中考试题九年级专题训练：圆的专题1与圆有关的角度计算.docx

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2021年九年级中考专题训练：与圆相关的计算(含答案)

2021中考专题训练：与圆相关的计算一、选择题1. 如图半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A ，C ，则劣弧AC 的长度为( )图A.35πB.45πC.34πD.23π2. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π3. （2020·云南）如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（）A ．B ．1C ．D ．4. 小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知该扇形的半径是5 cm ，弧长是6π cm ，那么这个圆锥的高是( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm5. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A．2 B. 3 C.32 D. 26. 2018·宁夏用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是()A．10 B．20 C．10π D．20π7. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个圆锥的侧面积是()A．30 cm2B．60π cm2C．30π cm2D．48π cm28. （2020·淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A ．2π+2B ．3πC ．D ． 2二、填空题9. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为 .10.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O 的面积等于________．11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为________．12. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是________．13. 如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形OAC .已知圆锥的高h 为12 cm ，OA ＝13 cm ，则扇形OAC 中AC ︵的长是________ cm.(结果保留π)14. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．15. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD ，则四边形ABCD 的周长是________．16. 佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中正五边形的边心距OB 为2，图②中AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝________．三、解答题17. 如图，BE 是☉O 的直径，点A 和点D 是☉O 上的两点，过点A 作☉O 的切线交BE 的延长线于点C. (1)若∠ADE=25°，求∠C 的度数; (2)若AB=AC ，CE=2，求☉O 的半径长.18. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的☉O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H. (1)判断DH 与☉O 的位置关系，并说明理由; (2)求证:点H 为CE 的中点.19. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE. (1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．20. 如图，点A ，B ，C ，D 均在圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝120°，四边形ABCD 的周长为15. (1)求此圆的半径；(2)求图中阴影部分的面积．21.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上(不与点A ，B 重合)，点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E .射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G .设∠GAB ＝α，∠ACB ＝β，∠EAG ＋∠EBA ＝γ. (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似．．数据α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．22. （2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．2021中考专题训练：与圆相关的计算-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 连接OA，OC，则∠OAE＝∠OCD＝90°.∵五边形ABCDE 为正五边形，∴∠E＝∠D＝108°，∴∠AOC＝540°－∠OAE－∠OCD－∠E－∠D＝144°，∴劣弧AC的长度为144180×π×1＝45π.2. 【答案】D3. 【答案】D ．【解析】设圆椎的底面圆的半径为r ，根据题意可知：AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝45°，∴2πr ＝，解得r ＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．4. 【答案】A[解析] 设圆锥的底面圆的半径是r cm ，则2πr ＝6π，解得r ＝3，则圆锥的高是52－32＝4(cm)．5. 【答案】D[解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】如图，点O 的运动路径的长的长+O 1O 2的长，故选：C ．二、填空题9. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.10.【答案】2π 【解析】由题意得，正方形的边长AB ＝2，则⊙O 的半径为2×22＝2，∴⊙O 的面积是(2)2π＝2π.11. 【答案】4π[解析] 设此圆锥的底面圆的半径为r.由题意可得2πr ＝120π×6180，解得r ＝2，故这个圆锥的底面圆的半径为2，所以底面圆的面积为πr2＝4π.12. 【答案】24π13. 【答案】10π[解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为132－122＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．14. 【答案】3 [解析] 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为 3.15. 【答案】8＋82 [解析] 易证四边形ABCD 是正方形．由题意可得AD ＝2＋222×2＝2＋2 2， ∴四边形ABCD 的周长是4×(2＋2 2)＝8＋8 2. 故答案为8＋8 2.16. 【答案】52 2 [解析] 如图①，连接OF ，OE .由题意，知AB ⊥EF ，则S 正五边形AGFED ＝5×S △OEF ＝5×(12EF ·OB )＝2.5×2EF ＝5 2BE .如图②，连接AE .S 正五边形AGFED ＝2×S 四边形ABED ＝2×(S △ABE ＋S △ADE )＝2×(12AB ·BE ＋12DE ·AC )＝AB ·BE ＋DE ·AC ＝AB ·BE ＋2BE ·AC ＝BE ·(AB ＋2AC )，∴5 2BE ＝BE ·(AB ＋2AC )．∴AB＋2AC＝5 2，∴AC＋12AB＝52 2.三、解答题17. 【答案】解:(1)如图，连接OA，∵AC为☉O的切线，OA是☉O的半径，∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∠C=30°.∴OA=OC.设☉O的半径为r，∵CE=2，∴r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.18. 【答案】[解析](1)连接OD，AD，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，根据DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线.(2)连接DE，由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:连接OD，AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE，如图，∵四边形ABDE为☉O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点.19. 【答案】解：(1)CD与半圆O相切．证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切．(2)连接OE.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵.又∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S 弓形AE ＝S 弓形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.又∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三角形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1.由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32，∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.20. 【答案】解：(1)∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∠ADB ＝∠DBC.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴AB ︵＝AD ︵＝DC ︵，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝DC ，∠BDC ＝90°，∴BC 是圆的直径，BC ＝2DC ，∴BC ＋32BC ＝15，解得BC ＝6，∴此圆的半径为3.(2)设BC 的中点为O ，由(1)可知点O 为圆心，连接OA ，OD.∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.根据“同底等高的三角形的面积相等”可得S △ABD ＝S △OAD ，∴S阴影＝S扇形OAD＝60×π×32360＝32π.21. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△A BG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△A BE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)22. 【答案】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°，∴∠ABE＝∠AOE＝36°，同理∠BAC＝×72°＝36°，∴AM＝BM，∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，∴∠BAD＝∠BOD＝72°，∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，∴△BAM∽△BEA，∴，而AB＝BN，∴，设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，∴△AMN∽△BAN，∴，即，则y2＝x2﹣xy，两边同时除以x2，得：，设＝t，则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），∴＝；（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，而AO⊥BE，∴sin18°＝sin∠MAH＝＝＝．。

2021年九年级中考数学专题训练：与圆有关的计算(含答案)

