币值加权收益率和时间加权收益率
《利息理论》实验教学大纲
《利息理论》实验教学大纲课程代码：15340016 开课单位：保险系课程总学时：54 学分：3.0 实验学时：9 实验学分：3实验项目数：3课程类别：专业实验课程先修课程：微积分、概率论适用专业：保险（保险实务）一、教学目标金融、保险领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。
本课程的目的是学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法，并为今后对现代金融业务作进一步研究或实务打下坚实的基础。
开设实验课的目的在于将理论与实际相结合，即将保险理论与保险实务紧密地结合在一起，使学生学以致用。
由于许多课程只有通过实验、或通过上机操作才能真正弄清楚，所以说，实验课的开设对培养学生的动手操作能力是必不可少的内容，是保险理论与实务教学的重要组成部分。
本实验课程通过计算机中的Excel或专门的精算软件，解决有关利息的度量、单一支付现值与终值、年金现值与终值的计算、投资决策（NPV、IIR的计算）、摊还表及偿债基金的设计与计算、债券价格的确定及风险的度量等内容，具有综合性的特点。
这些实验课的开设是为了使同学在理论学习的基础上通过计算机实际操作，加深对所学内容的理解，为以后工作和科研提供可以借鉴的实际经验。
二、教学要求课堂讲授：采用多媒体课件，在讲授过程中尽量运用启发式、参与式、情境教学、案例教学等方法与学生形成良性互动。
学生能够了解相关的英语术语，能够学会使用excel进行相关计算。
实验：学生能够在理论学习的基础上，熟练使用计算机中的Excel或专门的精算软件，解决有关利息理论的计算问题。
作业：中国精算师资格考试用书——利息理论中的例题和习题。
三、学时分配四、教学方法采用多媒体课件，在讲授过程中尽量运用启发式、参与式、情境教学、案例教学等方法。
博迪《投资学》笔记和课后习题详解(资产组合业绩评估)【圣才出品】
第24章资产组合业绩评估24.1 复习笔记1．测算投资收益（1）时间加权收益率与货币加权收益率内部收益率，又称为投资的货币加权收益率。
之所以称它是货币加权的，是因为在测算该收益率时，不同时期的持股数对平均收益率有更大的影响。
时间加权收益率忽略了不同时期所持股数的不同，只考虑了每一期的收益，而忽略了每一期股票投资额之间的不同。
一般来说，货币加权和时间加权的收益率是不同的，孰高孰低取决于收益的时间结构和资产组合的成分。
对于单个投资者来说，货币加权收益率应该更准确些；但对于资金管理行业来说，由于投资额度的不确定性通常采用时间加权收益率来评估其业绩。
（2）算术平均与几何平均时间加权收益率与货币加权收益率两种方法为算术平均收益率，另一种方法为几何平均收益率。
一般情况下，对于一个n期投资来说，其几何平均收益率如下：其中，r t(t=1，2，…，n)为每期的收益率。
几何平均收益率绝不会超过算术平均收益率，而且在几何平均收益率的算法中，较低的收益率具有更大的影响，得出几何平均收益率要比算术平均收益率低一些。
算术平均收益率是预期未来业绩的正确方法。
2．业绩评估的传统理论（1）合适的业绩评估指标①夏普测度：夏普测度是用资产组合的长期平均超额收益除以这个时期收益的标准差。
它测度了对总波动性权衡的回报，适用于该资产组合就是投资者所有投资的情况。
②特雷纳测度：与夏普测度指标相类似，特雷纳测度给出了单位风险的超额收益，但它用的是系统风险而不是全部风险。
其适用于该资产组合只是众多子资产组合中某个资产组合的情况。
③詹森测度(组合阿尔法值)：詹森测度是建立在CAPM测算基础上的资产组合的平均收益，它用到了资产组合的贝塔值和平均市场收益，其结果即为资产组合的阿尔法值。
其适用范围同特雷纳测度一致。
④信息比率(也称估价比率)：信息比率这种方法用资产组合的阿尔法值除以其非系统风险，它测算的是每单位非系统风险所带来的非常规收益，前者是指在原则上可以通过持有市场上全部资产组合而完全分散掉的那一部分风险。
币值、时间加权收益率
17
在衡量基金经理人的经营业绩时，通常使用时间加权收益 率；
在衡量一个具体投资者的收益情况时，使用币值加权收益 率。
18
它的权数为1，时刻t增加的投资Ct产生利息的时间长度是(1 – t)，所以其权数为(1 – t)。
（2）如果进一步假设新增投资发生在期中，即t = 0.5，则
i A
I t 0.5Ct
2I 2A t Ct
2I
A(A
t Ct )
2I A (B I)
这就是前述最简单的一个近似公式。
6
4.3时间加权收益率
2000（100股） 2800（140股） 1400（70股） 6200（310股）
25
25
20
10
解： （1）币值加权收益率 A：2000(1 + i) = 2000， i =0 B：2000(1 + i) + 1000(1 + i)0.5 = 2800 , C：2000(1 + i) – 750(1 + i)0.5 = 1400，
2000（100股） 2800（140股） 1400（70股） 6200（310股12）
分析：
度量基金经理人的经营业绩的收益率应为0。但基金的 币值加权收益率为负(–0.816%)。
如果扣除了新增投资的影响，三个投资者的收益率将 是相同的。
A没有新增投资，所以扣除新增投资后的币值加权收益 率仍然为0。
