南理工高数(I)试题 答案
知道网课《高等工程数学 I(南京理工大学)》课后章节测试答案
第一章测试
1
【单选题】(2分)
有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是
A.
2强于1
B.
1强于2
C.
无法比较
D.
等价
2
【单选题】(2分)
赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？
A.
不变性
B.
可加性
C.
完备性
D.
非负性
3
【判断题】(2分)
标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式
A.
错
B.
对
4
【判断题】(2分)
在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系
A.
对
B.
错
5
【判断题】(2分)
矩阵的F范数不满足酉不变性
A.
对
B.
错
6
【单选题】(2分)
与任何向量范数相容的矩阵范数是？
A.
F范数
B.
极大列范数
C.
算子范数
D.
极大行范数
7
【单选题】(2分)
正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致
A.
算子范数
B.
极大行范数
C.
极大列范数
D.
矩阵2范数
8
【单选题】(2分)
矩阵收敛，则该矩阵的谱半径
A.
无从判断
B.
大于1
C.
小于1
D.
等于1
9
【单选题】(2分)
矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径
A.
大于1
B.
等于1
C.
无从判断
D.
小于1。
华南理工大学高数习题册答案汇总
第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+； （2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是 全平面 ；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12； （3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =， 证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =， 证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要 条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦； （6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在， 故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； （2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--； （3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂； 解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂； 证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--； （2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23； （6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变 解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩； （4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-； （5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩， 法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。
南京理工大学高数考试题
期中高等数学测验一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 22x f x f y +=，则___________________=dxdy2 已知x x x y )1(+=,则___________________=dxdy。
3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6πθ=处的切线方程____________.4 x x y 2sin =则)(n y=__________________________.5 已知02])2([522lim=-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ）1求 xx x x e sin 1)23(lim +-→ 的极限。
2 求函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+≤≤-=21,21121,ln 2)(x xx x x f 的导数。
3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项）4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx yd 。
5 222,1)1ln(dx yd arctgty t x 求⎩⎨⎧-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)1|(||,1|);1|(|,2cos )(x x x xx f π的间断点，并判断其类型。
8 证明方程0132=---x x e x有且仅有三个实根。
三 （8分）设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0;0,)()(x x xe x g xf x其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。