2021中考数学专题训练：与圆有关的计算一、选择题1. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-12π2. 如图，将☉O沿弦AB折叠，AB⏜恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则AB⏜的长为()A.12πB.πC.2πD.3π3. (2019•温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A．3π2B．2πC．3πD．6π4. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A ．2 B. 3C.32D. 25. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π6. (2019•天水)如图，四边形ABCD 是菱形，O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若80D ∠=︒，则EAC ∠的度数为A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒7. 正方形ABCD 与正八边形EFGHKLMN 的边长相等，初始位置如图所示，将正方形绕点F 顺时针旋转使得BC 与FG 重合，再将正方形绕点G 顺时针旋转使得CD 与GH 重合……按这样的方式将正方形ABCD 旋转2020次后，正方形ABCD 中与正八边形EFGHKLMN 的边重合的边是( )A ．AB B ．BC C ．CD D ．DA8.如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A．6π B．3 3π C．2 3π D．2π二、填空题9. 将一块含30°角的三角板如图放置，三角板的一个顶点C落在以AB为直径的⏜的长半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半圆交于点D，若AB=2，则BD为(结果保留π).10. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为.11. 75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，则此弧所在圆的半径是________ cm.12. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是________．13. （2020·黔西南州）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．14. （2020·290º的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为．AB=，将半圆绕点A顺时针旋转60︒，15. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且6点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．16. (2020自贡)如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．三、解答题17. 如图，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点，CN为☉O的切线，OM⊥AB 于点O，分别交AC，CN于D，M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5，AC=4√5，求MC的长.18. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P为小半圆上任一点（不与点A ，B 重合），连接OP 并延长交大半圆于点E ，连接AE ，CP .（1）①求证：△AOE ≌△POC ；②写出∠1，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由.（2）若OC =2OA =2，当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆的位置关系，并求此时S 扇形EOD （答案保留π）.19. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．20. 如图，PB切⊙O 于点B ，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为D ，交⊙O 于点A ，连接AO 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，AF ，BF .(1)若∠AOF ＝120°，⊙O 的半径为3，求：①∠CBF 的度数；②AB ︵的长； ③阴影部分的面积．(2)若AB ＝8，DE ＝2，求⊙O 的半径． (3)求证：直线P A 为⊙O 的切线．(4)若BC ＝6，AD ∶FD ＝1∶2，求⊙O 的半径．2021中考数学专题训练：与圆有关的计算-答案一、选择题 1. 【答案】C [解析]在边长为4的正方形ABCD 中，BD 是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S △ABD =12·AD ·AB=8， S 扇形ABE =45·π·42360=2π，∴S 阴影=S △ABD -S 扇形ABE =8-2π.故选C .2. 【答案】C[解析]连接OA ，OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AEB⏜于点E ，由题可知OD=DE=12OE=12OA ，在Rt △AOD 中，sin A=OD OA =12，∴∠A=30°， ∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴AB⏜的长=nπr 180=2π，故选C .3. 【答案】C【解析】该扇形的弧长=90π63π180⨯=．故选C ．4. 【答案】D [解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD 是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，80D ∠=︒，∴11(180)5022ACB DCB D ∠=∠=︒-∠=︒，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴80AEB D ∠=∠=︒，∴30EAC AEB ACE ∠=∠-∠=︒，故选C ．7. 【答案】A[解析] 由题意可得正方形每旋转8次则回到原来的位置．∵2020÷8＝252……4，∴正方形ABCD 旋转2020次后，AB 与正八边形EFGHKLMN 的边重合．8. 【答案】A二、填空题 9. 【答案】π310. 【答案】5√2[解析]如图，已知☉O ，圆内接正方形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=a2，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即a 22+a 22=52，解得a=5√2.11. 【答案】612. 【答案】24π13. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形的面积计算和图形的旋转．如答图，连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，垂足分别为M ，N ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴DC ＝12AB ＝1，四边形DMCN 是正方形，DM ＝2，∴扇形FDE 的面积为290π1360⨯＝π4．∵CA ＝CB ，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA ，又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，∴DM ＝DN ．∵∠GDH ＝∠MDN ＝90°，∴∠GDM ＝∠HDN ．在△DMG 和△DNH 中，DMG DNH GDM HDN DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ＝12，∴阴影部分的面积为π142-，因此本题答案为π142-．14. 【答案】π，12OAB【解析】本题考查了圆周角、扇形面积公式以及圆锥等知识，如图，由∠AO´B ＝90°知AB 为⊙O 的直径，AB ＝22，所以O´A ＝O´B ＝2，所以S ＝22902360360n r πππ⨯⨯==，根据围成圆锥时扇形的弧长转化为圆锥的底面圆（设底面圆的半径为1r ）的周长得到：19022180r ππ⨯⨯=，解得1r ＝12．因此本题答案为π，12。

2021年全国中考数学真题分类汇编--圆：与圆有关的计算(试卷版)

2021全国中考真题分类汇编（圆）----与圆有关的计算一、选择题1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得，连接 AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C.D.2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB ＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在⊙O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O 上只有唯一的点P ，使得S 扇形FOM ＝S 扇形AOB ．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C ．Ⅰ不对Ⅱ对D ．Ⅰ对Ⅱ不对3. （2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）¶BC2π4πA ．4πB ．6πC ．8πD ．12π4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，AB ＝2，以B 为圆心、BC 长为半径画，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．2πD ．5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. 1 D. 6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（）ABCD AE BC 32π+2π-52π-90︒A.C. D. 17. （2021•浙江省衢州卷）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（）A.B.C. D.8.（2021•遂宁市）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为CDF =15°，则阴影部分的面积为（）A.B. C.D.9. (2021•四川省自贡市)如图，直线与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线于点Q ，绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（）4π12150︒32π3π5π15π16π-16π-20π-20π-22y x =-+3y x =-+OPQ △A. B. C. D. 10.（2021•青海省）如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是（）A ．πm 2 B ．πm 2 C．πm 2 D ．πm 211. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是（）A ．B ．CD ． 12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则：的比值为（）13. （2021•云南省）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若0A ＝3，则劣弧BD 的长是（）23π12π1116π2132πππ2πABCD ABCD S 1S 1S S .A 8π.B 4π.C 41.D 21A ．B ．πC ．D ．2π14.（2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D. 15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（）A. B.C. D.16.（2021•呼和浩特市）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d ，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（）A ．B ．，C ．，D ．ABC V D BC A AD AB AC E F π6π3π22π330cm 120︒5cm 10cm 15cm 20cm πd =8sin 22.5π≈︒d =4sin 22.5π≈︒d =8sin 22.5π≈︒d =4sin 22.5π≈︒17. (2021•内蒙古包头市)如图，在中，，，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A.B. C. D.二．填空题1. ．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为．（结果保留π）2. （2021•怀化市）如图，在⊙O 中，OA ＝3，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）3. （2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．4. （2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 25. （2021•山东省泰安市）若△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为．Rt ABC V 90ACB ∠=︒AB =2BC =8π-4π-24π-14π-6. （2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）7. （2021•广东省）如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B 、点C 为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为_________．8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．9. （2021•浙江省宁波市）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C ，D ，延长交于点P ．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）13ABC 90A ∠=︒4BC =BC AB BCAC ,AC BD O e ,AC BD 120P ∠=︒O e 6cm »CDcmπ10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB＝12，则点B 经过的路径长度为_____．（结果保留π）11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为．12. （2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，那么图中阴影部分的面积为．13. （2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为．14. （2021•重庆市A ）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，∠CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．15. （2021•重庆市B ）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝12，BD ＝16，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）»BC16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E ，以C 为圆心、长为半径画弧交于点F ，则图中阴影部分的面积是_________．17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为．18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm 2．高是5cm ．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm 2；19.（2021•黑龙江省大庆市）如图，作⊙O 的任意一条直经FC ，分别以F 、C 为圆心，以FO 的长为半径作弧，与⊙O 相交于点E 、A 和D 、B ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ，得到六边形ABCDEF ，则⊙O 的面积与阴影区域的面积的比值为；ABCD AB AC BCAC20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角，则这段铁轨的长度米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm ．22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．23. （2021•山东省济宁市）如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，以OB 为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是．24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．25. （2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm ，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm ．26. （2021•内蒙古通辽市）如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝2，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝60°，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是．F C90AOB ∠=︒27. （2021•黑龙江省龙东地区）若一个圆锥的底面半径为1cm ，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的母线长为____ cm ．28. （2021•绥化市）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．三、解答题1. （2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC 分别相切于点E ，F ，BO 平分∠ABC（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝AC ＝3，⊙O 的半径是1，求图中阴影部分的面积．2. （2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小．904cm（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）3.（2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．4.（2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示） ②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．5. （2021•襄阳市）如图，直线经过上的点，直线与交于点和点P a ABC V O ABC V P ABC V 1h 2h 3h AP BP CP ()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△123h h h ++=a P a ABCDE P ABCDE 1h 2h 3h 4h 5h a 12345h h h h h ++++8tan 3611≈°11tan 548≈°O e A O e 4OA =AB O e B //BC OA AC πABCDEF ABCDG G AF G AB O e C BO O e F，与交于点，与交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分面积．6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 BE＝EM ；（2）求证：＝；（3）若AM ＝，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．7. （2021•湖北省黄石市）如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．（1）求证：；D OA O eE DC G OA OB =CA CB =AB O e //FC OA 6CD =PA PB O e A B AC O e OP O e D AB E //BC OP（2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；（3）若，且的长．8. （2021•四川省达州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A ，B 重合），BC ，过点C 作CD ⊥AB ，点D 落在点E 处得△ACE ，AE 交⊙O 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝15°，OA ＝2，求阴影部分面积．9.（2021•湖南省张家界市）如图，在中，=90°，=30°，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交⊙于点，连接.（1）求证：为⊙的切线；E OD OAPB 1sin 3BAC ∠=AD =PA AOB Rt ∆ABO ∠OAB ∠O OB BO C C OA O D AD AD O（2）若=2，求弧的长.10. （2021•江苏省扬州）如图，四边形中，，，，连接，以点B 为圆心，长为半径作，交于点E ．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积．11. （2021•河北省）如图，⊙O 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n （n 为1～12的整数），过点A 7作⊙O 的切线交A 1A 11延长线于点P ．（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；（2）连接A 7A 11，则A 7A 11和PA 1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA 7的值．OB CD ABCD //AD BC 90BAD ∠=︒CB CD =BD BA B eBD CD Be AB =60BCD ∠=︒C。

