第六章理想流体动力学a
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
流体力学第六章 旋转流体动力学
为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论以偏向力有 重要作用的流体运动，此时，在运动方程中，偏向力项远 远大于运动的惯性项和粘性项。
Zhu Weijun NIM NUIST
假定流体运动满足： RO <<1 或者RO →0（即 Rossby 数很小）；
Ek =
R0 →0 Re
同时要求： RO L/UT →0 （即要求T很大，1/T → 0，即 对应缓慢运动或者准定常流动）。
d aV a = dt
∑F
i
i
考虑地球的旋转效应，引进的旋转坐标系；前面给 出旋转坐标系与惯性坐标系之间的基本关系，以下 通过分析，得出适用于描述旋转流体的运动方程。
Zhu Weijun NIM NUIST
daVa dVa = + ΩΛVa ⇒ dt dt
d aVa d V + ΩΛr = + ΩΛ V + ΩΛr ⇒ dt dt
da d = + ΩΛ dt dt
① ② ③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项
Zhu Weijun NIM NUIST
对于任意矢量
A
，满足：
da A dA = + ΩΛA dt dt
该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
Zhu Weijun NIM NUIST
（惯性）静止坐标系 绝对坐标系
此时，无量纲方程变为：
1 1 1 2kΛV′ = − ρ′ ∇′p′ + Fr g′ R0
Zhu Weijun NIM NUIST
方程进一步处理： 考虑压力梯度力项（两种情况）： ①假设流体不可压： 1 p′ ρ ′ = const ⇒ − ∇′p′ = −∇′( ) ρ′ ρ′ ②正压流体：
流体力学
2008年真题：盛水容器a 和b 的上方密封，测压管水面位置如 图所示，其底部压强分别为pa与pb若两容器内水深相等， 则pa与pb的关系为： （A） pa pb （B） pa pb （C） pa pb （D）不能确定 答案：A
等压面的概念
由压强相等的点连成的面，称为等压面。等压面 可以是平面，也可以是曲面。
第六章 流 体 力 学
6.1流体的主要物性与流体静力学
6.1.1 流体的连续介质模型 1.假设液体是一种连续充满其所占据空间的毫无空隙的连 续体。流体力学所研究的液体运动是连续介质的连续流动。 意义：使描述液体运动的一切物理量在空间和时间上连续， 故可利用连续函数的分析方法来研究液体运动。 2.流体质点：指微观充分大（其中包含大量分子），宏观
连通容器
连通容器
连通器被隔断
2009年真题 ： 1.静止的流体中，任一点的压强的大小与下列哪一项无关？ (A) 当地重力加速度 (B) 受压面的方向
(C) 该点的位置
答案：B 2009年真题：
(D) 流体的种类
静止油面（油面上为大气）下3m深度处的绝对压强为下列哪一 项？（油的密度为800kg/m3，当地大气压为100kPa）
充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束，也叫元流。
性质：微小流束内外液体不会发生交换；恒定流微小流束的 形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将随时间改变； 横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。 任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一 定大小
尺寸的实际水流称为总流。总流可以看作是由无限多个微小
1.渐变流过流断面近似为平面 2.恒定渐变流过流断面上流体动压近似按静压分布，同一 过流断面：z+p/（ρg）=c
第六章 理想流体不可压缩流体的定常流动
厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数 存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
第六章理想流体不可压缩流体的定常流动
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿
理想流体动力学
∂ϕ ∂z
利用梯度的概念，可类推出 vl =
∂ϕ 。 （参加书上的推导方式） ∂l
2.存在势函数的流动一定是无旋流动 设某一流动，存在势函数 设某 流动，存在势函数 ϕ ( x, y, z, t ) ，其流动的角速度分量：
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂v y ∂vx ∂ ∂ϕ ωz = ( ) = [ ( ) − ( )] = ( − )=0 − 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂y
这说明， 一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢 量与流向平行 可推知流线与等势面是正交的 量与流向平行，可推知流线与等势面是正交的。
