函数型不等式的解法
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当 x= 时， <loga
解析：经分析 0<a<1,结合函数图象有
,解得
y 4 3 2 1
-4 -3 -2 --11O -2 -3 -4
1 2 3 4x
点评：画画图象有助于解题哟！！！
四．分类讨论
例
4．（2017
新课标Ⅲ）设函数
f
(x)
x 1,
2x
,
x
x ≤0 ，则满足 0
f
(x)
f
(x
1) 2
2. [2013 年Ⅰ12]已知函数 f(x)=
,若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是___
3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数 a 满足 f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则 a 的取值范围是_____
2
所以 f(x)>f(2x-1)等价于|x|>|2x-1|,解得
.所以 x 的取值范围是( )
点评：借助函数图象与性质(单调性)，利用单调性的定义，去掉对应关系 f 来解 不等式，在解题过程中作出图象更直观，有助于辅助分析。
三．图象法 例 3.[2012 年Ⅰ11]当 0<x≤12时， <logax，则 a 的取值范围是___ 分析：a>1 时， >logax 恒成立，不符合题意，所以 0<a<1;
解得
(3)
, 原不等式等价于
解得
y
所以 f (x) f (x 1) 1 的解集为 2
点评：对上面解法分析，第(2)(3)两种情况的解集 就是讨论的范围，说明(2)(3)两种情况下原不等式 是恒成立的。我们也可以结合 f(x)的图象对不等式 进行分析求解。
结合图形可知 x>0 时不等式成立，x≤0 时，有
函数型不等式的解法
在数学学习中“等”与“不等”是建立各种量之间关系的桥梁，在函数中，
常常利用函数的性质（单调性）来解不等式。下面举例从三个角度进行简单的
分析。
一．直接法
例 1.[2014 年 I15]设函数 f(x)=
;则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是
______.
yபைடு நூலகம்
解析：由
或
解得 。
例
2．(1)(2018
全国卷Ⅰ)设函数
f
(x)
2
x
,
x
≤
0
，则满足
f (x 1)
f (2x) 的 x
的
1, x 0
取值范围是（ ）
A． (, 1] B． (0, )
C． (1,0)
D． (, 0)
(2)[2015 年Ⅱ12]设函数 f(x)=ln(1+|x|)围是( )
A．( )
B．(-∞ )∪(1,+∞)
1的
x
的取值范围是____． 分析：由于这里 f (x) f (x 1) 1 有常数 1 的存在，利用单调性去 f 不是很合适，
2 所以根据分段函数的处理方式讨论：根据 x， 与 0 的大小关系进行讨论，也
就是 x 与 0、 的大小关系讨论。
解析：(1)
，原不等式等价于
解得
(2)
, 原不等式等价于
所以使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是
.
O
x
你能否作出 f(x)的图象，观察图象得出 f(x)≤2 的解集了 由图象可知 f(x)是 R 上的增函数，有 f(8)=2,
所以使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是
点评：在解不等式的过程中，应用到了基本初等函数 y=
的单调性,说明
解决函数类不等式问题一般都需要研究函数的单调性。 二．图像与性质法
C．( ) D．(-∞ )∪( ,+∞)
，则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值范
y
解析：（1）由基本初等图象与性质可知 f(x)在（ ]上递减，
O
x
在（0， ）恒为 1.