部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1 圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A ．4πB ．9πC ．5πD ．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C ．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 1的半径等于篮球的半径，⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）A ．⊙O 1B ．⊙O 2C ．两圆增加的面积是相同的D ．无法确定【分析】先由L ＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O 1的半径等于R ，变大后的半径等于R ′；⊙O 2的半径等于r ，变大后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR+1＝2πR ′，2πr +1＝2πr ′，解得R ′＝R +12π，r ′＝r +12π；所以R ′﹣R =12π，r ′﹣r =12π，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π．∴⊙O 1的面积＝πR 2，变大后的面积=π(R +12π)2，面积增加了π(R +12π)2−πR 2＝R +14π，⊙O 2的面积＝πr 2，变大后的面积=π(r +12π)2，面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π，∵R ＞r ，∴R +14π＞r +14π，∴⊙O 1的面积增加的多．故选：A ．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l 2=12πa =12l ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝　13l ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝　14l ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝　1n l ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l n ＝π（1n a ）=1n l ，即每个小圆周长是大圆周长的1n ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较．【解答】解：（2）13l ；（3）14l ；（4）1n l ；1n ；每个小圆面积＝π（12•1n a ）2=14•πa 2n 2，而大圆的面积＝π（12•a ）2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1．n2【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1B．4C．10D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有　1　条直径，有　4　条弦，以点A为端点的优弧有　2　条，有劣弧　2　条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　4　个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，+y2=362y⋅x=18，则y=18x，∴x2+(18x)2=36，解得x＝∴OC＝4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAℎ=18，即12×6ℎ=18，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　能　确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为　（2，1）　．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，cm，解得：R=253cm．∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=cm）；∵CA＝2cm，∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm，∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO　＝5cm　时，点P在⊙O上；当PO　＜5cm　时，点P在⊙O内；当PO　＞5cm　时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A 上的一个动点，则m2+n2的最大值为　36　．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA5，OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO 的中点为C，则线段AC的最小值为　2　．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，BD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，BD＝2，即线段AC的最小值为2；∴AC=12故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝　48°　．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，（180°﹣84°）＝48°，∴∠A=12又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB 上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1②，2在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1②，2∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A ．B ．8C ．6D ．5【分析】连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5．故选：D ．【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与C ，D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO +EB ＝　2　．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD ＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵⊙O 的周长为4π，∴OD ＝2，∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ，∵BE ∥OC ，∴∠EBD ＝∠C ，∴∠EBD ＝∠D ，∴BE ＝DE ，∴EO +EB ＝OD ＝2，故答案为：2．【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＜BD ，若CD ＝2cm ，AB ＝5cm ，求AD 、AC 的长．【分析】由直径AB ＝5cm ，可得半径OC ＝OA =12AB =52cm ，分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长．【解答】解：连接OC ，∵AB ＝5cm ，∴OC ＝OA =12AB =52cm ，Rt △CDO 中，由勾股定理得：DO =32cm ，∴AD =52−32=1cm ，由勾股定理得：AC ==则AD 的长为1cm ，AC ．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E 、F ，求EF 的长．【分析】连接OD ，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD ．∵OC ⊥AB DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1，他15做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了1，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取23）【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．故答案为：20π米．=8（米），8÷2＝4（米），（2）10×2＝20（米），20×223=12（米），12÷2＝6（米），20×323方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．（3）乙的钱数=115甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（）米．A．51πB．102πC．153πD．204π【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长　51.81　m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．【解答】解：4÷2＝2（cm），7÷2＝3.5（cm），胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．故答案为：51.81．【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点　E　．【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了多少周，即可确定．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm 到E点．故答案是：E．。

