第一章生物力学基础

A
B
L
x
A
C
L/2
B L/2 x
12
A L
解：建立坐标(如图)，取微元
B x
dmdx mdx
L
得连续分布刚体的转动惯量
A
C
L/2
B L/2 x
可以看出：
I A
L x2 m dx 1 mL2
0L
3
IC
L
2 L
2
x2
m L
dx
1 12
mL2
同一刚体对不同的转轴转动惯量也不同。
13
例题：求质量为m，半径为R均匀圆盘的转动惯 量，轴与盘平面垂直并通过盘心。
m0
2 m0
2
)g
FT2
(2m1m2 m1
m2 m2
m0
2 m0
2
)g
25
L
ω mivi
O ri
四、刚体的角动量 1.质点对定点的角动量
L mvr mr2
*角动量是矢量，与角速度方向一致。
2.刚体（质点系）定轴转动的角动量
L miviri ( miri2 )
i
i
L I
Hale Waihona Puke Baidu
26
3.转动定律的角动量陈述 ①微分形式：
15
m
R
质量均匀的空心球壳
I 2 mR2 3
质量均匀的实心球体
I 2 mR2 5
可知：转动惯量还与物体的质量分布有关。
16
试比较该花样滑冰运动员两种姿势的转动惯量。
17
三、力矩和转动定律
M
1.力矩的矢量定义
ω
F M rF
Or l
P
①大小：
M Fr sin Fl
其中： l r sin 称为力臂
①定轴转动的刚体上所有质元 都在作半径不等的圆周运动； 各质元作圆周运动的角量相同， 线量各不相同。
②数学关系：
s r
线量
v r
at r
an
v2 r
r 2
角量
7
③转动与平动运动方程的对比（匀变速）：
0 t v v0 at
转动
0
0t
1t2
2
s
s0
v0t
1 2
at
2
2 02 2 ( 0) v2 v02 2a(s s0 )
dr rR
解：圆盘的质量面密度为
m πR2
取半径为r，宽为dr的薄圆环
dm 2πrdr
dI r2dm 2π r3dr
I dI R 2πr3dr 1 πR4 1 mR2
0
2
2
14
质量均匀的薄圆环对不同转轴的转动惯量：
OR
I mR2
I 1 mR2 2
可见：给出转动惯量时必须指出转轴的位置。
n
I miri2 i 1
②刚体的转动动能：
Ek
1 2
I2
10
2.刚体对转动轴的转动惯量：
若质量离散分布 I miri2
i
若质量连续分布 I r2dm
①转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。 ②转动惯量是反映刚体转动惯性的量度。
11
例题有一质量为m，长为L的均匀细棒，求它通过 一端及中心的垂直转轴的转动惯量。
转向
*角速度方向的规定：沿瞬时 轴，与转向成右螺旋关系。
*通常规定逆时针方向转动的 角速度为正，顺时针方向转动 的角速度为负。
5
③角加速度
平均角加速度
t
（瞬时）角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt 2
单位：rad·s-2
*刚体匀变速转动时： 0 t
6
A
v
r
Δθ P
O
θ
x
A′
3.角量与线量的关系
Md
d(Ek )
d(1 2
I2)
19
Md
d(Ek )
d(1 2
I2)
当刚体的转动惯量不变时
P
r dθ r dθ φ
O
M I d I
dt
l
F1
F
或： M
I
——刚体的转动定律
20
例题跳水运动员跃离跳板向前空翻三圈，经2s后达 到最高点，在该点的转动角速度为7.55rad·s-1， 他的体重为65kg，设曲体后其转动惯量与实心圆 柱体绕中心转轴的转动惯量相同（ I 1）mr，2 有效半 径为30cm，求:(1)平均转动力矩；（22）在最高点 的转动动能。
m2
m2g
解：分别对物体和滑轮进行
受力分析，如图
m0 FT1
FT1
对m1
m1g FT1 m1a
对m2
m1 a
FT2 m2 g m2a
对定滑轮
m1g
FT1r
FT2r
1 2
m0r 2
且有: a r
24
联立方程，可得
(m1 m2 )g
(m1
m2
m0 2
)r
FT1
(2m1m2 m1 m1 m2
平动
8
二、转动动能和转动惯量 1. 刚体定轴转动的动能
刚体可看作由许多质元构成的质点系：
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
mnvn2
1 2
m1r12 2
1 2
m2r22
2
1 2
mn rn2 2
1 2
n i 1
mi ri 2
2
9
Ek
1 2
n i1
mi ri 2
2
①定义转动惯量：
单位：N m ②方向：右手螺旋定则（伸出右手，拇指与四指 垂直，四指由径矢方向经小于180°的角度转到力 的方向，拇指的方向即为力矩的方向）
18
2.转动定律
刚体在力F作用下绕轴转过 d,该力的功
P r dθ
r dθ φ
O
l
F1
F
dA F cos rd F r cos d
Fld Md
由动能定理可得：
21
解：将运动员的转动看作匀变速转动，则平均角
加速度为
0 7.55 0 rad s1 3.78rad s1
t
2
对应的转动惯量为
I 1 mr 2 1 65 0.32 kg m2 2.93kg m2
2
2
由转动定律可得
M I 2.933.78Nm 11Nm
在最高点的转动动能为
Ek
1 2
I2
1 2.93 7.552 J 2
83.2J
22
例题一根轻绳跨过一个半径为r，质量为m0的定滑 轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体 ， 如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦， 绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加 速度和绳两端的张力。
m0
m2
m1
23
FT2
a
FT2
2
A
v
r
Δθ P
O
θ
x
A′
2.角位移 角速度 角加速度 ①角坐标（角位置）
(t)
∴角位移可表达为
(t t) (t)
单位：弧度（rad）
3
A
v
r
Δθ P
O
θ
x
A′
②角速度 平均角速度
t
（瞬时）角速度
lim d
t0 t dt
单位：rad.s-1
*刚体匀速转动时：
t
4
第一章 生物力学基础
1-1 刚体的定轴转动 1-2 应变 应力 弹性模量 1-3 人体生物材料的力学性质 1-4 作用在骨骼上的力
1
1-1 刚体的定轴转动 一、角量与线量的关系 1.刚体 定轴转动 ①刚体：在任何情况下物体的形状和大小都不变 化，各部分之间的距离保持不变。 ②定轴转动：运动中各质元均作圆周运动，且各 圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。