（1）求)('x f ; （2）讨论)('x f 在),(+∞-∞上的连续性。
四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明A nnm n n n a a a =++∞→ 21lim。
南京理工大学高等数学历年期末试卷
2009级（下）A 卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。
2. ),(y x z z =由方程ln x z z y =所确定，则yz∂∂=______________ 。
3. 改变积分顺序=⎰⎰-122)d (d y yx y x,f y _________ _。
4. 若级数1()1n n nu n ∞=++∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。
5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分222()d Lx y s +⎰=_______。
6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。
7 设222:1x y z Ω++≤，则3(2)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰= ( ) A 0 B 443π+ C 843π+ D 83π 8. 下列级数中收敛的是( )A 23112n n n n ∞=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞=+112cos n n n π9. 设∑是半球面2222a z y x =++(0z ≥)，则⎰⎰∑++S z y x d 222的值为( )A 34a π B 32a π C 32a -π D 34a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2xx y +=x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )A x C x C x x +++e e 21B x xC x C x x +++++)e 1()e (21 C x C C x x +++)e 1(e 21D x x x C x C e )e 1(21++++二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。
南理工高等数学上第6章定积分应用61课件
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等．
二、平面图形的面积
直角坐标系情形
y y f (x)
y
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区 o
一、微元法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
oa
b
A a f ( x)dx
y f (x)
bx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成n 个长度为xi 的小区间，
相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr2 . 3
2
2
2
例 10 求星形线 x 3 y 3 a 3(a 0) 绕x 轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
南京理工大学2008级高数考题
高等数学〔Ⅱ〕期末自测题参考答案〔选自南京理工大学2008级高数考题〕一、填空题〔每题3分，共30分〕)2,1,0(),2,1,1(-=-=b a，则=⨯b a =--210211kj i )1,2,0(-- . )1,1,1(到平面014263=+-+z y x 的距离为 3.)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为 04573=-+-z y x .)2,(2y e x xy f z +=，则=∂∂xz212f f y '+' . 2,3,4234t z t y t x ===在相应于1=t 处的法平面方程为0)21()31()41(=-+-+-z y x .dy y x f dx x⎰⎰11),(的积分次序为dy y x f dy y⎰⎰1),( .∑：)10(22≤≤+=z y x z ，则⎰⎰∑=zdS dxdy y x y x 212222⋅+⎰⎰≤+π322=. k xy z j zx y i yz x A )()()(222-+-+-=，则=A div =∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P )(2z y x ++. )(x f 以π2为周期，且)()(ππ≤<-=x x x f ，其Fourier 级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=2b =⎰ππ02sin 2xdx x 1- .x x f +=21)(的麦克劳林级数为 nn nn x ∑∞=-02)1(21 . 二、〔8分〕求函数1),(22--+++=y x y xy x y x f 的极值，并指出是极大值还是极小值. 解： 12),(++=y x y x f x ， 12),(-+=x y y x f y ， 令 ,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 即⎩⎨⎧=-+=++012012x y y x ，得驻点)1,1(-.由于 2),(==y x f A xx ， 1),(==y x f B xy ， 2),(==y x f C yy ，且03221)(112<-=⨯-=-=-=y x AC B ，02>=A ,则)1,1(-为极小值点，极小值为2)1,1(-=-f .三、〔8分〕求级数nn xn ∑∞=+0)1(的收敛域及它的和函数.解：由于 1|1|lim ||lim 1=+=∞→+∞→n na a n n n n ，则1=R ，当1±=x 时，级数n n n )1()1(0±+∑∞=均发散，所以收敛域为)1,1(-.