2020-2021学年九年级中考专题复习：与圆相关的计算（含答案）

2020-2021学年九年级中考专题复习：与圆相关的计算（含答案）2020-2021中考专题复习：与圆相关的计算⼀、选择题1. 将圆⼼⾓为90°，⾯积为4π cm 2的扇形围成⼀个圆锥的侧⾯，则此圆锥的底⾯圆的半径为( )A . 1 cmB . 2 cmC . 3 cmD . 4 cm2. 如图在等边三⾓形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°3. 如图，在边长为4的正⽅形ABCD 中，以点B 为圆⼼，AB 长为半径画弧，交对⾓线BD 于点E ，则图中阴影部分的⾯积是(结果保留π) ( )A .8-πB .16-2πC .8-2πD .8-π4. （2020·聊城）如图，有⼀块半径为1m ，圆⼼⾓为90°的扇形铁⽪，要把它做成⼀个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的⾼为（）A ．41mB ．43mC ．415m D ．23m5. 如图，在边长为4的正⽅形ABCD 中，以点B 为圆⼼，AB 长为半径画弧，交对⾓线BD于点E ，则图中阴影部分的⾯积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π6. 2019·唐⼭乐亭期末如图，圆锥的底⾯半径OB ＝6 cm ，⾼OC ＝8 cm ，则这个圆锥的侧⾯积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 27. （2020?宁夏）如图，等腰直⾓三⾓形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝，以点C为圆⼼画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的⾯积是（）A ．1﹣B ．C ．2﹣D ．1+8. 如图所⽰，矩形纸⽚ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正⽅形纸⽚ABFE 和矩形纸⽚EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最⼤的圆，恰好能作为⼀个圆锥的侧⾯和底⾯，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm⼆、填空题9. 在半径为5的圆形纸⽚上裁出⼀个边长最⼤的正⽅形纸⽚，则这个正⽅形纸⽚的边长应为 .10. 若圆锥的侧⾯积是15π，母线长是5，则该圆锥底⾯圆的半径是________．11.(2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆⼼⾓60AOB ?∠=，则阴影部分⾯积为________．12. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所⽰的恒星图形，那么这个恒星图形的⾯积等于 .13. （2020·宿迁）⽤半径为4，圆⼼⾓为90°的扇形纸⽚围成⼀个圆锥的侧⾯，则这个圆锥的底⾯半径为．14. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三⾓形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的⾯积是________．15. (2019?⼗堰)如图，AB 为半圆的直径，且6AB =，将半圆绕点A 顺时针旋转60?，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的⾯积为__________．16. （2020·宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为边AD 上⼀个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ．当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平⾯内扫过的⾯积为．三、解答题17. 如图，四边形ABCD 是正⽅形，以边AB 为直径作☉O ，点E 在BC 边上，连接AE 交☉O 于点F ，连接BF 并延长交CD 于点G . (1)求证:△ABE ≌△BCG. (2)若∠AEB=55°，OA=3，求的长.(结果保留π)18. 当汽车在⾬天⾏驶时，司机为了看清楚道路，要启动前⽅挡风玻璃上的⾬刷．如图是某汽车的⼀个⾬刷的转动⽰意图，⾬刷杆AB 与⾬刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，⾬刷CD 扫过的⾯积是图中阴影部分的⾯积，现量得CD ＝90 cm ，∠DBA ＝20°，AC ＝115 cm ，DA ＝35 cm ，试从以上信息中选择所需要的数据，求出⾬刷扫过的⾯积．QPDCBA19. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的⼀点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂⾜为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的⾯积．20. 如图，A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，连接AC ，CE ，EB ，BD ，DA ，得到⼀个五⾓星图形和五边形MNFGH. (1)计算∠CAD 的度数； (2)连接AE ，求证：AE ＝ME.21. 如图所⽰，圆锥的底⾯圆的半径为10 cm ，⾼为10 15 cm.(1)求圆锥的全⾯积；(2)若⼀只⼩⾍从底⾯上⼀点A 出发，沿圆锥侧⾯绕⾏到母线SA 上的点M 处，且SM ＝3AM ，求它所⾛的最短路程．22. (2019?辽阳)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若23CE AE ==，求阴影部分的⾯积．2020-2021中考专题复习：与圆相关的计算-答案⼀、选择题1. 【答案】 A 【解析】设扇形的半径为R ，根据题意得90·π·R 2360＝4π，解得R ＝4，设圆锥的底⾯圆的半径为r ，则2πr ＝90·π·4180，解得r ＝1，即所围成的圆锥的底⾯圆的半径为1 cm.2. 【答案】A [解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n 180π·a ＝a ，解得n ＝180π.3. 【答案】C[解析]在边长为4的正⽅形ABCD 中，BD 是对⾓线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S △ABD =·AD ·AB=8，S 扇形ABE ==2π，∴S 阴影=S △ABD -S 扇形ABE =8-2π.故选C .4. 【答案】C 【解析】先利⽤弧长公式求得圆锥的底⾯半径，再利⽤勾股定理求圆锥的⾼．设圆锥形容器底⾯圆的半径为r ，则有2πr ＝180190?π，解得r ＝41，则圆锥的⾼为22)41(1-＝415(m)．5. 【答案】C [解析] 在边长为4的正⽅形ABCD 中，BD 是对⾓线，∴AD ＝AB ＝4，∠BAD ＝90°，∠ABE ＝45°，∴S △ABD ＝12AD·AB ＝8，S 扇形BAE ＝45·π·42360＝2π，∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形BAE ＝8－2π. 故选C.6. 【答案】B7. 【答案】A8. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·DE.∵裁出的扇形和圆恰好能作为⼀个圆锥的侧⾯和底⾯，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.⼆、填空题9. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正⽅形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正⽅形的边长为a ，由垂径定理及正⽅形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即2+2=52，解得a=5.10. 【答案】3 [解析] 设该圆锥底⾯圆的半径是r ，则πr×5＝15π，解得r ＝3.11. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形⾯积的计算，解题的关键是熟记扇形⾯积的计算公式．阴影部分⾯积为26066360ππ?=，故答案为：6π．12. 【答案】4-π[解析]如图，∵新的正⽅形的边长为1+1=2，∴恒星的⾯积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.13. 【答案】1【解析】解法⼀：设这个圆锥的底⾯半径为r ，由题意得2πr ＝904180π?，解得r ＝1，故答案为1．解法⼆：设这个圆锥的底⾯半径为r ，由题意904360r ? =?，解得r ＝1，故答案为1．14. 【答案】3π【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三⾓形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为3，∴阴影部分的⾯积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.15. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的⾯积为：22260π6π(62)π(62)6π36022÷?÷+-=，故答案为：6π．16. 33π．【解析】如答图，图中阴影部分的⾯积即为点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平⾯内扫过的⾯积．∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3ABC ＝∠BAC ＝∠C ＝∠Q ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ＝∠ODB ＝∠OBQ ＝30°．∴∠ABQ ＝120°．易知△BOQ ≌△DOC ．S 阴影部分＝S 四边形ABQD －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △BOQ －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S△COD －S 扇形ABQ＝S矩形ABCD－S扇形ABQ＝1×3－2 1201360π?＝33π-．故答案为33π-．三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是正⽅形，AB为☉O的直径，∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC，∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°，∴∠EBF=∠BAF，在△ABE与△BCG中，∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，∴∠BAE=90°-55°=35°，∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3，∴的长==.18. 【答案】解：由题意可知△ACD≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD处，使阴影部分⾯积成为⼀部分环形⾯积，可通过两扇形⾯积之差求得，即⾬刷CD 扫过的⾯积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：⾬刷扫过的⾯积为3000π cm2.19. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD. ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD. ⼜∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切． (2)连接OE. ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵. ⼜∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S ⼸形AE ＝S ⼸形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.⼜∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三⾓形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1. 由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32，∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.20. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴∠COD ＝360°5＝72°，∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵，∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°，∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.21. 【答案】解：(1)SA ＝102＋（1015）2＝40(cm)， S 全＝S 底＋S 侧＝π×102＋10π×40＝500π(cm2)．故圆锥的全⾯积是500π cm2.(2)如图，设圆锥的侧⾯展开图为扇形SAA′，点M 对应扇形上的点M′，圆锥侧⾯展开图(扇形)的圆⼼⾓为n°.由题意，得SM′＝SM ＝34SA ＝34×40＝30(cm)．⼜∵S 侧＝10π×40＝n360π×402，∴n ＝90，∴∠ASM′＝90°.由勾股定理，得AM′＝SA2＋SM′2＝402＋302＝50(cm)．即它所⾛的最短路程是50 cm.22. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE 于F ，∴90AFO ∠=?，∴90EAO AOF ∠+∠=?，∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠，∵12EDA AOE ∠=∠，∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=?，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=?，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线． (2)∵23CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=?，∴30EAC ∠=?，60EAO ∠=?，∴OAE △是等边三⾓形，∴OA AE =，60EOA ∠=?，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 3OF OA EAO =?∠==，∴11322AOE S AE OF ===△∴阴影部分的⾯积=2π-。

2023中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲圆(含答案)(全国通用版)

