二次根式例题讲解

4 7 （ 2） 1 ； 3 9 a 2ab . （3） 0.5a3b 2
典例剖析
例 4 计算下列各题： （1） 12 3 2 3 3 3 3 （2） 1 1 5 1 3.5 3 21 2 2 4 2 4 7
3 21 2 9 3 2 4 7 4 2
典例剖析
例 1 完成下列各个问题： （1）使二次根式 4x 1 有意义的 x 的取值范围 是 x≥0.25 ； （2）函数 y
是
x 3 的自变量 x 的取值范围 x 1
.
x≥-3 且 x≠1
考点解析： 1.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数； 2.分式有意义的条件：分母不等于 0.
解：∵ 9x 1 ≥0 ∴当 9 x 1 0 时， 9 x 1 3 的值最小
1 解得 x 9 1 即当 x 时， 9 x 1 3 的值最小 9
考点解析： 二次根式的值为非负数.
典例剖析
例 2 完成下列各个问题： （3）若 a＜1，化简式子 ( a 1) 2 1 的结果是（ D ） A. a 2 B. 2 a C. a
化简所求式 化简已知式
再求值
整体代入
王牌例题
例3
阅读材料：
阅读理解，探索问题
小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方，如 3 2 2 (1 2 )2，善于思考的 小明进行以下探索： 2 a b 2 ( m n 2 ) 设 （其中 a、b、m、n 均为正整 2 2 数），则有 a b 2 m 2n 2mn 2 ， 2 2 b 2mn . 这样小明就找到了一种把 a m 2 n ∴ ， 部分 a b 2 式子化为平方式的方法.
八年级
下册
第十六章 例题讲解
体系建构 本章知识结构图 二次根式的概念
二次根式
二次根式的性质
二次根式的运算
知识梳理
知识点 1 与二次根式有关的概念： （1）二次根式的定义：一般地，我们把形如 a （a≥0） 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. （2）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式. ①被开方数不含分母； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. （3）同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根 式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式.
典例剖析
例 2 完成下列各个问题： （1）已知 ( x y 3)2 2 y 0， 1 则 x y ；
考点解析： 1.三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式； 2.几个非负数之和为 0，则每个非负数都为 0.
典例剖析
例 2 完成下列各个问题： （2）当 x 取何值时， 9 x 1 3 的值最小？
考点解析： 1.二次根式的加减法运算步骤： 先化简→再分类→后合并 2.二次根式的乘除法运算步骤：先整合→再约分
典例剖析
例 4 计算下列各题： （ 3） ( 2 1)(2 2 ) 2 2 2 2 2
另解：原式＝ ( 2 1) 2 ( 2 1)
2
2 [( 2 ) 1 ]
知识梳理
知识点 2 二次根式的性质： （1）二次根式的双重非负性：a≥0 且
a≥0.
（2）( a ) 2 a（a≥0）
a （ a ≥0 ） （ 3） a a a （a≤0）
2
( a ) 与 a 2 的区别与联系. 点拨： 呈现方式相近， 所含意义不同； 取值范围有别， 运算顺序相反； 运算结果虽不同，结果都是非负数.
（2）二次根式的加减：先把所有二次根式化简为最简 二次根式，再合并同类二次根式.
a (a 0，b＞0) b b
知识梳理
本章概述 （一）本章的重点、难点： 重点：二次根式的概念和运算； 难点：二次根式的概念和运算. （二）本章的易错点： 1. 对二次根式有意义的条件的理解； 2. 二次根式的化简； 3. 二次根式的运算： （1）忽视运算顺序； （2）混淆运算法则.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： ＋ ＋ 3 ＝（ 3）2； （3）若 a 12 3 (3 n 3)2，求 a 和 n 的值. 解：∵b＝12，m＝3 a 21 2 解得 a 9 3n 根据题意，得 n 2
12 6n
王牌例题wenku.baidu.com
x y (3 2 2 ) (3 2 2 )
3 2 2 3 2 2 4 2 ∴ x 2 y xy2 xy( x y) 4 2
王牌例题
例 2 二次根式的化简求值问题 已知 x 3 2 2，y 3 2 2 ， 2 2 求式子 x y xy 的值. 考点解析： 化简求值步骤 先化简
2. 解题技巧与方法讲解： （1）二次根式有意义的条件； （2）二次根式非负数的应用； （3）二次根式的化简求值问题； （4）二次根式的大小比较； （5）与二次根式有关的探究问题.
3. 数学思想方法 的渗透： （1）转化思想； （2）整体思想； （3）分类讨论思想； （4）类比思想.
请你按照小明的方法探索并解决下列问题：
王牌例题
例3
设 a b 2 (m n 2 )2 则有 a b 2 m2 2n2 2mn 2 解决问题 ∴ a m 2 2n 2 ，b 2mn
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a b 3 (m n 3)2，用含 m、n 的式子表示 a、 b，则 a＝ m2＋3n2 ，b＝ ； 2mn
考点解析： 二次根式的性质： a 2 a a （a≥0） a （a≤0）
D. a
典例剖析
例3
（ 1） 1
化简：
2
2 ； 2
考点解析： 1.商的算术平方根的性质； 2.最简二次根式的条件. 简记：（如下图） 最简二次根式 根号内 有分母 要化去 因式中 能开尽 要外移
2 2
2
考点解析： 巧用乘法公式、因式分解及运算律
典例剖析
例4 计算下列各题：
（4） 48 3
1 12 24 2

48 1 12 2 6 3 2 16 6 2 6 4 6
考点解析： 混合运算步骤： 运算顺序 ↓ 运算法则 ↓ 运算结果
王牌例题
例 1 二次根式的大小比较问题 （请在横线上填写“＞”、“＜”或“＝”） （1）2 11 ＜ 3 5； （2） 13 7 ＞
2a
a
E 0.5a B
王牌例题
例 2 二次根式的化简求值问题 已知 x 3 2 2，y 3 2 2 ， 2 2 求式子 x y xy 的值. 解：∵ x 3 2 2 ， y 3 2 2 ∴ xy (3 2 2 )(3 2 2 ) 32 (2 2 )2 1
例3 阅读理解，探索问题 考点解析： 阅读理解思维过程
阅读——关键 理解——核心 应用——目的
2 例 3 拓展延伸、课下思考 若 a 4 5 (m n 5 ) ， 且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值.
课堂回顾
1. 体系构建：
二次根式 二次根式的概念 二次根式的性质 二次根式的运算
2
知识梳理
知识点 3 二次根式的化简和运算： （1）二次根式的乘除 ①二次根式的乘法法则： a b ab (a 0 ，b 0) 积的算术平方根的性质： ab a b (a 0 ，b 0) ②二次根式的除法法则：
a a (a 0，b＞0) b b
商的算术平方根的性质： a
（ 3） 5 1 ＞ 1 .
17 3 ；
2
2
考点解析： 巧用二次根式比较大小的方法： （1）外因内移法；（2）平方法；（3）求差法.
王牌例题
例 1 拓展延伸 如图，在一块正方形 ABCD 的顶 点 A 处，有一只兔子，在边 AB 的中点 E 处有一只狼， 如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动， 假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到 达 C 处？ D C 解析： a 比较 AC 和 BE＋BC 的大小 a A