设=)(x s n n x n ∑∞=+0)1(，则xxx dt t n dt t s n n xnn x-==+=∑⎰∑⎰∞=+∞=1])1[()(010， 于是20)1(11)()(x x x dt t s dx d t s x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰. 四、〔8分〕计算dy y xy y x dx y xy x L)33()35(222324+-+-+⎰，其中L 是抛物线2x y =上自点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：32435),(y xy x y x P -+=，22233),(y xy y x y x Q +-=在xoy 面偏导数连续，且236y xy xQ y P -=∂∂=∂∂， 则曲线积分与路径无关，取折线段)1,1()0,1()0,0(→→，则dy y xy y x dx y xy x L)33()35(222324+-+-+⎰dy y y y dx x x ⎰⎰+⋅⨯-⋅⨯+-⋅+=122232214)1313()0035(611)31123(1=+-+=.五、〔8分〕计算曲面积分dxdy y x dzdx x z dydz z y x I )()()(-+-+-=⎰⎰∑，其中∑是由柱面122=+y x ，平面3,0==z z 所围立体外表的外侧.解：y x z y x R x z z y x Q z y x z y x P -=-=-=),,(,),,(),(),,(在柱面122=+y x ，平面3,0==z z 所围立体Ω上偏导数连续，则由高斯公式有dxdy y x dzdx x z dydz z y x I )()()(-+-+-=⎰⎰∑dv z y dv z Ry Q x P ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=∂∂+∂∂+∂∂=)()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=dv z dv y 〔第一个积分为0，想想为什么？〕ππ291030230-=⋅-=-=⎰⎰⎰⎰dz z dxdy dz z zD .六、〔8分〕求以下方程的通解： 1.xy y y x ln=' 解：x y y y x ln='x y x y y ln ='⇒，方程为齐次微分方程；设xyu =，则u x u y '+='，代入得xdxu u du =-)1(ln ，两端积分dx x u d u ⎰⎰=--1)1(ln 1ln 1即 C x u ln ln )1ln(ln +=- 或 1ln +=Cx u 将xy u =代回得 1+=Cx e x y 2.xe y y y 234=+'+''.解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程0342=++r r 的特征根为3,121-=-=r r ；x e x f 2)(=中2=λ不是特征方程的根，则特解形式为xAe y 2*=，代入得151=A ，在由解的结构得方程的通解为 x x xe e C e C y 2321151++=--七、〔10分〕设2nn n u u v +=，2nn n u u w -=，证明：∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv收敛；证：由于∑∞=1n n u 绝对收敛，即||1∑∞=n n u 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛，又n n n u u v 21||21+=，由性质知∑∞=1n nv收敛.∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nw发散.证：〔反证〕假设∑∞=1n n w 收敛，已知∑∞=1n n u 收敛，由2nn n u u w -=，即nn n u w u +=2||及性质知||1∑∞=n nu收敛，即∑∞=1n n u ∑∞=1n nw发散.八、〔10分〕一均匀物体Ω是由抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成.Ω的体积；解：Ω在xoy 面投影域1:22≤+y x D ，则所围体积为 dxdy y xV D])(1[22⎰⎰+-=dr r r d ⎰⎰-=πθ2012)1(2)4121(2ππ=-=. Ω的质心.解：由于Ω是均匀物体及几何体关于yoz 面、xoz 面对称，则质心坐标应为),0,0(z ； 而3223101202====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩππρθρρρπVdzz dr r d dvdvz z r ， 所以质心坐标为)32,0,0(. 九、〔10分〕设{}]1[,0,0,2|),(2222y x y x y x y x D ++≥≥≤+=表示不超过221y x ++的最大整数，计算二重积分dxdy y x xy D⎰⎰++]1[22.解：设 }0,0,1|),{(221≥≥<+=y x y x y x D ，}0,0,21|),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D ,则21D D D +=,且当1),(D y x ∈时，1]1[22=++y x ，当2),(D y x ∈时，2]1[22=++y x ，所以dxdy y x xy D⎰⎰++]1[22 =+++⎰⎰dxdy y xxy D 1]1[22dxdy y x xy D ⎰⎰++2]1[22⎰⎰⎰⎰+=212D D dxdy xy dxdy xy⎰⎰⎰⎰+=4213201320cos sin 2cos sin dr r d dr r d θθθθθθππ8381281=⨯+=。
华南理工大学高数同步作业册(含答案)
作业1 1、填空题：1）()3arcsin -=x y 的定义域为[]4,2；2）x xy -+=31arctan的定义域为()]3,0(0,⋃∞-； 3）设()()x e x x x f =+=ϕ,12，则()[]=x f ϕ12+x e ；4）x y 2sin =的周期为Zn n ∈,π； 5）()2ln 1++=x y 的反函数为2e 1--x 。
2、设对任意实数y x ,，均有()()y x y f x f +=+，且()00=f ，证明：()()xy y f x f =。