第十二讲圆专项一圆的相关概念及性质知识清单1．圆的定义及其相关概念圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，BC是直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）．圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）．圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________．4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=12∠BOC（如图2）．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆内接四边形的对角______．考点例析例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（）A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm图1分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长．归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，OD，CD四个量中，OB=OD+CD，2222ABOD OB⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余两个都能求出来．例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．图2分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径．例3如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．图3分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长．解：归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题．跟踪训练1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°第1题图2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E 两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．第5题图专项二与圆有关的位置关系知识清单1. 点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有点P在圆外⇔d___r；点P在____⇔d____r；点P在圆内⇔d____r．2. 直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有直线l与⊙O相交⇔d___r；直线l与⊙O相切⇔d___r；直线l与⊙O____⇔d___r．3. 切线的性质定理:圆的切线____于过切点的半径.4.切线的判定（1）和圆只有____个公共点的直线是圆的切线.（2）经过半径的外端并且____于这条半径的直线是圆的切线.（3）如果圆心到一条直线的距离____圆的半径，那么这条直线是圆的切线.5. 切线长定理（选学）切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间____叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角.6. 三角形的外接圆与内切圆外接圆内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置三角形三条边的垂直平分线的交点三角形三条角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等考点例析例1 如图1-①，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．①②图1分析：如图1-②，当⊙O平移最靠近点C，即当⊙O与CB，CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，结合切线的性质定理和切线长定理求解．例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．图2分析：（1）连接OD，根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证∠EDO＝90°，从而判定DE与⊙O相切；（2）先在Rt△BDC中求出BC，BD的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得⊙O的直径．解：归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径，证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂线，证半径）．跟踪训练1．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD的度数为（）A．27°B．29°C．35°D．37°第1题图第2题图2．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO等于（）A．30°B．35°C．45°D．55°3．如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．第3题图4．如图①，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图②，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．①②第4题图5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD ＝AC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠ACE＝13，OE＝3，求BC的长．第5题图专项三弧长与扇形面积的计算知识清单1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l =_______．2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S=_______；在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为l的扇形的面积S=_______．考点例析例1如图1，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12π cm，则n ＝．图1分析：物品A被传送的距离等于转动轮转n°的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为n值．例2 如图2，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．4πC．33πD．233π图2分析：阴影部分是以AC为半径、以∠CAE为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与∠CAE的度数，根据扇形的面积公式计算．例3设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+l＝6，列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值．归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．跟踪训练1．图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA 的长为30 cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则CD的长为（）A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．25π cm①②第1题图2．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．1712π m2B．7712π m2C．254π m2D．176π m2第2题图3．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含π的代数式表示），圆心角为度．4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD 上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为．第4题图专项四正多边形与圆知识清单1．正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的______，这个圆就是这个正多边形的______．2．与正多边形有关的概念如图，已知正n边形的边长为a，半径为R，则这个正n边形的每个内角为180nn（-2），中心角α=______，边心距r=______，周长l=na，面积S=12 nar．考点例析例1 如图1，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）A．9πB．92πC．32πD．94π图1分析：连接OA，OB，则△OAB为等腰直角三角形．由正方形ABCD的面积为18，可求得边长AB，进而可得半径OA，根据弧长公式可求AB的长．例2（2021·河北）如图2，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．（1）通过计算比较直径和劣弧711A A的长度哪个更长；（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长P A7的值．图2分析：（1）利用弧长公式求劣弧711A A的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆周角定理证明；（3）由切线的性质可得Rt△P A1A7，解此三角形可得P A7的值．解：跟踪训练1．（2021·贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°第1题图2．（2021·绥化）边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．3．（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”如图①，点C把线段AB分成两部分，如果512CBAC=≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．第3题图（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（结果保留根号）（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；①作两条相互垂直的直径MN，AI；②作ON的中点P，以P为圆心，P A为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．专项五圆中的数学思想1. 方程思想例1（2021·西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC ＝．图1分析：先由垂径定理求得CE的长，再在Rt△OCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可．2. 分类讨论思想例2（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为3AB所对的圆周角的度数为．分析：弦AB所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论．解答时，利用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求弦AB 所对的圆周角的度数．3．转化思想例3 （2021·枣庄）如图2，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为（）A ．π﹣1B ．π﹣3C ．π﹣2D ．4﹣π图2分析：连接BD ，则OD 与线段OD 围成的图形面积等于OB 与线段OB 围成的图形面积，故阴影部分的面积等于扇形CBD 与直角三角形CBD 的面积之差．归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算．跟踪训练1．（2021·兴安盟）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于（）A ．2π﹣1B ．2π﹣2C ．π﹣1D ．π﹣2第1题图2．（2021·青海）点P 是非圆上一点，若点P 到⊙O 上的点的最小距离是4 cm ，最大距离是9cm ，则⊙O 的半径是．3．（2021·绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm ．参考答案专项一圆的相关概念及性质例1 B 例2 2例3（1）连接BD．因为∠ACD＝30°，所以∠B＝∠ACD＝30°．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．所以∠DAB＝90°﹣∠B＝60°．（2）因为∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，所以AD＝12AB＝2．因为∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，所以EF＝DE＝AD·sin60°所以DF＝2DE＝1．B 2．B 3．B 4．13°5．（1）证明：因为AC∥BE，所以∠E＝∠ACD．因为D，C为ACB的三等分点，所以BC CD AD==．所以∠ACD＝∠A．所以∠E＝∠A．（2）解：由（1）知BC CD AD==，所以∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．所以BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE．所以CB BDBD DE=，即355DE=，解得DE＝253．所以CE＝DE﹣CD＝253﹣3＝163．专项二与圆有关的位置关系例1 +1例2 （1）证明：连接OD．因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠BDC＝90°．因为E是BC的中点，所以DE＝CE＝BE，所以∠EDC＝∠ECD．又OD ＝OC ，所以∠ODC ＝∠OCD ．因为∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠ODC+∠EDC ＝90°，即∠EDO ＝90°．所以DE ⊥OD ．又OD 为⊙O 的半径，所以DE 与⊙O 相切．（2）解：由（1），得∠BDC ＝90°，DE ＝CE ＝BE ．因为DE ＝52，所以BC ＝5．所以BD =＝4．因为∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，所以△BCA ∽△BDC ．所以AC BC CD BD =，即534AC =．解得AC ＝154．所以⊙O 的直径为154． 1．A 2．B 3．1804．（1）证明：连接OB ．因为直线MN 与⊙O 相切于点D ，所以OD ⊥MN ．因为BC ∥MN ，所以OD ⊥BC ．所以BD CD =．所以∠BOD ＝∠COD ．因为∠BAC ＝12∠BOC ，所以∠BAC ＝∠DOC ．（2）解：因为E 是OD 的中点，所以OE ＝DE ＝2．在Rt △OCE 中，CE =由（1）知OE ⊥BC ，所以BE ＝CE ＝又O 是AC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线．所以AB =2OE =4．因为AC 是⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°．在Rt △ABE 中，AE ==5．（1）证明：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即∠ACE +∠BCE ＝90°．因为AD ＝AC ，BE ＝BC ，所以∠ACE ＝∠D ，∠BCE ＝∠BEC ．又∠BEC ＝∠AED ，所以∠AED +∠D ＝90°．所以∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE ．因为OA 是⊙O 的半径，所以AD 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），得tan ∠ACE ＝tan D ＝13，设AE ＝a ，则AD ＝AC ＝3a ．因为OE ＝3，所以OA ＝a +3，AB ＝2a +6，BE ＝BC ＝a +3+3＝a +6．在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2+AC 2，即（2a +6）2＝（a +6）2+（3a ）2，解得a 1＝0（舍去），a 2＝2．所以BC ＝a +6＝8．专项三弧长与扇形面积的计算例1 120 例2 A 例3 C1．B 2．B 3．12π 216 4．54π 专项四正多边形与圆例1 C例2 （1）连接OA 7，OA 11．由题意，得∠A 7OA 11＝120°，所以711A A 的长为12064180ππ⨯=＞12．所以劣弧711A A 的长度更长．（2）P A 1⊥A 7A 11．理由：连接A 7A 11，OA 1．因为A 1A 7是⊙O 的直径，所以∠A 7A 11A 1＝90°．所以P A 1⊥A 7A 11．（3）因为P A 7是⊙O 的切线，所以P A 7⊥A 1A 7，所以∠P A 7A 1＝90°．因为∠P A 1A 7＝60°，A 1A 7＝12，所以P A 7＝A 1A 7•tan 60°＝1．A 23．解：（1）AC 的长为50．（2）点Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为r ，则OP ＝12r ，所以PQ ＝AP=．所以OQ ＝QP ﹣OP﹣12rr ，MQ ＝OM ﹣OQ ＝r．所以2MQ OQ =Q 是线段OM 的黄金分割点．（3）如图，作PH ⊥AE 于点H ．由题可知，AH ＝EH ．因为正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，所以∠PEH ＝180°﹣108°＝72°，即cos ∠PEH ＝cos72°＝EH PE．因为点E 是线段PD 的黄金分割点，所以DE PE＝12．又DE ＝AE ，HE ＝AH ＝12AE ，所以cos72°＝111222AE EH AE DE PE PE PE PE==⨯=⨯．第3题图专项五圆中的数学思想例1 294例2 60°或120°例3 C1．D 2．6.5cm或2.5cm 3．40。

初三中考圆练习题

初三中考圆练习题圆是几何学中的基本概念之一，它在生活中随处可见，也是数学课程中常见的考点之一。

为了帮助初三学生更好地掌握圆的基本性质和计算方法，下面将给出一些中考圆的练习题，供同学们参考。

1. 已知圆的半径为r，求圆的直径、周长和面积。

解析：圆的直径是半径的两倍，即d = 2r；圆的周长可以用公式C= 2πr计算，其中π取3.14；圆的面积可以用公式A = πr²计算。

2. 在平面直角坐标系中，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，求圆心坐标和半径的值。

解析：圆心坐标为(a, b)，半径的值为r。

3. 如果一个圆的周长为36π cm，求其面积。

解析：根据周长公式C = 2πr，可得36π = 2πr，化简后可得r = 18。

圆的面积可以用公式A = πr²计算，代入r = 18即可得到面积的值。

4. 已知圆的面积为100π cm²，求其周长。

解析：根据面积公式A = πr²，可得100π = πr²，化简后可得r² = 100。

求得r = 10。

圆的周长可以用公式C = 2πr计算，代入r = 10即可得到周长的值。

5. 在平面直角坐标系中，圆心为O(2, 3)，半径为5，求圆的方程。

解析：根据圆的方程(x-a)² + (y-b)² = r²，代入已知条件可得方程(x-2)² + (y-3)² = 25。

通过以上练习题的解析，相信同学们对圆的基本性质和计算方法有了更深入的理解。

在解题过程中，同学们可以利用已知条件，运用相应的公式进行计算，从而得到正确的答案。

此外，同学们在复习圆相关知识时还需注意以下几点：1. 圆的半径、直径、周长和面积的计算方法；2. 圆心坐标和半径的关系；3. 圆的方程及其意义。

希望同学们能在中考中轻松应对圆的相关题目，取得优异的成绩。

(word完整版)初三圆的经典练习题

圆的概念和性质例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（） A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条BPAOACBDO P11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

人教版九年级数学上册《圆中的角度计算》必考题型专项分类专题练习

人教版九年级数学上册《圆中的角度计算》必考题型专项分类专题练习《圆中的角度计算》必考经典题型专项分类专题练习题型一：垂径定理中的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,则∠AEO的度数是________.=AC?,∠A=30°,则∠B= ( )2.如图所示,在☉O中,ABA.150°B.75°C.60°D.15°3.如图,在☉O中,直径AB∥弦CD,若∠COD=120°,则∠BOD=________°.=AC?,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠COA.4.如图,在☉O中,AB题型二：和圆周角、圆心角相关的角度计算=AC?,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )1.在☉O中,ABA.40°B.30°C.20°D.15°2.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°3.如图,点A,B,C在☉O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B= 。

