币值加权收益率和时间加权收益率

某投资基金年初价值为1000万元，至年中时降至价 值500万元，到年底价值又升至1000万元。若基金 在这一年中没有新投入、没有赎回资金的话， 当年的收益率为0。 从上面例子可以看出，这一个投资期（1年）内， 分为两个时间段。第一个时间段的投资收益率 -0.5，第二个时间段的投资收益率1。则整个期间的 收益率：




【例4-7】A和B均为基金经理人。在2006年1月1日， 两人的基金余额均为1000元，在2006年的12月31 日，A的基金价值为2000元。2007年1月1日，A收 到一笔20000元的新增投资。到2007年12月31日， A的余额为22000元。 在2006年的12月31日，B的基金价值为1200元。 2007年1月1日，一笔1000元的资金从B中撤出。到 2007年12月31日，B的余额为180元。 请计算A、B两人在这两年的币值加权收益率和时间 加权收益率，并分别比较2006年和2007年谁的收益 率高。
t t
I I I i A0 (1 k )C A0 (1 k )( A1 A0 I ) kA0 (1 k ) A1 (1 k ) I
币值加权收益率计算公式

I i A Ct (1 t )
t

I 2I i A 0.5C A B I
【练习】某投资基金一年内四个时间段各期收益率及甲、乙两投 资人的个人投资额及积累值如表3-2所示。计算甲、乙投资人及基 金的投资收益率。
时间点
基金各期收 益率
甲各时刻投 资额
甲各时刻基 金积累额
乙各时刻投 资额
乙各时刻基 金积累额
0
1000
100
1 2 3 4
30% 10% -20% 10%
100 100 100 100

A1 j1 1 A(0)
Ak 1 jk 1 1 Ak Ck
k 1, 2, , n

从0至1这一期间内的收益率可由下式计算： 即
1 i (1 j1 )(1 j2 )(1 jn )

Ak 1 A1 n i (1 j1 )(1 j2 ) (1 jn ) 1 ( A C ) 1 A(0) k 1 k k
1415 1661.5 1419.2 1666.12
100 100 100 100
245 375.5 389.6 533.56

【练习】某项投资1月1日价值10万元；5月1 日该项目投资价值升至112000元，同时又投 入3万元；11月1日，项目投资价值降到 125000元，同时又赎回42000元；年末项目 投资投资价值又升至10万元。计算投资收益 率；（1）用币值加权收益率计算法；（2） 用时间加权收益率计算法。


I I i A (1 k )C kA (1 k ) B (1 k ) I


收益率的精确求法：
A0 (1 i) Ct (1 i)(1t ) A1
t

其中，i是当期的利率

【例4-4】某项投资1月1日投资100万元，4 月1日该项目投资余额为112万元，同时赎回 20万元。9月1日投资余额为110万元，同时 投入30万元，至年底累积至120万元，试计 算该项投资账户在当年的收益率。

时间加权收益率

某资金基金参与人在年初时有1万元资金在基金中， 在年中，其基金价值降为5000元时，又追加5000元 投入，保持1万元在该基金中，至年底时，基金又 升值，其基金价值2万元。按投资额加权收益率计 算方法，有
10000(1 i) 5000(1 i) 20000
1 2
i 40.69%

如果本金在一个时期内是不断变化的，那么 计算投资收益率，首先必须计算该项投资在 当期的平均本金余额，用当期的利息收入除 以当期的平均本金余额，即可求得投资收益 率。 如何计算当期的平均本金？ 假设本金在当期的变化是平稳的，当期的平 均本金就是期初本金余额和期末本金余额的 平均数。

币值加权收益率

只考虑一个期间的投资基金收益率，引入下列符号：

A0 ——表示期初基金的资本量


A1 ——表示期末基金的本息和 I——表示投资期间内基金所获得的收入（利息） Ct ——表示时刻t投入基金或从基金中赎回的资金 量（可以大于零，也可以小于零， 0 t 1 ） C——表示在此期间注入或赎回的资金之和， C Ct 即: t a ib ——表示在时刻b至b+a之间单位投资的收益， 其中：a≥0,b≥0且a+b≤1。

当期的收益率可以表示为
I 2I i ( A0 A1 I ) / 2 ( A0 A1 I )

根据上述符号的定义，有 另外，假设投资期间内的基金所获得的收入是在期 末支付，则当期的利息为
A1 A0 C I
i

I iA Ct

t
(1t ) t
0 t 1

【练习】年初某基金有资金1000元，在4月 末新投入资金500元，在6月末赎回资金100 元，8月末赎回资金200元。到年底，基金余 额为1272元。计算基金收益率。
币值加权收益率可以准确衡量其赚钱或亏损 的程度。 在币值加权收益率的计算中，各不同时期投 入、赎回的资金额对收益率的影响很大。若 在高收益期投入的或保持的资金量较大，而 低收益期投入的或保持的资金量较小，则总 收益率就会较高。投资额加权收益率所计算 的是特定期间内、特定投资行为的收益率， 与具体的投资相关。