证明：取y x =则有()()22x x fx x f =⇒=。
()()y x y f x f +=+两边平方得()()()()222222y xy x y f y f x f x f ++=++()()xy y f x f =3、判定下列函数的奇偶性 1）()()1log 22-++=a x x x f a解：因为()()1log 1log 22222-++=-++-=-ax x a a x x x f aa()()x f a x x a -=++-=22log 1所以此函数为奇函数。
2）()⎩⎨⎧≤<-<≤-+=ππππx x x x x f 00解：当0<≤-x π时，π≤-<x 0，()()x f x x f -=--=-π；当π≤<x 0时，0<-≤-x π，()()x f x x f -=+-=-π； 所以此函数为奇函数。
4、设()x f 为定义在()l l ,-内的奇函数，若()x f 在()l ,0内单调增加，证明：()x f 在()0,l -内也点调增加。
证明：对于任给的()0,,21l x x -∈，且21x x <，我们有l x x <-<-<120，因为()x f 在()l ,0内单调增加，所以()()12x f x f -<-。
(word完整版)南京理工大学高等数学历年期末试卷
2009级（下）A 卷一：填空与选择题(每空3分，共30分)1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。
2. ),(y x z z =由方程ln x z z y =所确定，则yz∂∂=______________ 。
3. 改变积分顺序=⎰⎰-122)d (d y yx y x,f y _________ _。
4. 若级数1()1n n nu n ∞=++∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。
5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分222()d Lxy s +⎰=_______。
6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。
7 设222:1x y z Ω++≤，则3(2)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰= ( )A 0B 443π+C 843π+D 83π 8. 下列级数中收敛的是( )A 23112n n n n ∞=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞=+112cos n n n π9. 设∑是半球面2222a z y x =++(0z ≥)，则⎰⎰∑++S z y x d 222的值为( )A 34a π B 32a π C 32a -π D 34a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2xx y +=x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )A x C x C x x +++e e 21B x xC x C x x +++++)e 1()e (21 C x C C x x +++)e 1(e 21D x x x C x C e )e 1(21++++二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。
华南理工大学高数上册答案
A 第一章 函数与极限作业1 函 数1．填空题 （1）函数31arcsin11)(2+−−=x x x f 的定义域为]2,1()1,4[∪−−； （2）没x x x x f ln ln 1ln 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，则=)(x f t te t t +−+−1111； （3）设2()e x f x =，x x f 31)]([−=ϕ，且0)(≥x ϕ，则=)(x ϕ()x 31ln −，（4）函数3sin 22cos xx y+=的周期为π12；（5）函数)2ln(1++=x y的反函数=y 21−−x e ；（6）将函数|2|2x x y −+=用分段函数表示为=y ⎩⎨⎧<+≥−2,22,23x x x x ． 2．设函数)(x f y=的定义域为［0,2］,求下列函数的定义域：（1）)(2x f y=；解：由202≤≤x ，知该函数的定义域为]2,2[− （2）)()(a x f a x f y−++=，（0>a ）；解：由⎩⎨⎧≤−≤≤+≤2020a x a x ，知⎩⎨⎧+≤≤−≤≤−ax a ax a 22，从而该函数的定义域：当10≤<a 时为]2,[a a −，否则为空集（3）)(sgn x f y =, 其中⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=0,10,00,1sgn x x x x ．解：由2sgn 0≤≤x ，知该函数的定义域为),0[+∞ 3．判定下列函数的奇偶性： （1）)(log )(22a x x x f a ++=；解：由()()()x f ax x a a x x x f a a −=++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−=−2log log 22222，知该函数非奇非偶 （2）3cos ()|sin |e x f x x x =．解：由()()()()x f e x x e x x x f x x ==−−=−−cos 3cos 3sin sin ，知该函数为偶4．设⎩⎨⎧>++≤−=0),1ln(20,sin 2)(x x x x x f , ⎩⎨⎧≥−<=0,0,)(2x x x x x ϕ, 求)]([x f ϕ．解：()⎩⎨⎧<++≥+=⎩⎨⎧>++≤−=0,1ln 20,sin 20)]([)]},([1ln{20)]([)],(sin[2)]([2x x x x x x x x x f ϕϕϕϕϕ5．没⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤−−<−=2,121021,1,21)(32x x x x x x x f ，求)(x f 的反函数． 