4.如图,已知经过原点的☉P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB= 。

5.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,求∠CAD的度数。

题型三：和切线有关的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,AC切☉O于A,BC交☉O于点D,若∠C=70°,则∠AOD 的度数为( )A.70°B.35°C.20°D.40°2.在△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,点I为△ACD 的内切圆圆心,则∠AIB的度数是( )A.120°B.125°C.135°D.150°【解析】选C.如图所示,因为I 为△ACD 的内切圆圆心,则IA 平分∠BAC,即∠IAD=∠IAC,则△AIB ≌△AIC,则∠AIB=∠AIC.在△AIC 中,∠AIC=180°-12∠DAC-12∠ACD=180°-12(∠DAC+∠ACD). 又∠DAC+∠ACD=90°,所以∠AIC=180°-12×90°=135°,即∠AIB=135°.3. 如图,△ABC 中,内切圆I 和边BC,AC,AB 分别相切于点D,E,F,P 为EF ?上任一点,若∠BAC=40°,求∠EDF 和∠EPF 的度数.4. 如图,在△ABC 中,以BC 为直径的圆交AC 于点D,∠ABD=∠ACB.(1)求证:AB 是圆的切线.(2)若点E 是BC 上一点,已知BE=4,tan ∠AEB=53,AB ∶BC=2∶3,求圆的直径.题型四：扇形、多边形中的角度计算1.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则∠PAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°2.如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.(1)求证:AD是半圆O的切线.(2)连接CD,求证:∠A=2∠CDE.的长.(3)若∠CDE=27°,OB=2,求BD3. (1)如图,EF是☉O的直径,请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD,要求所作正方形的一组对边AD,BC垂直于EF.(见示意图;不写作法,保留作图痕迹). (2)连接EA,EB,求出∠EAD,∠EBC的度数.《圆中的角度计算》必考经典题型八项分类专题练习（答案版）题型一：垂径定理中的角度计算1.如图,AB是☉O的直径,BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,则∠AEO的度数是________.【解析】∵BC?=CD?=DE?,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,×(180°-78°)=51°.∴∠AEO=12答案:51°=AC?,∠A=30°,则∠B= ( )2.如图所示,在☉O中,ABA.150°B.75°C.60°D.15°【解析】选B.∵在☉O中,AB?=AC?,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B=180°?30°=75°.23.如图,在☉O中,直径AB∥弦CD,若∠COD=120°,则∠BOD=________°.【解析】∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵∠COD=120°,∴∠C=∠D=30°,∵AB∥CD,∴∠BOD=∠D=30°.答案:30=AC?,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠COA.4.如图,在☉O中,AB【证明】∵AB?=AC?,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∴∠AOB=∠BOC=∠COA.题型二：和圆周角、圆心角相关的角度计算=AC?,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )1.在☉O中,ABA.40°B.30°C.20°D.15°【解析】选C.由AB?=AC?可知,AB?与AC?所对的圆心角的度数相等,又因为×40°=20°.∠AOB=40°,所以AC?所对的圆心角的度数为40°,所以∠ADC=122.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°【解析】选A.∵A,B,C是☉O上的三点,∠B=75°,∴∠AOC=2∠B=150°.3.如图,点A,B,C在☉O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B= 。

九年级数学上期期末复习专题：《与圆有关计算例析》(Word版.含解析、点评和练习)

与圆有关的计算例析第 1页（共 6页）第 2页（共 6页）九年级上期期末专题复习：与圆有关的计算例析知识要点：制卷：赵化中学郑宗平1、弧长的计算公式:180n rl p =o; 2、扇形的面积公式：2360n S r p = o或12S lr =； 3、圆柱的侧面积：2S r h p = 圆柱的全面积：222S r hr p p =?全；4、圆锥的侧面积：S rm p = 圆锥的全面积：2()S rm r r m r p p p =+=+全注：m 为母线长。

5、求不规则阴影部分的常用技巧：①、旋转、平移、翻折；②、割补转化；③、作差法：叠合剖析、S 阴影=S 整体-S 空白；④整体代换法；⑤、基本图切割法；⑥、等积变换；⑦、……专题一：与圆有关计算的基本题型例析例1、如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆分别切两直角边于D 、E ，求»DE的长度？分析：“遇切点，连半径，得垂直”.当连接OE 、OD 后（见分析图），根据切线和切线长的性质，容易得出四边形OECD 是正方形以及圆心角∠EOD=90°的结论，此时根据弧长公式要求»DE只缺半径的条件，利用勾股定理在Rt △ACB 中求出BC 28=情况下有两条途径可以求出半径：其一、设⊙O 半径OD 为x ，则,CD x BD 28x ==-则,在Rt △ODB ,利用勾股定理可以建立方程：()222x 28x 20+-=，从而使问题得以解决.其二、利用九年级数学下册第27章的相似的相关知识可以得出OD ODAC AB=,当然更简单，同学课外可以预习27章的相似内容，这个方法供同学们课外继续探讨.练习：1、求出例1中的»DE的长度. 2.实线部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为 .例2、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点O 在斜边AB 上，半径为2，⊙O 过点B 切AC 于D ，交BC 边于点E ，则由线段CD 、EC 及»DE围成的阴影部分的面积为 .分析：由于阴影部分是一个“不规则”的图形，我们可以考虑用“割补法” 转化在规则的图形来解决.如果连接OE 、OD （见分析图），“不规则”阴影是直角梯形EOBC 的一部分，根据图形面积的和差关系可以得出式子:S 阴影=S 梯形EODC - S 扇形EOA ,式子中所涉及到的都可以通过题中的条件求出（见分析图）.练习：1.上面例2 分析图红色数字标示的线段的长度是怎样求出？计算CD 、EC 及»DE围成的阴影部分的面积？2.已知直角扇形AOB ，半径OA=2cm ，以OB引MP ∥AO 交»AB 于P ，求»AB 与半圆弧及MP例3、该圆铁皮中剪出圆心角是90°的最大扇形ABC ，求： ⑴.被剪掉的阴影部分的面积?⑵.少？圆锥的高又是多少？（结果可用根号表示） ⑶.求圆锥的全面积？分析：⑴.要求阴影部分的面积，关键是求出扇形BAC 的面积，涉及到的的半径在Rt △BAC 中利用勾股定理. S 阴影=S 圆 - S 扇形BAC . ⑵.由于圆锥的侧面展开图就是一个扇形，而圆锥底圆的周长就是扇形的弧长，通过圆周长公式可以求出圆锥底圆的半径；圆锥的高可以化在如分析图所示的Rt △AOC 来求. ⑶. 圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底圆的面积之和.练习:1.计算出例3中三个问中的结果.2.圆锥的底面直径AB=2，母线PA=4，试求从点A 出发沿圆锥表面到母线 PB 的最短距离？OA BPx28x-20分析图42122分析图分析图与圆有关的计算例析第 3页（共 6页）第 4页（共 6页）专题二：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧一、旋转、翻折为特殊图形：图①的第一个图是直角扇形OAB 和直角扇形OCD 搭建的，其中OA=9，OB=4，要求阴影部分的面积，可以将△ODB 旋转至△OAC 来求扇环BDCA 的面积更简便（见图①的第二个图）. 图②的第一个图中是直角扇形OAB 和正方形OFED 以及矩形OACD ，其中OF=1，要求阴影部分的面积，可以将半弓形ODB 沿正方形对角线翻折至EFA 来求矩形ACEF 的面积更简便（见图②的第二个图）图②略解：连结OE，OA OE =FA OA OF 1=-=所以S矩形ACEF=FA EF 111⋅=⨯=.点评：旋转、翻转、平移就是要我们在遇见若涉及求问的是分散的、不规则的图形，要善于转化到一个“规则”的图形来解决，用运动变化的观点来认识图形，在很多涉及到几何图形的都有运用，比如在旋转中就有“转一转，得答案”的说法.二、平移到特殊位置：图①的第一个图大圆⊙O 的弦AB 长为32cm ，并与小圆⊙O ′相切，要求阴影部分的面积可以将小圆⊙O ′向右平移至大圆⊙O 使圆心重合（见容易；图②在图②假设两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切与点D ，MN ∥AB ，MN=8cm, ON 、CD 分别是两圆的半径，求阴影部分的面积?分析：若将半圆⊙'O 平移至半圆⊙O 的圆心O 处使圆心'O 与圆心O 重合（见图②组图第二个图），此时若切点若为C ，连结OC 和OB ,此时半个圆环的阴影面积就是图②组图第一个图阴影的面积，根据切线的性质、垂径定理和勾股定理的相关知识点，易求得：S 阴影()2222211111OB OC BC AB 1612822222π⎛⎫=-==⨯=⨯= ⎪⎝⎭三、割补转化为一个整体：如图第一个图是以等腰Rt △AOB 的直角顶点O 为圆心画出的直角扇形OAB 和以OA 、OB 为直径画出的两个半圆组成的图形，要求第一个图形阴影，可以按如图所示路径割补成一个弓形（见第二个图中的标示）更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10，求出第一个图形阴影部分的面积？略解：S 阴影 =2B0A 11S S AOB 101010255042ππ-=⨯⨯-⨯⨯=-扇形点评：割补就是要就是要涉及求问的分散的、不规则的图形转化到一个“规则”的整体图形来解决. 割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.四、作差法：1、求叠合图中形的阴影：图①是教材114页的第3题，可以用四个半圆的面积之和减去正方形的面积得到阴影部分的面积；图②（2011年.自贡市中考题）△ABC 中，AB=BC=6，AC=10，分别以AB ，BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．略解：△ABC 的底边AC == =2ABC1161S 2S S21592222ππ⎛⎫⨯⨯-=⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭影点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起（两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合），具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后，两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.真的是“难题”不难！O图①图① O图②与圆有关的计算例析第 5页（共 6页）第 6页（共 6页）2、S 阴影=S 整体-S 空白：已知等边△ABC 的边长为12cm,⊙O 为其内切圆，分别以点A 、B 、C所示的扇形，求阴影部分的面积？分析：本题可以分为两步： ①、②、再用内切圆的面积减去中间空白的面积。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：圆周角定理练习(含答案)

