轮换对称方程组及其解法

轮换对称方程组及其解法

【摘要】论文主要介绍轮换式与轮换对称方程组研究方向,随着数学的飞速发展,轮换式与轮换对称方程组的重要性越发的明显,与实际生活联系也越来越多。学习轮换式与轮换对称方程组对理解和学习其他数学知识也是有很大帮助的,他可以给你新的接替方法与思路,使大家在学习新知识更能得心应手。

【关键词】轮换式;对称式;轮换对称方程组

一、轮换式与对称式

1.1轮换式与对称式的概念

如果把一个多元多项式中的所有字母(元),依某种顺序进行轮换(即第一个字母换成第二个字母,第二个字母换成第三个字母,……,第n个字母换成第一个字母),多项式保持不变,则称它是轮换对称多项式,简称轮换式。

例如x+y ,a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),x2y+y2z+z2x等都是轮换式

如果把一个多元多项式中的任意两个字母(元)对调,多项式都保持不变,我们就称它是对称多项式,简称对称式

例如a+b 称为二元一次对称式

ab 称为二元二次对称式

a3+b3+c3-abc 称为三元三次对称式

1.2轮换式与对称式的性质

轮换式的和、差、积、商(整除时)仍是轮换式。

对称式的和、差、积、商(整除时)仍是对称式。

特别地,轮换式与对称式的积、商(整除时)是轮换式

由此可知,对称式的因式一定是对称式;轮换式的因式一定是轮换式(或对称式)。这个特征对对称式、轮换式的因式分解尤为重要。

1.3轮换式与对称式的解法

轮换式与对称式多用于因式分解。

例分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)

解:原式是三元四次齐次轮换式。易见,

当a=b时,原式=0,由此,由因式定理知,它有因式a-b,再由轮换式的性质,经字母轮换式b-c,c-a也是它的因式,由于(a-b)(b-c)(c-a)是三次齐次轮换式,所以原式还应有一个一次因式,显然必为a+b+c(否则原式至少为六次式,例如,若a+b+-c是它的因式,则a+c-b,b+c-a亦是)。令a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)

原式=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 取a=0,b=1,c=2代入上式得k=-1。

所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

二、轮换对称方程组

轮换对称方程组是一类重要的方程组,常见于各种数学竞赛中。由于轮换对称方程组具有特殊的性质,所以,用常规方法解不易奏效。但如果能根据基本特征,抓住其结构特点,则可找到简便解法和解题规律。

第I型轮换对称方程组及其解法

如果把方程组中的未知数依次轮换后,方程组中的每个方程都不变,我们把这类方程组称为第I型轮换对称方程组。解这类方程组的一般方法是,令x+y+z=a, xy+yz+zx=b, xyz=c,通过换元,将其转化对称方程组的基本形式,然后根据方程与根的系数关系,构造方程来解。

例1 求方程组的实数解。

x3+x3y3+y3=17

x+xy+y=5

解:设x+y=u,xy=v,原方程组化为

u3+v3-3uv=17 ⑴

u+v=5 ⑵

⑵3- ⑴得

uv=6⑶

由⑵⑶解得

u=2 u=3

或

v=3 v=2

即

x+y=2 x+y=3

或

xy=3xy=2

由(Ⅰ)知x、y是方程t2-3t+2=0的两个根。因△=4-4*3<0,故(Ⅰ)无实数解。

由(Ⅱ)知x、y是方程t2-3t+2=0的两个根,解此方程得t1=1,t2=2。所以,原方程组得实数解是

x1=1 x2=2

或

y1=2 y2=1

2.2第Ⅱ型轮换对称方程组及其解法

如果把方程组中的未知数依次轮换后,虽然每个方程都变了,但整个方程组不变,我们把这类方程组叫做第Ⅱ型轮换对称方程组。如

x=y2-2

①

y=x2-2

x3-7x-3y=0

②

y3-7y-3x=0

都是第Ⅱ型轮换对称方程组。解这类方程组时,把各方程组轮换相减,总可以分解出两个未知数之差的因式,从而把原方程组化简。

参考文献

[1]罗增儒:《数学竞赛导论》, 陕西师大出版社,2001.7

[2]汤德祥:《竞赛数学精编》, 浙江大学出版社, 1992.4

[3]单樽:《数学奥林匹克》(初、高中版),北京大学出版社, 1991.6

[4]阎建平:《历届奥林匹克数学竞赛试题分析》,学苑出版社, 1992.10

[5]罗增儒:《数学解题学引论》,陕西师大出版社,2001.7