4.势函数是调和函数（满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数） ，对 不可压缩流体，连续性方程为： 缩 连
∂v x ∂v y ∂v z + =0 + ∂x ∂y ∂z
从上所见，在不可压缩流体有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续 性方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，转化为求解一定 边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 Laplace l 方程是一个线性方程，其解具有可叠加性，如： 方程是 个线性方程 其解具有可叠加性 如 ϕ1 ，ϕ 2 是 方程的解，则ϕ1 + ϕ 2 也是方程的解。利用这一性质，分析研究一些简单 的势流 然后叠加可组成比较复杂的势流 的势流，然后叠加可组成比较复杂的势流。 三、流函数 在三维、理想、不可压缩无旋流动中，由于存在速度势函数ϕ ，而 使问题大为简化。 对于不可压缩流体的平面运动（有旋、无旋） 缩 体 平 动 有旋 无旋 ，还存在另一个表征 存在另 个 征 流动的函数—流函数。且不同的流函数数值代表不同的流线。如下图所 示：
将用势函数表示的速度分量：v x = 得：
流体力学第六讲
八、流量 ： 单位时间内流过某一过流断面的流 体体积。
q
dq = v dA
m3/s
l/min
—— 微小流束过流断面的流量。
q = A v dA —— 流束过流断面的流量。
九、断面平均流速 ：假想的过流断面上各点处
q v A
都相等的流速。
§3-3 连续方程式（一元流动）
物理本质：控制体中流体质量的增量，必然等于
2
2
物理意义：重力作用下，理想不可压缩流体作定
常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以
相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。
二、理想流体总流（流束）的伯努利方程
总流 —— 流体通过有限过流断面的流动。
表达了两个过流断面处流体能量的关系，但 要以过流断面上的平均值表示。 1、动能项
以断面平均流速将动能表示为：
p1 1v1 p2 1v2 所以： z1 z2 hf g 2g g 2g
2 2
式中： hf —— 单位重力流体沿总流从1 断面流 到 2 断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能， 称为能量损失或水头损失。
应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意 以下几点： 1、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量 力只有重力作用。
考虑粘性后与“理想”的区别： • hf 项 • 过流断面上流速分布不均匀, 用 要用 修正.
v
求动能时,
（4）伯努利方程的两种形式 • 沿流线的伯努利方程 用于求流线上某点 的 v、p 或 z ； • 沿总流的伯努利方程 用于求过流断面上 的平均流速 v，及某点的压强 p 或位置高度 z 。
（5）方程中的压强 p 可以是绝对压强或相对压强。 （6）缓变流动 流线平行或曲率半径很大处 的流动。 p 特点：沿流线法向，位置水头 z 与压强水头 g 之和是一个常数。 p z 两个过流断面须取在缓变流处，此时， g 可在断面上任意一点处取值。 对于管流则常在管轴线上取值。
第六章 理想流体动力学(2)
ρ
+
2
=
ρ
∞
+
∞
将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布： 将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布：
2 1 Γ 2 p = p∞ + ρ v∞ − −2v∞sinθ − 2 2π r0
9
2 1 Γ 2 p = p∞ + ρ v∞ − −2v∞sinθ − 2 2π r0
r02 ∂ϕ = v∞ 1 − 2 cosθ vr = ∂r r
2 r0 ∂ϕ Γ vθ = = −v∞ 1 + 2 sinθ − r ∂θ 2π r r
这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度，流体与圆柱体 这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度， 圆周切线方向的速度 没有分离现象，满足流体不能穿入和不能穿出的条件， 没有分离现象，满足流体不能穿入和不能穿出的条件，即圆 柱面的绕流条件。 柱面的绕流条件。
11
D = Fx = − ∫
2π
0
pr0 cosθ dθ
L = F柱表面压强表达式代入上式得： 将圆柱表面压强表达式代入上式得： 表面压强表达式代入上式得
2 2π 1 Γ 2 D = − ∫ p∞ + ρ v∞ − −2v∞ sinθ − r0 cosθ dθ = 0 0 2 2π r0
r0和 v∞ 不变的情况下，θ 分 只与 Γ 有关。 不变的情况下， 有关。
