北师大版八年级上册数学第一章勾股定理PPT
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理的应用课件
果梯子的顶端A沿墙下滑了4m，那么梯子的底部B在水平方向上也滑动了4m吗？
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)
知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足___________， 则△ABC为___________. 4．勾股数： 满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问 题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北 偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙 船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙 船是沿哪个方向航行的吗？
第一章 勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
北师大版八年级上册数学《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT教学课件
3.一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船
先向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40
千米，这时它离开出发点_________千米。
4.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？
说说你的理由。
（1）9，12，15； （2）15，36，39；
√
√
（3）12，35，36； （4）12，18，22。
5.判断下列哪组数是勾股数：
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
3. 三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2c2=2ab, 则此三角形是:
(A )
A. 直角三角形
B. 是锐角三角形
C. 是钝角三角形 D. 是等腰直角三角形
4. 已知∆ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为
直角
1
2
1
2
所以 S 四边形 ABCD=S△ABC-S△ACD= ×5×12- ×3×4=30-6=24.
-8-
第一章
1.2 一定是直角三角形吗
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-9-
14.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,求CD的长.
解:连接 DB.在△ACB 中,因为 AB2+AC2=62+82=100,
BC2=102=100,所以 AB2+AC2=BC2,
所以△ACB 是直角三角形,即∠A=90°.
因为 DE 垂直平分 BC,所以 DC=DB.
设 DC=DB=x,则 AD=8-x.
在 Rt△ABD 中,∠A=90°,AB2+AD2=BD2,
先向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40
千米，这时它离开出发点_________千米。
4.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？
说说你的理由。
（1）9，12，15； （2）15，36，39；
√
√
（3）12，35，36； （4）12，18，22。
5.判断下列哪组数是勾股数：
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
3. 三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2c2=2ab, 则此三角形是:
(A )
A. 直角三角形
B. 是锐角三角形
C. 是钝角三角形 D. 是等腰直角三角形
4. 已知∆ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为
直角
1
2
1
2
所以 S 四边形 ABCD=S△ABC-S△ACD= ×5×12- ×3×4=30-6=24.
-8-
第一章
1.2 一定是直角三角形吗
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-9-
14.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,求CD的长.
解:连接 DB.在△ACB 中,因为 AB2+AC2=62+82=100,
BC2=102=100,所以 AB2+AC2=BC2,
所以△ACB 是直角三角形,即∠A=90°.
因为 DE 垂直平分 BC,所以 DC=DB.
设 DC=DB=x,则 AD=8-x.
在 Rt△ABD 中,∠A=90°,AB2+AD2=BD2,
八年级数学上册第一章勾股定理北师大版ppt课件
45 3
32 + 42 = 5 2
? 5
12
5 2+ 12 2= 13 2
精品课件
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜
边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！
精品课件
勾
弦
股
方法一
•
•••
•
• •
• •
••C••
• •
分割成若干个直角边 为整数的三角形
精品课件
返回
C A
方法三
S正方形c
B C
图1-1
A
B 图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
精品课件
1 62 2
1 8（单位面积）
返回
方法四
b
a
a c cb
bc c
a
abΒιβλιοθήκη cab ac b (b-a) b c
a ba
c
精品课件
勾股逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
即 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
精品课件
• 下面来看定理的应用.
• 例1 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不
2.一颗9米高的树被风折断，树顶落在离树根3 米之处， 若要查看断痕，要从树底开始爬多 高？
精品课件
问题： 城市A要到达城市B必须经过C地的一条互相 垂直的公路才能到达，为了城市发展的需要，政府 决定在城市A、B之间建造一条最短的公路。如果你 是工程师，如何建造？建成之后两个城市之间缩短 了多少距离？
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
北师大版八年级上册数学《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT说课教学
D
C
A
B
1- 16
D
1 3
C
45 1
A3 B 2
1- 17
解： ∵在R
AB2+AD2=9+16=25=BD2 ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角 ∵在△BCD中， BD2+BC2=25+144=169=CD2 ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角
因此这个零件符合要求。
随堂练习
1.如果三角形的三边长a＜b ＜ c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2.写出三组勾股数： _______________________________; 3.一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船 先向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40 千米，这时它离开出发点_________千米。
5. 以∆ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面
积是25, 144 , 169, 则这个三角形是_直___角__三角形。
6. 四边形ABCD中已知AB=3, BC=4,
CD=12, DA=13, 且∠ABC=900,求这个
D
四边形的面积。
A
B
C
7.请你写出三组勾股数。
8.一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
4.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？ 说说你的理由。
√ √ （1）9，12，15； （2）15，36，39；
（3）12，35，36； （4）12，18，22。
5.判断下列哪组数是勾股数： （1）6，7，8； （2）8，15，6；
√（3）a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1） √（4）a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2 （m＞n＞0）
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
1.1 探索勾股定理(1)教学课件(共23张PPT) 八年级数学上册北师大版
探究新知
数格子法探索勾股定理
A
B
图1
C
C A
B
图2
16
9
25
4
9
13
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的大正方形的面积． 也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
C A
B SA SB SC
随堂练习
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且
与AE重合，求CD的长．
A
解：由勾股定理，得
E
AB
10 ，S△ABC
1 68 2
24 ，
CD
B
S△ABC
S△ABD
S△ACD
1 10DE＋ 1 6CD
2
2பைடு நூலகம்
24．
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
探究新知
数格子法探索勾股定理
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的大正方形的面积．
也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
AB
C SA SB SC
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个 单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么? (2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
北师大版八年级数学上册第一章第一节
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
北师大版八年级数学上册《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT课件
1 2
AC·BC，
∴
1 2
×1
000·CD=
1 2
×600×800，
∴CD=480 m，
即新建的路的长为480 m.
