[电子教案]电磁场与电磁兼容 (16)

(r, ) [ Amr m Bmr (m1) ]Pm (cos ) m0
例2.空17气中均匀外电场E0中放置一个半径为 a 的介质球 ，
求球内外电位。
解： ⑴ 2 0
E0
z (r, , )
取 r=0= 0， 则 0 = -E0z = -E0rcos
r a
O
1
0
2
⑵
1(r, ) [ Amr m Bmr (m1) ]Pm (cos )
m0
2 (r, ) [Cmr m Dmr (m1) ]Pm (cos ) m0
1(r, ) [ Amr m Bmr (m1) ]Pm (cos ) m0
① 利用自然边界条件定系数：
• r0 ， 1 为有限值
∴ Bm = 0
1(r, ) Amr mPm (cos ) m0
2 (r, ) [Cmr m Dmr (m1) ]Pm (cos ) m0
f (r) dr dr
d r 2 df (r) m(m 1) f (r) 0 ——欧拉方程 dr dr
令 r et , d d dt et d dr dt dr dt
d
2f dt
(t
2
)
df (t dt
)
m(m
1)
f
(t
)
0
f (t) Aemt Be(m1)t f (r) Ar m Br (m1)
P0 (x) 1
P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
1 2
(3 c os2
1)
P3 ( x)
1 2
(5x3
3x)
1 2
(5 c os3
3 c os
)
P4 (x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 8
(35 c os4
30 c os2
3)
⒉
1 d r 2 df (r) m(m 1)
• r ， 2 0
2 (, ) Cmr mPm (cos ) E0r cos m0
m 1, C1 E0 m 1, Cm 0
2 (r, ) E0r cos Dmr (m1)Pm (cos ) m0
1(r, ) Amr mPm (cos ) m0
2 (r, ) E0r cos Dmr (m1)Pm (cos ) m0
2.7 分离变量法
三.球坐标分离变量
在球坐标中
2
1 r2
r
(r 2
r
)
r2
1
sin
(s in
)
r2
1
sin2
2 2
0
设 (r, ,) f (r)g( )h()
gh r
(r 2
f ) r
fh
sin
(s in
g )
fg
sin2
2h
2
0
1 f
r
(r 2
f ) r
1
g sin
r
ra
Ammam1Pm (cos ) m0
0E0 cos 0 Dm (m 1)a(m2)Pm (cos ) m0
m = 1,
A1 E0 2 0D1a3
…… ③
m ≠ 1,
Amma m1 0 (m 1)Dma(m2) …… ④
m = 1,
A1a E0a D1a2
…… ①
A1 E0 2 0 D1a3 …… ③
令 x = cos ，则
[0, π]
d d dx sin d
d dx d
dx
x [1,1]
d dx
(1
x
2
)
dg ( x) dx
g
(
x)
0
——勒让德方程
d dx
(1
x
2
)
dg ( x) dx
g
(
x)
0
取 = m (m + 1)
m = 0,1,2,3…
g(x)
Pm (x)
Pm (cos
② 利用分界面边界条件定系数：
•r=a
1( a, ) = 2 ( a, )
AmamPm (cos ) E0a cos Dma(m1)Pm (cos )
m0
m0
比较系数法：
m = 1,
A1a E0a D1a2
…… ①
m ≠ 1,
Ama m Dma (m1)
…… ②
•r=a
1
r
ra
0
2
E0r cos
3 0 2 0
E0 z
E1
1
3 0 20
E0 a z
结论：球内电场是均匀的，与外加电场同向，且比外加电场小。
2
E0r
cos
0 20
a 3 E0
1 r2
cos
E
2
E0
0 20
a 3 E0
1 r3
(ar
2 cos
a
sin )
结论：球外电场是均匀电场叠加电偶极子的电场。
习题 2.36 2.37
)
1 2m m!
dm dxm
(x2
1)m
——勒让德多项式
① 奇偶性：m为奇数时，Pm(x)只有奇次项；m为偶数时，
Pm(x)只有偶次项 ② 特殊值：x = 1 ，Pm(1)= 1；x = -1 ，Pm(-1)= (-1)m
③ 正交性：
1 1
Pm
(
x)
Pn
(
x)dx
2 2m 0,
1
,
mn mn
④ 前几项：
(s in
g )
1
h sin2
2h
2
0
一般解（二维）：
1 (r 2 f ) 1
(sin g ) 0
பைடு நூலகம்
f (r) r r g( ) sin
1 (r 2 f )
f (r) r r
1
(sin g )
g( ) sin
⒈
1 d sin dg( ) g( ) sin d d
A1
3 0 0
E0
D1
0 0
a 3 E0
m ≠ 1,
Ama m Dma (m1)
…… ②
Amma m1 0 (m 1)Dma(m2) …… ④
Am 0 Dm 0
1
3 0 20
E0r
cos
(r a)
2
E0r
cos
0 20
a 3 E0
1 r2
cos
(r a)
讨论
1
3 0 2 0