∴∠ACB＝ ∠AOB＝36°，故答案为：36°
13．解：如图 1，
连接 OD，∴DO＝ AB＝6， ∵OC⊥DF，
∴∠OCD＝90°，CD＝CF＝ DF＝2，在 Rt△OCD 中，根据勾股定理得，OC＝
＝4 ，
∴sin∠ODC＝＝＝， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO＝90°＝∠OCD， ∴点 O，C，D，E 是以 OD 为直径的圆上， ∴∠AEC＝∠ODC，
14．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上．点 A、B 的读数分别为 86°、30°，则∠ACB 的大小为．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在圆上，∠D＝65°，则∠BAC 等于度．
16．如图，△ABC 内接于⊙O，半径为 5，BC＝6，CD⊥AB 于 D 点，则 tan∠ACD 的值为．
20．已知△ABC 中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D 是 BA 边上一点（点 D 不与 A，B 重合）， M 是 CA 中点，当以 CD 为直径的⊙O 与 BA 边交于点 N，⊙O 与射线 NM 交于点 E，连接 CE，DE．（1）求证：BN＝AN；
（2）猜想线段 CD 与 DE 的数量关系，并说明理由．
2021 年数学人教版九年级中考复习专题之圆：圆周角定理练习一．选择题
1．如图所示，点 A，B，C 都在圆 O 上，若∠C＝32°，则∠AOB 的度数是（）
A．32°
B．60°
C．64°
D．72°
2．如图，半径为 10 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若
DE＝12，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦 BC 的长等于（）
∴∠BCE＝90°，∠EBC＝∠ECF＝∠ACD，

中考专题复习圆形(含答案)

中考专题复习圆形(含答案)本文档为中考数学专题复，主要涵盖了圆形的相关知识点及答案。

以下是题目及对应的答案：1. 求圆的面积题目：已知圆的半径为4cm，求圆的面积。

答案：圆的面积公式为$S = \pi \cdot r^2$，代入半径$r = 4$，得到$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi cm^2$。

2. 求圆的周长题目：已知圆的直径为6cm，求圆的周长。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入直径$d = 6$，得到$C = \pi \cdot 6 = 6\pi cm$。

3. 求圆的直径题目：已知圆的周长为10π cm，求圆的直径。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入周长$C = 10\pi$，解方程得到$d = \frac{C}{\pi} = \frac{10\pi}{\pi} = 10 cm$。

4. 求圆柱体的体积题目：已知圆柱体的底面积为9π $cm^2$，高度为5cm，求圆柱体的体积。

答案：圆柱体的体积公式为$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$，代入底面积$S = 9\pi$，高度$h = 5$，得到$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi cm^3$。

5. 求扇形的面积题目：已知扇形的半径为8cm，弧长为12cm，求扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$，代入半径$r = 8$，弧长$l = 12$，得到$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 =48 cm^2$。

6. 求圆锥的体积题目：已知圆锥的底面积为16π $cm^2$，高度为6cm，求圆锥的体积。

答案：圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$，代入底面积$S = 16\pi$，高度$h = 6$，得到$V =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi cm^3$。

初三圆相关性的练习题

初三圆相关性的练习题1. 某圆的半径为8厘米，求其直径、周长和面积。

解答：直径 = 2 ×半径 = 2 × 8 = 16厘米周长= 2 × π × 半径= 2 × π × 8 ≈ 50.27厘米面积= π × 半径² = π × 8² ≈ 201.06平方厘米2. 在一个圆的周长为40π厘米的圆环内，求圆环的面积。

解答：我们知道，一个圆的周长等于2πr，其中r是其半径。

设内圆的半径为r1，外圆的半径为r2，则有以下关系：2πr1 + 2πr2 = 40π化简可得：r1 + r2 = 20我们还知道，圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积：面积= πr2² - πr1²代入r1 + r2 = 20，得：面积= π(20 - r1)² - πr1²= π(400 - 40r1 + r1²) - πr1²= π(400 - 40r1 + r1² - r1²)= π(400 - 40r1)= 400π - 40πr1由周长可知，40π = 2π(r1 + r2)，所以r1 + r2 = 20。