所以 f(x+1)<f(2x)等价于
,解得 x<0
（2）因为 f(-x)=ln(1+|x|)- =f(x),所以 f(x)是偶函数，又 y=ln(1+|x|)与 y=- 都 在[0，+∞)上递增。
3 2 1
-3 -2 -1 O -1 -2 -3
，解得
，所以 f (x) f (x 1) 1 的解集为 2
1 2 3x
通过以上几题的分析研究，我们在研究函数类不等式的时候一定要作出函数 的图象，并研究函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性等）。利用图象与性 质去解决函数不等式问题
巩固反馈 1. [2013 年Ⅱ12]若存在正数 x 使 2x(x-a)＜1 成立，则 a 的取值范围是_____
解析：经分析 0<a<1,结合函数图象有
,解得
y 4 3 2 1
-4 -3 -2 --11O -2 -3 -4
1 2 3 4x
点评：画画图象有助于解题哟！！！
四．分类讨论
例
4．（2017
新课标Ⅲ）设函数
f
(x)
x 1,
2x
,
x
x ≤0 ，则满足 0
f
(x)
f
(x
1) 2
2. [2013 年Ⅰ12]已知函数 f(x)=
,若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是___
3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数 a 满足 f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则 a 的取值范围是_____
2
所以 f(x)>f(2x-1)等价于|x|>|2x-1|,解得
.所以 x 的取值范围是( )
点评：借助函数图象与性质(单调性)，利用单调性的定义，去掉对应关系 f 来解 不等式，在解题过程中作出图象更直观，有助于辅助分析。
三．图象法 例 3.[2012 年Ⅰ11]当 0<x≤12时， <logax，则 a 的取值范围是___ 分析：a>1 时， >logax 恒成立，不符合题意，所以 0<a<1;
解得
(3)
, 原不等式等价于
解得
y
所以 f (x) f (x 1) 1 的解集为 2
点评：对上面解法分析，第(2)(3)两种情况的解集 就是讨论的范围，说明(2)(3)两种情况下原不等式 是恒成立的。我们也可以结合 f(x)的图象对不等式 进行分析求解。
结合图形可知 x>0 时不等式成立，x≤0 时，有
函数型不等式的解法
在数学学习中“等”与“不等”是建立各种量之间关系的桥梁，在函数中，
常常利用函数的性质（单调性）来解不等式。下面举例从三个角度进行简单的
分析。
一．直接法
例 1.[2014 年 I15]设函数 f(x)=
;则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是
______.
yபைடு நூலகம்
解析：由
或
解得 。
例
2．(1)(2018
全国卷Ⅰ)设函数
f
(x)
2
x
,
x
≤
0
，则满足
f (x 1)
f (2x) 的 x
的
1, x 0
取值范围是（ ）
A． (, 1] B． (0, )
C． (1,0)
D． (, 0)
(2)[2015 年Ⅱ12]设函数 f(x)=ln(1+|x|)围是( )
A．( )
B．(-∞ )∪(1,+∞)
1的
x
的取值范围是____． 分析：由于这里 f (x) f (x 1) 1 有常数 1 的存在，利用单调性去 f 不是很合适，
2 所以根据分段函数的处理方式讨论：根据 x， 与 0 的大小关系进行讨论，也
就是 x 与 0、 的大小关系讨论。
解析：(1)
，原不等式等价于
解得
(2)
, 原不等式等价于
所以使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是
.
O
x
你能否作出 f(x)的图象，观察图象得出 f(x)≤2 的解集了 由图象可知 f(x)是 R 上的增函数，有 f(8)=2,
所以使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是
点评：在解不等式的过程中，应用到了基本初等函数 y=
的单调性,说明
解决函数类不等式问题一般都需要研究函数的单调性。 二．图像与性质法
C．( ) D．(-∞ )∪( ,+∞)
，则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值范
y
解析：（1）由基本初等图象与性质可知 f(x)在（ ]上递减，
O
x
在（0， ）恒为 1.
所以 f(x+1)<f(2x)等价于
,解得 x<0
（2）因为 f(-x)=ln(1+|x|)- =f(x),所以 f(x)是偶函数，又 y=ln(1+|x|)与 y=- 都 在[0，+∞)上递增。
3 2 1
-3 -2 -1 O -1 -2 -3
，解得
，所以 f (x) f (x 1) 1 的解集为 2
1 2 3x
通过以上几题的分析研究，我们在研究函数类不等式的时候一定要作出函数 的图象，并研究函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性等）。利用图象与性 质去解决函数不等式问题
巩固反馈 1. [2013 年Ⅱ12]若存在正数 x 使 2x(x-a)＜1 成立，则 a 的取值范围是_____