6
以下分三种情况讨论： 以下分三种情况讨论： 1、 当 Γ < 4πr0 v∞ 时， 、
sinθ < 1， sin(− θ ) = sin[- (π − θ )]
第六章流体动力学积分形式基本方程
的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和
等于单位时间内控制体内动量的增加。
一、静止控制体的动量方程
作用于控制体上的力为
Fd
作用于控制面上的力为
A pndA
单位时间内控制体内动量的增量为
t
wd
单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
A w nwdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。
第六章 不可压缩理想流体平面无旋流动
ϕ = xV∞ cos α + yV∞ sin α + c1 ∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −V∞ sin α dx + V∞ cos α dy
∂x ∂y
ψ = − xV∞ sin α + yV∞ cos α + c2
令通过原点的流函数及势函数及势函数的值为零，则 c1 = c2 = 0 ，最后得到均匀场速度势与流函数为
V×V = 0
将V = ∇ϕ 及 V = ∇ψ × k 代入，得
V × V = ∇ϕ × (∇ψ × k ) = (∇ϕ ⋅ k )∇ψ − (∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = −(∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = 0
∇ϕ ⋅ ∇ψ = 0
所以
§ 9-4 不可压理想流体平面无旋流动的 复势与复速度
一.复势与复速度
2 2
1 d[(x − x0 ) +(y − y0 ) ] 2 2 σ 1 2 d ln σ 2
Γ φ = ∫ dφ + const = − ln σ + const 2π Γ ln σ φ= − 2π y − y0 Γ arctg ϕ= 2π x − x0 Γ ' ϕ= ε 2π
Γ ' ⎛ Γ ⎞ χ = ϕ + iφ = ε + i ⎜ − ln σ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ iΓ ⎡ iε ⎤ =− ln σ + ln e ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ iΓ iε =− ln σ e 2π iΓ =− ( z-z0 ) 2π iΓ χ ( z ) = − ( z-z0 ) 2π
一、流函数的定义
∂ρ + ∇i( ρV ) = 0 ∂t ∇iV = 0 ∇i( ρV ) = 0 ∂ = 0 ,Vz = 0 ∂z 1 ⎛ ∂h2 ρV1 ∂h1ρV2 ⎞ ∇iV = + ⎜ ⎟=0 h1h2 ⎝ ∂q1 ∂q2 ⎠
流体力学第六章
积分常数C1、C2由边界条件确定。
C1 exp( h) C2 exp( h) 0
消去一个常数
C C1 exp(h) C 2 exp(h) 2 C exp ( z h) exp ( z h) Cch ( z h) 2 Cch ( z h)sin x cos t 在 z0
t x x y y z
自由面上的运动边界条件
波浪问题的基本方程和边界条件：
2φ
2φ x
2
2φ y
2
1 t 2
n 0
z p pa
2
2
0
运动学方程 动力学方程
gz 0
=+
pa C (t ) dt
1 p pa gz 0 t 2
在自由面上： z , p pa
1 g 0 t 2
在自由面上：
z ( x, y, t ) , z z ( x x, y y, t t )
流体质点的速度 ：
Ach ( z h) u cos x cos t x shh
w Ash ( z h) sin x cos t z shh
波数和频率之间的关系
Ach ( z h) sin x cos t shh
z0
0 在 z h z g 0 在 z 0 t
Ach ( z h) sin x cos t shh
2 gthh
流体质点的运动轨迹（有限水深）：
u w
Ach ( z h) sh h Ash ( z h) sh h
流体动力学
3）按照液体流动方向列出伯努利方程的一般形式；
4）忽略影响较小的次要参数，以简化方程； 5）若未知数的数量多于方程数，则必须列出其它辅助 方程，如连续性方程、静压力方程等联立求解。
伯努利方程应用举例
例1：如图示简易热水器，左端接冷水管，右端接淋浴莲蓬头。 已知 A1=A2/4 和A1、h 值，问冷水管内流量达到多少时才能 抽吸热水？ 解：沿冷水流动方向列A1、A2截面的伯努利方程
2 1 1 2 2
注意： 1）截面1、2应顺流向选取，且选在流动平稳的通流截面上。 2）z和p应为通流截面的同一点上的两个参数，一般将其定在 通流截面的轴心处。
应用伯努利方程解题的一般步骤
1）顺流向选取两个计算截面：一个设在所求参 数的截面上，另一个设在已知参数的截面上； 2）选取适当的基准水平面；
伯 努 利 方 程 应 用 举 例
泵吸油口真空度
分析变截面水平管道各处的压力情况
