，或者是y》x，或者是x－y 如果x》y，且y》z，则有x》z 对于不同的结果，消费者的偏好具有一致 性（完备性和传递性）
作业1： 已知消费者有如下的VNM效用函数，计算 A-P绝对风险规避度，并判断该消费者的 风险态度 （1） U x e cx , c 0
（ 2） U
x x x , 0
2
（五）不同风险态度消费者的确定性等价 消费者的风险态度与消费者的VNM效用函 数有关 消费者的风险态度将影响消费者的最优选 择 研究内容：考察不同风险态度下消费者的 目标函数的（确定性）等价
面对未来的不确定性，消费者所持的风 险态度不同，最优的消费选择将不同 对于一个风险厌恶的消费者，要使其与 风险中性的消费者做出相同的选择，通 常要获得更多的效用补偿
考察消费者不确定性下的期望效用和通 过购买保险而获得的稳定效用二者的一 致性 不确定性下的收益的确定性等价 在VNM效用函数单调的假设下，将不确定 性下的消费者选择的目标函数转化为确 定性等价
一个例子 如果存在一个效用函数u 我们可以由（数量上的判断） u p x 1 p y uq w 1 q z
来作出消费者更偏好 p x 1 p y 的判断
Von Neumann and O. Morgenstein（1944） 当博彩满足一定的公理时，存在效用函数 u，满足