随堂练习
6. 在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ 1CB，试判断AF
4
与EF的位置关系，并说明理由．
课堂小结
内容
勾股定理 的逆定理
作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，
90
120
60
150
12 13
30
180
0
5
25 24
7
15 17 8
合作探究
在△ABC中，三边长分别为a，b，c， Nhomakorabeaa2+b2=c2.你能否判断 △ABC
是直角三角形？并说明理由.
作一个直角∠MC1N， 在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA, 连接A1B1.
N
A
A1
条路，使工厂C到公路的路最短，请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并
求出新建的路的长.
解：过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路.
∵AC2+BC2=6002+8002=1 0002，AB2=1 0002， ∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形.
由三角形的面积公式知1
2
AB·CD=
B.2组
C.3组
D.4组
4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直 角三角形，其中正确的是 ( C )
随堂练习
5.如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？
北师大版八年级数学上册第一章专题四模型拓展——勾股定理模型课件
（2）相等，理由如下： 在图Z1－4－1②中， 因为∠C＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2，CD2＝AD2－AC2. 因为D是BC的中点， 所以BC＝2CD. 所以AB2＝AC2＋4CD2＝AC2＋4（AD2－AC2）. 所以AB2＝AC2＋4AD2－4AC2. 所以AB2＋3AC2＝4AD2．
解：（1）猜想正确，理由如下. 因为在四边形ABCD中，AC⊥BD， 所以∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°. 所以AB2＝OA2＋OB2，CD2＝OC2＋OD2， BC2＝OB2＋OC2，AD2＝OA2＋OD2. 所以AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2， BC2＋AD2＝OB2＋OC2＋OA2＋OD2. 所以AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
总结：如图Z1－4－2，视察这两个三角形，得这两个三角 形的高相等，且有两边相等.如图Z1－4－3，将这个三角 形拼在一起后构成一个边长为8的等边三角形，且该等边 三角形的高即为这两个三角形的高.
2. 如图Z1－4－4，在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5， 求∠C的度数.
解：如答图Z1－4－1，过点A作AD⊥BC于点D. 设CD＝x， 则BD＝BC－CD＝5－x. 在Rt△ABD中，由勾股定理, 得AD2＝AB2－BD2.
S四边形ABCD＝(AC·BD)÷2
垂美四边形：对角线互相垂直的四边形．
垂美结论：垂美四边形对边的平方和相等．
5. 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”， 如图Z1－4－7①，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2＋ CD2＝AD2＋BC2．请判断同学的猜想是否正确，并说明理由； （2）如图Z1－4－7②．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D, E 分别是AC, BC的中点， 连接AE, BD，且AE⊥BD，求AB．
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新课讲解
知识点2 勾股定理的应用
勾股定理的应用：
（1）已知直角三角形的两边长，求其第三边长 （2）已知直角三角形的一边，确定其另两边长之间的关系 （3）证明含有平方关系的几何关系 （4）解决生产、生活中的实际问题
新课讲解
典例分析
例 2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆
敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车 与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计 算敌方汽车的速度吗？
新课讲解
结论
1.常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种 方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的．
新课讲解
2．用拼图法验证勾股定理的思路： (1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空
隙，面积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些实际问题. （重点）
新课导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了 勾股定理.在下图中，分别以直角三角形的三条边为边 长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正 确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.
2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些 变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2 ＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
课时2 验证并应用勾股定理
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
新课讲解
所以a2＋b2＝c2， 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方． 方法二(叠合法)：(1)如图. (2)因为大正方形的面积可以表示为c2， 也可以表示为 ab×4＋(b－a)2， 所以c2＝ ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2. 所以a2＋b2＝c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
分析：根据题意，可以画出右图，其中 点A表示小王所在位置，点C、点B表示 两个时刻敌方汽车的位置.
新课讲解
由于小王距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾 股定理来解决这个问题了. 解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，
也就是5002=BC2+4002, 所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m， 那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）, 即它行驶的速度为108km/h.
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 推导结论．
新课讲解
典例分析
例 1 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的
全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能 说明勾股定理正确性的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)说明勾股定理的正确性．
新课讲解
课堂小结
验证
勾 股 定 理
应用
当堂小练
1.用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如 图所示的图
形，则下列结论中正确的是( A )
A．c2＝a2＋b2
B．c2＝a2＋2ab＋b2
C．c2＝a2－2ab＋b2
D．c2＝(a＋b)2
当堂小练
2.两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是 8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵 树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
新课讲解
典例分析
例 1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，
BC＝8 cm，求AC的长．
解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2， 所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36. 所以AC＝6 cm.
课堂小结
勾 股 定 理
直角三角形三边关系 数学表达式a2＋b2＝c2
当堂小练
1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
课时1 认识勾股定理
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的 各种探索方法及内在联系. （重点）
新课导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
新课讲解
知识点1 勾股定理的验证
做一做
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形 适当割补后得到图2、图3.
图1
图2
图3
新课讲解
议一议
1.将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来； 2.图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪
些表示方式？与同伴进行交流. 3.你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？
长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是( C
)
A．b2＝c2－a2
B．a2＝பைடு நூலகம்2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
当堂小练
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格 中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( A )
A．5 B．6 C．7 D．25
拓展与延伸
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角 三角形三边关系．
新课讲解
知识点1 勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由 三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦 勾
股 图1
新课讲解
定义
定义： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2＋b2＝c2. 数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则a2＋b2＝c2.
分析：可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补拼(不 重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新的正方形．
解：方法一(补拼法)：(1)如图. (2)因为大正方形的面积可以表示为(a＋b)2， 也可以表示为c2＋4× 1 ab，
2
所以(a＋b)2＝c2＋4× 1 ab， 2
a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.