求水银柱高度？
管中流量达多少时才能抽吸？
判断管中液体流动方向和流量？
动量方程
动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用，可用来计算 流动液体作用在限制其流动的固体壁面上的总作用力。
∑F = Δ（m u）/Δt = ρq（u2 - u1）
例1:如图所示，进入液压缸的流量Q1是否等于缸排
出的流量Q2？
d1
d2
Q2
解: ∵油液是不连续的，不可用连续性方程。
Q 1≠ Q 2
例2 如图所示，已知流量 q1＝ 25L/min，小活塞杆直径d1＝20mm，小活塞
直径D1＝75mm，大活塞杆直径d2=40mm，大活塞直径D2＝125mm，假设没有泄 漏流量，求大小活塞的运动速度v1，v2。
25 L / min
第六章粘性流体动力学基础
第六章 粘性流体动力学基础实际流体都是有粘性的，只有当粘性力与惯性力相比很小时，才能忽略粘性力而采用“理想流体”这个简单的理想模型。
支配粘性流体运动的方程比理想流体的基本方程复杂得多，因此粘性流体动力学问题的求解比理想流体动力学问题更加复杂、困难。
本章的目的在于介绍粘性流体动力学的一些基本知识。
§1 雷诺数（Re ）——粘性对于流动的影响的大小的度量粘性流体运动方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z y x Dt D z y x p p p f V ρ1 在x 方向的投影为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p y p x p f z u w y u v x u u t u zx yx xx x ρ1 这里以xu u ∂∂作为惯性力的代表； y p yx ∂∂ρ1作为粘性力项的代表，其大小为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y u y μρ1。
下面以圆球的粘性流体绕流为例，来估算作用在单位质量流体上的惯性力和粘性力的量阶：（插圆球绕流图）L 为所研究问题的特征长度；∞V 为特征速度；∞ρ为特征密度；∞μ为特征粘性系数。
u 的量阶为∞V ；x u ∂∂的量阶为L V ∞； 22yu ∂∂的量阶为L V 2∞， 则： 作用在单位质量流体上的惯性力的量阶为：LV 2∞ 作用在单位质量流体上的粘性力的量阶为：2L V ∞∞∞ρμ 粘性力惯性力～22L V L V ∞∞∞∞ρμ＝∞∞v L V ＝∞Re Re 称为雷诺数（Reynolds 数），它的物理意义是作用在流体上的惯性力与粘性力的比值的度量。
Re 数是粘性流体动力学中最重要的无量纲参数，它在粘性流体动力学中所占地位与无粘气体动力学的M 数相当。
在不同Re 数范围内的粘性流体运动可以有完全不同的性质，下面以圆柱绕流为例看不同Re 数范围内的圆柱绕流运动。
（插圆柱绕流图）总之：Re 增加，粘性影响变弱，当Re 》1时，对于某些问题，如无分离绕流物体的升力问题，可忽略粘性影响，采用“理想流体”模型。
流体力学第六章 边界层理论
流体力学第六章
流体力学第六章
Q
v
uv
u dy
udy U
y x 0 0 x
x 0
而
0
uK1
v y
dy
0
uK1
u x
dy
1 K
2
0
x
uK2dy
1 K
2
x
0
uK2dy
U K2
于是第二个积分
vuKudy
v
0
y K10 y
uK1
dyK1(x10u(dyU uK2)U dyK1UK2)
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u x
v y
0
0
uk 1
udy x
0
ukv
udy y
p x
0
uk dy
0
uk
2u y2 dy
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
流体力学第六章
b(x) a(x)
ddxx(x)dx
x 0
0
uk1
u y
2
dy
uk2dy Uk1
udy
k 1 x 0
k 1 x 0
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
u y
2 dy
(6-2-3)
流体力学第六章
uk2dyUk1 udy
k1 x 0
k1x0
px0ukdyk0uk1uy2dy
(6-2-3)
上式为哥路别夫积分方程。
第六章 粘性流体动力学基础
28
x面 y面T= z面
x方向 y方向 z方向
σxx
τxy
τxz
τ yx
σ yy
τyz
τ zx
τzy
σ zz
29
压力 压强
（+1）× （+1）＝？+1
应力的方向与力的方向不 是一个概念，其取决于力 的方向和作用面的方向， 其正负按如下规则判断
0.0637m / s
dv 0.10 0.0637 850
Re
1.53 10-2
354 2000
故流动属于层流
24
思考题
1.变直径管流中，细断面直径d1，粗断面直径 d2=2d1，则粗细断面雷诺数关系是 Re1=2Re2
2.为何不能直接用临界流速作为判别流态（层流和 紊流）的标准？
答:因为临界流速跟流体的粘度、流体的密度和管径 （当为圆管流时）或水力半径（当为明渠流时）有关。 而临界雷诺数则是个比例常数，对于圆管流为 2300（2000），应用起来非常方便 .