时间加权收益率
假设有一种投资基金，有很多都投资于该项 基金，一年下来，缪息额投资者可能会赚钱， 而另外一些投资者可能会亏本，原因？ 如何能反映基金经理人的经营业绩呢？ 即如何度量该项投资基金本身的收益特性？ 时间加权收益率是扣除了资金增减变化后计 算的收益率，即在本金恒定的基础上计算的 收益率。
通过上式要求出i的值，需要对 (1t ) it 作出假设，假 设 (1t ) it 按利率复利i计算，即有
(1t ) t
i (1 i) 1
1t

通过迭代的方法可以求出i的值。若基金各时刻的余 额保持大于0的话，显然收益率是唯一的。

若用下式近似表示(1t ) it（单利近似代替复利）， 可以较方便的计算初收益率，且误差较小： 则当期利率可近似表示为
时间
现金流发生前的 余额账户 40000
现金流
现金流发生后的 余额账户
2007.1.1
2007.5.1
41000
-2000
39000
2007.7.1
40000
-2000
38000
2007.9.1
38000
500
38500
2007.12.31
41000
【例4-6】基金在1月1日的余额为A，在6月 30日的余额为B，在12月31日的余额为C。 （1）如果没有资金的存入和撤出，请证明币 值加权收益率和时间加权收益率都等于 (C-A)/A. (2)如果在6月30日计算余额后存入资金D，试 求币值加权收益率和时间加权收益率。 （3）如果在6月30日计算余额之前存入资金 D，试求币值加权收益率和时间加权收益率。

若该投资基金参与人在年中基金价值下降时， 赎回2500元投资，则至年末基金升值时，其 投资的价值为5000元。仍按投资额加权收益 率计算方法，有
10000(1 i) 2500(1 i) 5000
1 2
i 28.92%

对于同一期间内同一基金不同的投资行为， 收益率是不同的。产生差别的原因是前一种 投资行为在基金升值又投入一部分资金，而 后一种投资行为在基金升值前却赎回了一部 分资金，失去了一部分基金价值翻番的机会。
两种方法的比较
若收益率是唯一的，则上述两种方法的结果 是一致的。 区别：当收益率不存在或者存在多个收益率 时，收益率法不如净现值法方便。净现值法 对投资的收益显示较为直观，可以知道未来 的最低收益值。而收益率法比较好理解，也 便于在不同投资方式间进行比较。实务中偏 爱净现值法进行资本预算。

源自文库
上式表明，若在0时刻起，投入一元资金，不 论这一年各时间段的收益率如何变化，这一 元资金一直保持在基金中，至年底可产生的 收益。
【例4-5】一个养老金账户在2007年1月1日的余额为40000元。在2007 年，该账户的现金流及余额变化情况如下表所示，其中负值表示取出养 老金，正值表示增加本金。请计算该账户在2007年的时间加权收益率。
币值加权收益率
基金收益率

收益率的主要应用之一就是投资基金的收益分析。 收益率总与一定条件相联系，如某个时期的收益率 或某笔资金的收益率，若分析对象仅仅涉及一笔资 金，或者本金的变化仅仅发生在期末，那么收益率 的计算比较简单。现实生活往往是复杂的。譬如一 个投资基金，它的本金在一个度量时期是不断变化 的，随时都有新资金的投入，也不断有资金撤出。 那么在这种情况下，如何计算投资基金的收益率？
i (1 0.5)(1 1) 1 0

这就是时间加权收益率

币值加权收益率是从具体投资人的角度计算 的收益率，而时间加权收益率是从整个基金 管理人的角度计算的收益率,这个收益率能更 好的反映基金的运作情况。
计算时间加权收益率的方法

一个期间，有n次投资，其中 Ck 为各时刻投 入或赎回的资金净额，Ak 为各时刻的整个基 金的余额，不包括该时刻的新投入或赎回额。 jk 而 是相邻两个投入资金的时刻间的收益率。 则
(1t ) t
i (1 t )i

I i A Ct (1 t )
t
新增净投入的平均时刻的利率

假设所有新增投资平均发生在期中，则
I I 2I i A0 0.5C A0 0.5( A1 A0 I ) A0 A1 I

假设所有新的净投入都是在时刻k进行的， 则有 k t C C