解：因为，当1−<x 时21,12,12122yx y x x y −−=−=−<−= 当21≤≤−x 时33],8,1[y x x y =−∈=；当2>x 时1012,81210+=>−=y x x y 故反函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤−−<−−==8,101281,1,213x x x x x xy6．证明函数x x f 31)(−=在其定义域内无界．证明：由无界的定义，D x M ∈∃>∀0,0，使()M x x f >−=0031 因为133113000+≤−≤−x x x ，只要M x >−130，即310+>M x 因而只要取320+=M x 即有()M M x f =−+>13130 从而x x f 31)(−=在其定义域R 内无界作业2 数列的极限1． 用数列极限的“N −ε”定义证明下列极限：（1）nn n n −→∞224lim =4；证明：因为n n n n n x n 81444422<−=−−=−0>∀ε，要ε<−4n x ，只要εε8,8><n n取⎦⎤⎢⎣⎡+=ε82N ，则当N n >时81n N ε≥+>从而ε<−4n x ，由定义nn n n −→∞224lim（2）()n n n −+→∞1lim=0；证明：因为0n x −==<0>∀ε，要0n x ε−<取211N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当N n >时211n N ε≥+>从而0n x ε−<，由定义lim0n →∞−=（3）nn n 3lim 2→∞=0．证明：因为，当6n >时，()()()()3231121212222!3!2nn n n n n n n −−−+=+⋅+++>L 2203n n n x n−=<0>∀ε，要0n x ε−<，只要22,n n εε<>，取26N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当N n >时21n N ε≥+>，从而0n x ε−<，由定义2lim 03n n n →∞=2．证明：若A u n n =→∞lim ，则||||lim A u n n =→∞，并举例说明其逆命题不成立．证明：由A u n n =→∞lim知0>∀ε，存在0N >，当N n >时n u A ε−<，而n n u A u A −≤−，从而n u A ε−<，由定义||||lim A u n n =→∞逆命题不成立，例如：()1nn u =−，虽然lim ||1n n u →∞=，但lim n n u →∞不存在3．设数列}{n u 有界，而0lim =∞→n n v ，求证：0lim =→∞n n n v u ．证：{}n u Q 有界，所以存在0,n M u M >≤, 又0lim=∞→n n v ，0>∀ε，对于1Mεε=存在0N >，当N n >时1n v ε<，从而n n n n u v u v MMεε=<=，由定义0lim =→∞n n n v u4．设数列}{n u ，}{n v 有相同的极限为A ，求证：若． n n n v u x −=，则0lim=→∞n n x ．证：由已知0>∀ε，对于12εε=存在10N >，当1n N >时2n u ε<，存在20N >，当2n N >时2n v ε<，取12max{,}N N N =，则当N n >时，()0n n n n n x u A v A u A v A ε−=−−−≤−+−<，由定义0lim =→∞n n x5．若0lim>=∞→A u n n ，（1）证明存在0>N ，当N n >时，有02>>Au n ； （2）用数列定义证明1lim1=+∞→nn n u u ． 证：（1）由已知，对于02Aε=>存在0N >，当n N >时2n A u A −<即3,2222n n A A A Au A u −<−<<<，从而当N n >时，有02>>A u n（2）由（1）10N ∃>，当1n N >时，有120,02n n A u u A>><<， 从而()111121n n n n n n n n n n u u u A u A u u A u A u u u A++++−−+−−=≤<−+−又0ε∀>，对于14A εε=存在20N >，当2n N >时4n A u A ε−< 因此12124n n u A u A εε+−<⋅⋅=，由定义1lim 1=+∞→nn n u u作业3 函数的极限1． 根据函数极限定义证明： （1）2)54(lim 2=−+++∞→x x x x ；证：不妨设0x >=0ε∀>，要ε<，只要11,x xεε<>取10X ε=>，当x X >ε<由定义2)54(lim 2=−+++∞→x x x x（2）111lim2=−→x x ．证：不妨设11312,1,22221x x x −<<−<<−， 这时1212111x x x x −−=<−−− 0ε∀>，要111x ε−<−，只要12x ε−<，取1min{,}022εδ=>，当01x δ<−<时一定有111x ε−<−，由定义111lim2=−→x x 2． 已知1)(lim =→x f ax ，证明（1）存在01>δ，使得当1||0δ<−<a x 时，65)(>x f ； （2） 对任意取定的)1,0(∈K，存在2δ，使得当2||0δ<−<a x 时，K x f >)(．证：由1)(lim =→x f ax ，（1）对16ε=存在01>δ，使得当1||0δ<−<a x 时，()1151,()1666f x f x −<>−= (2)()0,1,10,K K ∀∈−>对10K ε=−>存在20δ>，使得当20||x a δ<−<时，()()11,()11fx K f x K K −<−>−−=3．（1）设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<+=2,132,02,12)(x x x x x x f ，研究)(x f 在2=x 处的左极限、右极限及当2→x 时的极限；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧≥−<<≤−+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，研究极限)(lim 1x f x →，)(lim 2x f x →，)(lim 3x f x →是否存在，若存在将它求出来．