判断准则 Re<2000,Rec Re>2000,Rec
壁面 速度
与粗糙度无关 速度
与粗糙度有关
瞬时值＝时均值 ＋脉动值
23
例题： 850kg / m3 、 1.53 10-2 kg / m.s
d 10cm Q 0.05l / s 试判别流动状态
解：
Q 4 5 10-5
v A
(0.1)2
26
§6–3 粘性流体的运动方程 N-S方程
微元体受力分析 微元体的受力
柯西方程
除速度外，还有 剪应力、正应力分量
（完整版）流体力学选择题精选题库
（完整版）流体力学选择题精选题库《流体力学》选择题库第一章绪论1．与牛顿内摩擦定律有关的因素是：A、压强、速度和粘度；B、流体的粘度、切应力与角变形率；C、切应力、温度、粘度和速度；D、压强、粘度和角变形。
2．在研究流体运动时，按照是否考虑流体的粘性，可将流体分为：A、牛顿流体及非牛顿流体；B、可压缩流体与不可压缩流体；C、均质流体与非均质流体；D、理想流体与实际流体。
3．下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是。
A、流体的质量和重量不随位置而变化；B、流体的质量和重量随位置而变化；C、流体的质量随位置变化，而重量不变；D、流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化。
4．流体是一种物质。
A、不断膨胀直到充满容器的；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受剪切力的；D、在任一剪切力的作用下不能保持静止的。
5．流体的切应力。
A、当流体处于静止状态时不会产生；B、当流体处于静止状态时，由于内聚力，可以产生；C、仅仅取决于分子的动量交换；D、仅仅取决于内聚力。
6．A、静止液体的动力粘度为0；B、静止液体的运动粘度为0；C、静止液体受到的切应力为0；D、静止液体受到的压应力为0。
7．理想液体的特征是A、粘度为常数B、无粘性C、不可压缩D、符合RT=。
pρ8．水力学中，单位质量力是指作用在单位_____液体上的质量力。
A、面积B、体积C、质量D、重量9．单位质量力的量纲是A、L*T-2B、M*L2*TC、M*L*T(-2)D、L(-1)*T10.单位体积液体的重量称为液体的______，其单位。
A、容重N/m2B、容重N/M3C、密度kg/m3D、密度N/m311.不同的液体其粘滞性_____，同一种液体的粘滞性具有随温度______而降低的特性。
A、相同降低B、相同升高C、不同降低D、不同升高12.液体黏度随温度的升高而____，气体黏度随温度的升高而_____。
B、增大，减小；C、减小，不变；D、减小，减小13.运动粘滞系数的量纲是：A、L/T2B、L/T3C、L2/TD、L3/T14.动力粘滞系数的单位是：A、N*s/mB、N*s/m2C、m2/sD、m/s15.下列说法正确的是：A、液体不能承受拉力，也不能承受压力。
流体力学-势流理论（精品）
第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度V o ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3 流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5） 如图６-4 由（６-4）和（６-5）可得：流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3中的实线。
流体力学--理想流体的流动
2p1 p2
S12 S22
p1 p2 gH
流速：2 S1
2gH S12 S22
,
1
S2
2gH S12 S22
体积流量：QV S22 S1S2
2gH S12 S22
只要读出两个 竖管的高度差， 就可以测量流 速和流量
•二. 流速的测定：
应用实例3. 皮托管：常用的流速测定装置；
补充例题， 水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房间， 水管的内直径为2.0 cm，管内水的流速为4 m/s。引入 到5 m高处二楼浴室的水管，内直径为1.0 cm，
试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为＝103 kg/m3)。
2 16m / s
p2 2.25105 (Pa)
伯努利方程：理想流体在重力场中作稳定流动时，能量守
衡定律在流动液体中的表现形式。
一. 伯努利方程的推导：
稳定流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！
设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处：S1，1，h1, p1 a2处：S2，2，h2, p2 经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：
粘滞力：
粘滞流体在流动中各层的流速不同，相邻两流层之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力和哪些因素有关？
流体内相邻两层内摩擦力的大小：
与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
高二物理竞赛理想流体模型定常流动伯努利方程课件
实际流体的运动规律
2. 定常流动的连续性方程 测流量的文特利流量计如图所示。
当Re>1500时，湍流；
(流体运动学)
流体内任何一点的压强大小只与位置有关。
设在某一时刻，这段流体在a1a2位置，经过极短时间 t后，这段流体达到b1b2位置。
3. 伯努利方程 (理想流体动力学) 实际的流体都可压缩、有粘性(相邻层之间存在内摩擦力)。
2) 室内空气给地板的作用力有多大？ 对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
mg (V ) g 解： 志不真则心不热，心不热则功不贤。
人若有志，万事可为。
治天下者必先立其志。
(1.21kg / m ) 并以非天神 下仙为才己能任烧。陶器，有志的人总可以学得精手艺。3 3.5 4.2 2.4m3 9.8m / s2 418N
