苏教版数学高二- 选修2-2试题 1.5.3《微积分基本定理》

1.5.3 微积分基本定理 同步检测 一、基础过关

1．若F′(x)＝x 2，则F(x)的解析式正确的是______．

①F(x)＝13

x 3 ②F(x)＝x 3 ③F(x)＝13x 3＋1 ④F(x)＝13

x 3＋c(c 为常数) 2．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1x≤1，12

x 2x>1，则ʃ20f(x)dx ＝________. 3．ʃ5π0(e x －sin x)dx ＝________. 4．sin 2x 2

dx ＝________. 5．若ʃ10(2x ＋k)dx ＝2，则k ＝________.

二、能力提升

6．由直线x ＝1，x ＝4，y ＝0和曲线y ＝x ＋1围成的曲边梯形的面积是________．

7．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.

8．已知自由落体运动的速度为v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈时，物体下落的距离为________．

9．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

lg x ，x>0x ＋a 03t 2dt ，x≤0，若f ＝1，则a ＝________. 10．计算下列定积分：

(1)ʃ21(e x ＋1x

)dx ； (2)ʃ91x(1＋x)dx ；

(3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)dx ；

11．求曲线y ＝x 2－1(x≥0), 直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的封闭图形的面积．

三、探究与拓展

12．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.

(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；

(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．

答案 1．①③④ 2.83 3．e 5π－3 4.π－24

5．1

6.233

7．－1或13

8.32

g 9．1

10．解 (1)∵(e x ＋ln x)′＝e x ＋1x

， ∴ʃ21(e x ＋1x )dx ＝(e x ＋ln x)|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x(1＋x)＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32

)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x(1＋x)dx ＝(12x 2＋23x 32)|91＝1723

. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，

∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)dx ＝e －0.05x ＋1

|200＝1－e.

11．解 如图所示，所求面积：

S ＝ʃ20|x 2－1|dx

＝－ʃ10(x 2－1)dx ＋ʃ21(x 2－1)dx

＝－(13x 3－x)|10＋(13

x 3－x)|21 ＝1－13＋83－2－13

＋1＝2. 12．解 (1)设点P 的横坐标为t(0

则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx.

S 1＝ʃt 0(tx －x 2)dx ＝16

t 3， S 2＝ʃ2t (x 2－tx)dx ＝83－2t ＋16

t 3. 因为S 1＝S 2，

所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169

)． (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16

t 3 ＝13t 3－2t ＋83

，S′＝t 2－2， 令S′＝0得t 2－2＝0.

∵0

因为00. 所以，当t ＝2时，

S 1＋S 2有最小值83－423

，此时点P 的坐标为(2，2)．