解：（1）()()()()20202020lim lim 215,lim lim 315x x x x f x x f x x →−→−→+→+=+==−=从而()2lim 5x f x →=（2）()()()21010lim 1,101230x f f x f →++==−=+−=，故()1lim x f x →不存在，()()()2202,202222,lim 2x f f f x →−=+=⋅−==，()3lim 2324x f x →=⋅−=4． 设A x f ax =→)(lim，证明存在a 的去心邻域o0U (,)a δ，使得)(x f 在该邻域内是有界的． 证：lim ()x af x A →=Q，由定义对01,0εδ=∃>，当o0U (,)x a δ∈时，()()()1,1f x A f x A f x A −≤−<<+，从而)(x f 在该邻域内是有界的．5． 如果当0x x →时，)(x f 的极限存在．证明此极限值唯一．证：假设极限不惟一，则至少存在两个数A B ≠，使()()0lim ,lim x x x x f x A f x B →→==同时成立，由定义10,0εδ∀>∃>，当o01U (,)x x δ∈时()f x A ε−<，且20δ∃>，当o02U (,)x x δ∈时()f x B ε−<。
高等数学试题(I)A卷评分标准复制
南京理工大学课程考试答案及评分标准课程号-课序号： 11223301 课程名称：高等数学（I ） 学分： 5 考试方式 闭卷笔试 满分分值： 80 考试时间： 120分钟一 、填空题（每小题3分，共15分） 1. 23-=a , 此题为基本题，考察等价无穷小。
2. ()()a F b F -, 此题为基本题，考察牛顿莱布尼慈公式。
3. 6a , 此题为基本题，考察参数方程形式下曲线弧长的计算。
4. ()()1012k n x n k k x o x +=-+∑ ()0→x , 此题为基本题，考察泰勒公式。
5. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22ln ,22， 此题为基本题，考察曲率公式及极值求法。
二、求极限（每小题5分，共15分）1，2题为基本题，考察未定式函数的极限；3题为提高题，考察利用定积分定义求数列极限。
1. 21sin 212sin 22cos lim 2cot )2(lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-→→x x x x x x x x πππππ ------5分 2.x dt e e xt t x cos 1)(lim 00--⎰-→00lim lim 2sin cos x x x x x x e e e e x x--→→-+=== ------5分 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n 312111lim 3ln 1120=+=⎰dx x 。
------5分 三．求导计算（8分）此题为基本题，主要考察参数方程确定函数的二阶导数。
()()t t t t t y t t x sin cos 2,2-='=' ------3分 t t t dxdy sin cos 2-=∴ ------5分t t t dxy d sin 3cos 22-=。
------8分 四、计算积分（每小题4分，共8分）此题为基本题，考察积分的计算 1. ⎰-+dx x x x 221 令22-+=x x t ---------------------2分 则 ⎰-+dx x x x 221=c x x x x x x +-+--+--++22arctan 2221221ln --------------------4分 2. 22(cos )xx x e dx -⋅+⎰22223--+==⎰e e dx xe x 。
(word完整版)南京理工大学10份高等数学I试题
南京理工大学2002级高等数学I 试题（A 卷）一．填空题（每小题2分，共26分） 1．设)12(sin 2+=x x y，则'y = 。
2. 已知0)(2sin lim30=+>-x x xf x x , 则20)(2lim xx f x +>-= 。
3. 设)(x f 在[1, 3]上具有连续导数，则=+⎰dx x f x f 312)]([1)('________。
5. 当1→x 时，已知1-x x 和k x a )1(-是等价无穷小，则a =_____，.___=k6、(1 , 3 )为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =____，b=______。
7. 0=x 是函数xxexsin 111++的_________间断点。
8. 已知61)(2--=x x x f , 则)0()100(f =___________.9. 设)(x y y =是由方程202=+⎰x xyt ye dt e 所确定的隐函数，则0|=x dxdy=_________. 12. 曲线x y ln =上曲率最大的点为__________________。
13. 极限nn nn !lim ∞>-的结果为_________。
.二、计算题(每小题4分，共24分) 1.⎰+-→x x dt tt xx sin 030)1ln(sin lim2xxx x e sin 1023lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+->- 3.xdx x 2cos 2⎰4dx x ⎰+cos 2115.dx e x ⎰+∞∞--|| 6.⎰+31221xxdx三、(6分)求xx ey -=2在]2,0[上的最大与最小值，并证明：2241222e dx eexx ≤≤⎰--。
五、(6分)已知曲线)(x y y =的参数方程⎩⎨⎧++==)41ln(2arctan 2t t y t x ，求22dx yd dx dy ，。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题
南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。
解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。
南理工高数(I)试题 答案
1设 ,则 ____________.