mgh1 )
m
(
1 2
v2 2
gh2 )
(1 2
v12
gh1
)
a2 b2
v2 h2 p2 S2
19
伯努利方程
在流动过程中，外力对这段流体所作的功。
因理想流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力。管壁对这段流体的 作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。 故流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体对它作功。 在它后面的流体推它前进，这个作用力作正功； 在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。
• 流体的粘性
– 是其阻止剪切变形或角变形运动的一种量度。 – 如, 粘性大，内聚性大，感到“粘稠”
5
如何描述流体的属性？
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
流体力学第6章(1-6节)
全微分的充分必要条件。
即
d v x dx v y dy v z dz
d dx dy dz x y z
函数Φ的全微分为
比较两式，得到
vx , vy , vz x y z
函数Φ(x, y, z)称为速度势函数，无旋流动又称为有 势流动 。
复速度的三角函数 式和指数式：
dW v (cos i si n ) v e i dz
α O vx
V
vx-ivy
W(z)共轭复变数:
W i f ( z )
z x iy
dW i v x ivy V dz x x
dW dW 2 2 2 vx vy v dz dz
证明： 取微元线段 d s ，过微元线段的速度为 v ，
则单位厚度的微元流量dq的表达式为
dq v d s v x dy v y dx d
通过线段AB的流量为
q dq d B A
A A
B
B
q 2 1
特性3
证明：对于平面势流，有
v x v y 0 x y v y v x x y
由数学分析知，上式正是 v y dx v x dy 成为某一函 数Ψ(x, y)全微分的充分必要条件。
即
d v y dx v x dy
d dx dy x y
函数ψ的全微分为
比较两式，得到
证明：不可压缩流体的连续性方程为 v x v y v z 0 x y z 对于有势流动 得到
vx , vy , vz x y z
2 2 2 2 0 2 2 x y z
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第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于044=-=∂∂+∂∂yVyx Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz =21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=)44(21+-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因 Vx yx ∂∂=∂∂=ψϕ=4x+1 Vy=y∂∂φ=-x ∂∂ψ=-4y d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyφ=⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (4x+1)dx+(-4y)dy=2x 2-2y 2+x d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰ 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解：（1）由于x Vx ∂∂+x Vy∂∂=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz =21(y Vx xVy ∂∂-∂∂)=))2(2(21y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.（3）因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ= x 2-y 2+x, Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=-(2xy+y).d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dyφ=⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy =⎰ (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy=33x -xy 2+(x 2-y 2)/2 d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy=x 2y+xy-y 3/36-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=x ∂∂φ =y ∂∂ψ=2x-1，V y ＝y x y 2-=∂∂-=∂∂ψφ，由于x Vx ∂∂+xVy ∂∂＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰2ydx+(2x-1)dy=2xy-y在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=66-4已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy, 求出速度势函数φ.解： 因 Vx=x∂∂φ=y ∂∂ψ= 1Vy=y∂∂φ=-x ∂∂ψ=-1d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydyφ=⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰dx+(-1)dy=x-yyv x v y yy xxx ∂∂=∂∂=εε, a x=0=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx ； a y =0=∂∂+∂∂+∂∂=yVyVy x Vy Vx t Vy dt dVy 6-5一平面定常流动的流函数为(,)x y y ψ=+试求速度分布，写出通过A （1，0），和B （2.解：1x v y ψ∂==∂, y v xψ∂=-=∂平面上任一点处的速度矢量大小都为2=，与x 和正向夹角都是060=。