因此，面积= 400π - 40π × 10 = 400π - 400π = 0平方厘米。

3. 在一个直径为30厘米的圆中，一条长20厘米的线段AB与圆的一部分交于两个点C和D。

求线段CD的长度。

解答：由题意可知，线段AB是圆的直径，即AB = 30厘米。

线段CD与圆的一部分交于两个点，即CD是圆上的弦。

根据圆的性质，圆的直径是弦的横径，弦的横径等于弦的长度的两倍。

所以CD = AB / 2 = 30 / 2 = 15厘米。

4. 已知一个正方形边长为8厘米，将正方形内接于一个圆，求圆的面积和周长。

解答：正方形的对角线等于正方形的边长的平方根的2倍。

初三圆试题及答案数学

初三圆试题及答案数学初三数学圆的试题及答案如下：1. 已知圆的半径为5，求圆的面积。

答案：圆的面积公式为A=πr²，将半径r=5代入公式，得到A=π×5²=25π。

2. 若点A(3,4)在圆x²+y²=25内，则该圆的直径是多少？答案：点A(3,4)在圆x²+y²=25内，说明该点到圆心的距离小于半径。

圆的半径为5，因此直径为2×5=10。

3. 已知圆的直径为10，求该圆的周长。

答案：圆的周长公式为C=πd，将直径d=10代入公式，得到C=π×10=10π。

4. 已知圆的周长为6π，求该圆的半径。

答案：圆的周长公式为C=2πr，将周长C=6π代入公式，得到6π=2πr，解得r=3。

5. 已知圆的半径为4，求该圆的直径。

答案：圆的直径为半径的2倍，因此直径d=2×4=8。

6. 已知圆的直径为12，求该圆的面积。

答案：圆的半径为直径的一半，即r=12÷2=6。

将半径代入面积公式A=πr²，得到A=π×6²=36π。

7. 若点B(-2,-3)在圆x²+y²=16外，则该圆的半径是多少？答案：点B(-2,-3)在圆x²+y²=16外，说明该点到圆心的距离大于半径。

圆的半径为4，因此该点到圆心的距离大于4。

8. 已知圆的半径为5，求该圆的直径。

答案：圆的直径为半径的2倍，因此直径d=2×5=10。

9. 已知圆的周长为8π，求该圆的半径。

答案：圆的周长公式为C=2πr，将周长C=8π代入公式，得到8π=2πr，解得r=4。

10. 已知圆的直径为8，求该圆的面积。

答案：圆的半径为直径的一半，即r=8÷2=4。

将半径代入面积公式A=πr²，得到A=π×4²=16π。

以上就是初三数学圆的试题及答案，涵盖了圆的面积、周长、半径和直径等基本概念和计算方法。

初三圆专题训练

圆专题训练一、河南省近4年中招圆专题 1.河南省2010年中招11．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是⌒CmA 上异于点C 、A 的一点，若∠ABO =32°，则∠ADC 的度数是______________．14．如图矩形ABCD 中，AD =1，AD =，以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为______________________．2.河南省2011年中招10.如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点.若∠C=40°，则∠E的度数为.3.河南省2012年中招8．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A,EC CB ，则下列结论不一定正确的是【】 A ．BA⊥DAB ．OC∥AEC ．∠COE=2∠CAED ．OD⊥AC4.河南省2013年中招7.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点G ，直线EF 与⊙O 相切于点D ，则下列结论中不一定正确的是OmDCBA（第11题） EBC（第14题）A.AG =BGB.AB //EFC.AD //BCD.∠ABC =∠ADC一、圆中线段的最值专题1.（2012浙江宁波3分）如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，D是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为．2.（2013湖北省咸宁市，1，3分）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为．3.（2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（） A.13B.5C.3D.24.（2007?常州）如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（） A.24二、圆中阴影面积计算专题1.（2012广东汕头4分）如图，在□ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆EOFDG A第7题心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是（结果保留π）． 2.（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．3.（河南省）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是?（??） ??（A ）π???（B ）1.5π???（C ）2π????（D ）2.5π4.（2012山东枣庄4分）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若AB 的长为8cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．5.如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连AC 、BD 。

2021年九年级中考数学专题训练：与圆相关的计算(含答案)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2021中考数学专题训练：与圆相关的计算一、选择题1. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )A . 3πB . 6πC . 9πD . 12π2. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°3. 如图，⊙O 的半径是1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC ＝36°，则劣弧BC ︵的长是( )A. π5B. 25πC. 35πD. 45π4. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm ，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm ，则该圆锥的底面周长是( )A . 3π cmB . 4π cmC . 5π cmD . 6π cm6. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为( )A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m7. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC 沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3πB.3πC.32 3π D ．4π8. 如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E.B ，E 是半圆弧的三等分点，BE ︵的长为2π3，则图中阴影部分的面积为( )图A.π9B.3π9C.3 32－3π2D.3 32－2π39. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，设定AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的格点有( )A ．10个B ．8个C ．6个D ．4个10. 如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为( )A .π3B .π2C ．πD ．2π二、填空题11. 如图是一个圆锥形冰激凌外壳(不计厚度)，已知其母线长为12 cm ，底面圆的半径为3 cm ，则这个冰激凌外壳的侧面积等于________ cm2(结果精确到个位)．12. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．13. 如图，⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则BD ︵所对的圆心角∠BOD 的大小为________度．14. 如图，将四边形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB ＝16 cm ，则图中阴影部分的面积为________．15. 如图为一个半径为4 m 的圆形场地，其中放有六个宽为1 m 的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.三、解答题16. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E 、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．17. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．18. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据猜想：β关于α(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．2021中考数学专题训练：与圆相关的计算-答案一、选择题1. 【答案】 D 【解析】由扇形的面积公式可得：S ＝120×π×62360＝12π.2. 【答案】B [解析] 设母线长为R ，底面圆的半径为r ，则底面圆的周长＝2πr ，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR ，∴R ＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则nπR 180＝2πr ，∴nπR 180＝πR ，∴n ＝180.故选B.3. 【答案】B 【解析】连接OB 、OC.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫∠BOC 是BC ⌒所对的圆心角 ∠A 是BC ⌒所对的圆周角 ∠A ＝36°⇒∠BOC ＝2∠A ＝72° ⊙O 的半径是1⇒劣弧BC ⌒的长＝72π×1180＝25π.4. 【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF 中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD ， ∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A ．5. 【答案】D 【解析】如解图，由题意可知，OA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求得OB ＝3 cm ，∴该圆锥的底面周长是6π cm.6. 【答案】B [解析] AB ︵的展直长度＝108π·10180＝6π(m)．故选B.7. 【答案】C [解析] 如图∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ，∴∠AOD ＝30°，OD ＝3 3.作BF ＝AC ，E 为BF 的中点．同理可得∠BOE ＝30°，∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为n πR 180＝90π×3 3180＝3 32π.8. 【答案】D9. 【答案】A [解析] 如图，当AB 是直角边时，点C 共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB 是斜边时，点C 共有4个位置，即有4个直角三角形．综上所述，使△ABC 是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.10. 【答案】C 【解析】如解图，连接OE 、OF ，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝12，∴AO ＝OB ＝6，∵⊙O 与DC 相切于点E ，∴∠OEC ＝90°，∵在▱ABCD 中，∠C ＝60°，AB ∥DC ，∴∠A ＝∠C ＝60°，∠AOE ＝∠OEC ＝90°，∵在△AOF 中，∠A ＝60°，AO ＝FO ，∴△AOF 是等边三角形，即∠AOF ＝∠A ＝60°，∴∠EOF＝∠AOE －∠AOF ＝90°－60°＝30°，弧EF 的长＝30π×6180＝π.解图二、填空题11. 【答案】113 [解析] 这个冰激凌外壳的侧面积＝12×2π×3×12＝36π≈113(cm2)．故答案为113.12. 【答案】2π [解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π，解得l ＝2π.故答案为2π.13. 【答案】144 [解析] ∵⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，∴OB ⊥AB ，OD ⊥DE.∵正五边形每个内角均为108°，∴∠BOD ＝∠C ＋∠OBC ＋∠ODC ＝108°×3－90°×2＝144°.14. 【答案】32π cm2 [解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD ，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．15. 【答案】－3＋3 72[解析] 设圆心是O ，连接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥BC 于点C ，交AD 于点D .设长方形摊位的长是2x m ．在Rt △OAD 中，∠AOD ＝30°，AD ＝x m ，则OD ＝3x m.在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝16－x 2 m.∵OC －OD ＝CD ＝1 m ，∴16－x 2＝3x ＋1，解得x ＝－3＋3 74(负值已舍去)，则2x ＝－3＋3 72， ∴长方形摊位的长为－3＋3 72 m.三、解答题16. 【答案】(1)解：BC 与⊙O 相切．理由如下：解图如解图，连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠OAD.又∵∠OAD ＝∠ODA ，∴∠CAD ＝∠ODA.∴OD ∥AC ，(2分)∴∠BDO ＝∠C ＝90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴BC与⊙O相切．(4分)(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，由(1)知∠BDO＝90°，∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(23)2＝(r＋2)2. 解得r＝2.(5分)∵tan∠BOD＝BDOD＝232＝3，∴∠BOD＝60°.(7分)∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝12·OD·BD－60πr2360＝23－23π.(8分)17. 【答案】13π4解：(1)如图(2)23πa103πa10πa(3)15πa 2(4)①30nπa②m（m＋1）nπa18. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

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圆的专题1——与圆有关的角度计算
一运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20︒，∠DAC＝30︒，
则∠BDC＝.
2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100︒，则∠BAD＝.
3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20︒，∠BDC＝30︒，则
∠BAD＝.
第1题第2题第3题
4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若∠D＝60︒，
则∠AEC＝.
5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70︒，
则∠DAO＋∠DCO＝.
6、如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90︒，∠ADC＝25︒，则∠ABC＝.
第4题第5题第6题
二运用圆周角和圆心角相互转化求角度
第10题第11题第12题
第7题第8题第9题 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ .
8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ .
9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ .
10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，则∠ADC ＝ .
11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ .
12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30︒，则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）
初中数学试卷
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