2曲线 上的拐点为_______________.
3设函数 ,在 处连续,则 ______________.
4若 的一个原函数是 ,则 ___________.
5 _________.
二判断题(每题1分,共5分)判断下列各命题是否正确,不正确请给出反例,对错误命题,若举不出反例,则该题不得分.
5假设 存在,则 收敛.
A正确B错误;反例:__________________
三(6分)设 可导,且满足方程 ,试求函数 .
四求极限(每小题6分,共12分)
1 ; 2 .
五求导计算(8分)设 由 确定,求 .
六计算积分(每小题5分,共10分)
1 ; 2 .
七(8分)设 , (1)证明 ; (2)求 的最大值和最小值.
1. , 2. , 3. , 4. , 5. ，
二、判断题（每小题1分，共5分）
1. B, , 2. A, 3. B, ,
4. B, , 5. B， ，但是， 发散。
三．计算题（6分）解：令 ,则 ，
所以 ，由已知得： ，对上式求导得：
，即： -
所以 ，再由 得： 。
四、计算题（每小题6分，共12分）
1设 在 内可导,则 在 内无界的充要条件是 在 内无界.
A正确B错误;反例:__________________
2连续的奇函数的任意原函数都是偶函数.
A正确B错误;反例:__________________
3设 在 内有定义,且对任意的 ,有 ,则 在 内是连续的.
A正确B错误;反例:__________________
解：设切点 ，切线方程： ，
(word版)江苏省高考理科数学试题及答案,文档
数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式： V圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.圆锥的体积公式：V圆锥1 Sh S 是圆锥的底面积，h 为高 .3，其中一、填空题：本大题共 14个小题,每题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.集合A{1,2,3,6},B{x|2x 3}, 那么AIB=________▲_______.2.复数z(12i)(3 i),其中i 为虚数单位，那么 z 的实部是________▲________.2 23.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线xy 1的焦距是________▲________.7 3 4.一组数据 ，那么该组数据的方差是________▲________. 5.函数y=3- 2x-x 2的定义域是 ▲. 6.如图是一个算法的流程图，那么输出的 a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具〕先后抛掷 2次， 那么出现向上的点数之和小于 10的概率是▲.n n 2- 3，S5=10，那么a9的值是 ▲.8.{a}是等差数列，S 是其前n 项和.假设a1+a2= 9.定义在区间[0,3 π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 ▲.xOy 中，F 是椭圆x2 y 2 b 10.如图，在平面直角坐标系 1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y与椭圆交于B ，a 2b 2 2C 两点，且 BFC90o,那么该椭圆的离心率是▲.(第10题)xa,1 x0,11.设f 〔x 〕是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1)上，f(x)2x其中a R.假设x,01,5f(5) f(9)，那么f 〔5a 〕的值是▲.22x2y4 012.实数 x ，y 满足 2x y 23x y 3 0，那么x 2+y 2的取值范围是▲ .uuur uuu ruuuruuur1，13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BC CA4，BFCFuuuruuur那么BECE 的值是 ▲.14.在锐角三角形 ABC 中，假设sinA=2sinBsinC ，那么tanAtanBtanC 的最小值是▲. 二、解答题〔本大题共6小题，共 90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15.〔本小题总分值14分〕在△ABC 中，AC=6，cosB=4π ，C=.54〔1〕求AB 的长；π〔2〕求cos(A-)的值.616.(本小题总分值 14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B上，且B 1DA 1F ，AC 11A 1B 1.求证：〔1〕直线DE ∥平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1 DE ⊥平面A 1C1F.17.〔本小题总分值14分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下局部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如下图)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍.(1)假设AB6m,PO12m,那么仓库的容积是多少？假设正四棱锥的侧棱长为6m,那么当PO1为多少时，仓库的容积最大？(1)〔本小题总分值16分〕(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为圆心的圆M:x2y212x 14y 60 0及其上一点A(2，(3)4)(4)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(5)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)T t,0M P uur uur uuurt设点〔〕满足：存在圆上的两点和Q,TP,的取值范围。