A 点处流函数值为3-•301-=+，通过A 点的流线方程为y +=样可以求解出通过B 点的流线方程也是y +=6-6平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx=x∂∂φy ∂∂=ψ=a(3x 2-3y 2) Vy=y∂∂φ=-x ∂∂ψ=-6axy d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x 2-3y 2)dyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰6axydx+a (3x 2-3y 2)dy =3a x 2y-ay 3在A(0,0)点 ψA =0； B （1,1）点ψB =2a ，q=ψA-ψB =-2a. 6-7 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x 2+x-y 2, (Ⅱ)ψ=2xy+y. 证明:对 (Ⅰ)φ=x 2+x-y2Vx=x ∂∂φ=2x+1 Vy=y∂∂φ=-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+yVx y∂∂=ψ=2x+1 Vy=-x∂∂ψ=-2y 可见φ与ψ代表同一流动.6-8 已知两个点源布置在x 轴上相距为a 的两点，第一个强度为2q 的点源在原点，第二个强度为q 的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q >0）。
解: 两个流动的势函数分别为2/122)ln(22y x q +π及2/122))ln(2y a x q+-π, 合成流动的势函数为=φ2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q+-π,(x x v x ∂∂=∂∂=φ2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q +-π)=2222)(2y a x ax q y x x q+--++ππ y y v y ∂∂=∂∂=φ(2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q+-π)=2222)(2ya x yq y x y q+-++ππ 6-9 如图所示，平面上有一对等强度为)0(>ΓΓ的点涡，其方向相反，分别位于（0，h ），（0，-h ）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x 轴的来流v ∞，试求合成速度在原点的值。
解: 平面上无穷远平行于x 轴的来流v ∞, 上,下两点涡的势函数分别为x v ∞，)/)arctan((2x h y -Γ-π, )/)arctan((2x h y +Γπ, 因而平面流动的势函数为x v ∞)/)arctan((2x h y -Γ-π+ )/)arctan((2x h y +Γπ, 22)(2h y x h y v x v x -+-Γ+=∂∂=∞πφ 22)(2h y x h y +++Γ-π,=∂∂=y v y φ22)(2h y x x -+Γ-π+22)(2h y x x++Γπ,将原点坐标(0,0)代入后可得hv v x πΓ-=∞, 0=y v . 6-10 如图，将速度为v ∞的平行于x 轴的均匀流和在原点强度为q 的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。
解: 均匀流和在原点强度为q 的点的势函数分别为x v ∞及22ln 2y x q+π, 因而平面流动的势函数为=φx v ∞+22ln 2y x q+π, 222y x x q v x v x ++=∂∂=∞πφ, =∂∂=y v y φ222yx yq +π,令0,0==y x v v , 得到∞-=v q x π2,0=y . 6-11如图，将速度为v ∞的平行于x 轴的均匀流和在原点强度为q 的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.解: 先计算流场中驻点位置.均匀流和在原点强度为q 的点的势函数分别为x v ∞及22ln 2y x q+π, 因而平面流动的势函数为=φx v ∞+22ln 2y x q+π, 222y x x q v x v x ++=∂∂=∞πφ, =∂∂=y v y φ222y x y q +π,令0,0==y x v v , 得到∞-=v qx π2,0=y .此即流场中驻点位置. 均匀流和在原点强度为q 的点的流函数分别为y v ∞, )arctan(2xyq π,因而平面流动的流函数为=ψy v ∞+)arctan(2xyq π, 在驻点0=ψ, 因而经过驻点的流线方程为y v ∞+)arctan(2xy q π=06-12 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。
解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-x 25,5.022))1ln((210y x +-π, 5.022))1ln((210y x ++-π, 因而平面流动的势函数为=φx 25-+22)1(ln 210y x +-π-22)1(ln 210y x ++π22)1(121025y x x x v x +--+-=∂∂=πφ22)1(1210y x x +++-π, =∂∂=y v y φ22)1(210y x y +-π22)1(210y x y++-π 令0,0==y x v v , 得到15/2+±=πx ,0=y .此即流场中驻点位置.。