高考理工数学试卷真题答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -3D. 0.1010010001…2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. -1B. 0C. 3D. 53. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 364. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值为（）A. √2/2B. √6/4C. √10/4D. √14/45. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = x^36. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)的图像是（）A. V形B. U形C. 直线D. 抛物线7. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1=1，q=2，则第5项bn的值为（）A. 32B. 16C. 8D. 48. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, -2)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3/2, 1/2)B. (1/2, 3/2)C. (1, 2)D. (2, 1)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = -x^2 + 2x - 3，则f(-1)的值为______。
12. 等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第7项an的值为______。
13. 已知等比数列{bn}的首项为4，公比为1/2，则第4项bn的值为______。
14. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=6，b=8，c=10，则角A的正切值为______。
南京理工大学高等数学作业上(答案)
第一章函数 极限 连续§1函数1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且13≠≠x x 3412+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x ee x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10[e e（4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,21 ±±=+≠+k k x ππ;即函数定义域为.,2,1,0,12⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时xarctgx x x 1033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞（6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义，必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、-- 2． .2)21(,2)21(,2)0(,1)2(,2)3(21-=-====f f f f f3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-=x x x x x x g f 有意义；必须因此要使，即[])(x g f 的定义域为[1，3]。
4．解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=;0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1)]([x x x e e e x g f xx x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<==,1,1,1,1,1,)]([)(x ex x e e x f g x f 。
5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。
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一填空题(每小题3分,共15分)
1设 ,则 ____________.
2曲线 上的拐点为_______________.
3设函数 ,在 处连续数是 ,则 ___________.
5 _________.
二判断题(每题1分,共5分)判断下列各命题是否正确,不正确请给出反例,对错误命题,若举不出反例,则该题不得分.
5假设 存在,则 收敛.
A正确B错误;反例:__________________
三(6分)设 可导,且满足方程 ,试求函数 .
四求极限(每小题6分,共12分)
1 ; 2 .
五求导计算(8分)设 由 确定,求 .
六计算积分(每小题5分,共10分)
1 ; 2 .
七(8分)设 , (1)证明 ; (2)求 的最大值和最小值.
1. , 2. , 3. , 4. , 5. ，
二、判断题（每小题1分，共5分）
1. B, , 2. A, 3. B, ,
4. B, , 5. B， ，但是， 发散。
三．计算题（6分）解：令 ,则 ，
所以 ，由已知得： ，对上式求导得：
，即： -
所以 ，再由 得： 。
四、计算题（每小题6分，共12分）
1设 在 内可导,则 在 内无界的充要条件是 在 内无界.
A正确B错误;反例:__________________
2连续的奇函数的任意原函数都是偶函数.
A正确B错误;反例:__________________
3设 在 内有定义,且对任意的 ,有 ,则 在 内是连续的.
A正确B错误;反例:__________________
八(8分)由原点 向 作切线,试求该切线与曲线 及 轴所围成的平面图形的面积,并求该图形绕 轴旋转一周所成物体的体积.
九(每小题4分,共8分) 1设 在 上的单调递减的连续函数,证明:当 时,有 .
2若 满足下面的条件: (1) 在 连续; (2) 存在且有限;
(3) 收敛.,试证明 .
答案
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.原式= 。
2．原式=
五、计算题（8分）解由已知得： 。
对 两边关于t求导得： ,所以 。
所以 = 。
六、计算题1.解：令 得： -
，
所以 。
2.令 得： 。
七、证明（1） 。
（2）由（1）得 是以 为周期的周期函数，所以只需求 在 上的最值即可。
不难得到 ，得 ，
得驻点
所以 。
八、应用题（8分）
解：设切点 ，切线方程： ，
因为切线过原点，得 ，切线方程： ，面积： ，
体积：
。
九、证明题（8分）
1.证明，由于 是单调递减的，根据积分中值定理得，存在 使得：
所以 是单调递增函数，而 。所以当 时，有
2.证明（反证）：不妨设 ，则存在 使得： ， 。
而 ， 是存在的，但是由于 ， ，所以 不存在，从而 发散，矛盾！所以 。