（1）投资者A在期初投资2000元（获得100股），当期再 无新增投资，所以期末的帐户余额仍然是2000元。 （2）投资者B在期初投资2000元（获得100股），期中又 增加投资1000元（获得40股），到期末时有140股，每股 的价格是20元，所以期末的帐户余额是2800元。
(4)收益率
44投资期限超过1年的情形•已知投资期是从0到n ，第n 期末的累积值为A n 。
第j 期的新增投资为C j ，在复利方式下，第n 期末的累积值为•通过数值方法可以解出币值加权收益率 i 。
•注：当时，不能使用单利来近似计算。
0(1)(1)nn jn j jA A i C i −=+++∑1n j −>45•如果假设新增投资是连续的，即C t 是 t 的连续函数，表示时刻t 的支付率。
用A t 表示时刻t 的累积值，则•解释：在时刻t 的累积值等于初始本金积累t 个时期，加上新增投资C s 积累到时刻t 。
00(1)(1)ttt st s A A i C i ds−=+++∫4. 基金的利息度量：时间加权收益率（time-weighted rates of interest）•币值加权收益率：–受本金增减变化的影响。
而本金的增减变化由投资者决定。
–可以衡量投资者的收益，但不能衡量经理人的经营业绩。
•时间加权收益率：扣除了本金增减变化的影响后所计算的一种收益率。
衡量经理人的业绩。
46Example:•On January 1 an investment account is worth $100,000. On May1 the value has increased to $112,000 and $30,000 of newprincipal is deposited. On November 1 the value has declined to $125,000 and $42,000 is withdrawn. On January 1 of thefollowing year the investment account is again worth $100,000.Compute the yield rate by:(1) the dollar-weighted method;(2) the time-weighted method.Date: 1-1 5-1 11-1 1-1Fund 100,000 112,000 125,000 100,000C30,000 -42,000485. 收益分配(Allocating investment income)•问题：–基金包括不同时期的投资。
CFA FRM公式
定量分析类财务：资金的时间价值。
投资：是对未来事件进行评估。
储蓄：是延迟的消费。
也即用现在的消费换取将来的消费。
一、单一现金流的计算：(1)(1)ppn p n p FV FV PV i PV i =+⇒=+ s p i i m=p n m n =⨯利率（i ），收益率（r 或y ），增长率（g ），FV 未来现金值，PV 当前现金值， 票面利率（s i ）又称年度回报率（A P R i ）：sA P R pi i m i ==实际年利率（EAR ）(1)1EARp mi i =+-二、连续复利求FV/PV ： ininF V F V P V eP V e=⇒=三、连续复利求有效年利率： 1iEAR e =- [1]i A P R L n E A R==+四、年金——相等的连续现金流 终身年金的现值：1P PP M T P V I =普通年金的FV ： (1)1[]pn pp pi F V P M T i +-=五、年百分率： s p i A P R m i ==⨯有效年利率：(1)1mp EAR i =+-六、持有期收益率 ： 1V H P R V =-期末期初七、货币加权收益率=内部收益率(IRR)八、时间加权收益率=几何平均数九、银行贴现基准：十、实际年收益率：十一、货币市场收益率： =绝对频数相对频数样本总数十二、算术平均数： 总体：-⎛⎫= ⎪⎝⎭0B D F P 360r Ft=+-365/tEAY (1HPY )1⎛⎫= ⎪⎝⎭M M 360r H P Y t 12NX XXNμ++=1nii X Xn==∑样本：几何平均数：加权平均数：投资组合的平均年回报率：十三、方差和标准差总体： 样本：变异系数： 或夏普比率：或十四、概率P(X)：事件X 发生的可能性特点： 其中Xi 为一组互斥集体无遗漏事件 概率分布的数字特征： 期望/预期：方差、标准差——风险衡量()112NNX X X μ=1G r =-112233123..................N NNw X w X w X w X w w w w μ+++=+++11t t t V R V -=-221()Ni x i x x u Nσ=-=∑x σ=221()1ni i x x X S n =-=-∑x S =x xσμ=xS X =p Fp R R S -=p FpR R σ-=-=夏普比率P FXR R σ=X XσC V μ0P(X )1≤≤1()1Ni i P X ==∑()1()Ni i i EX X P X ==∑[]()()()2222221()()xNii i EXE X EX EXEX XP X σ==-=-⎡⎤⎣⎦=∑其中xσ=(){}1[[]][[]][,][][()]Nii i X YXE X Y E Y C o v X Y NEXEX Y E Y σ=--===--∑总体协方差：=XY XY X YCOV r σσ协方差和联合概率=X Y X Y X YC O V r σσ相关系数： 投资组合的预期回报和方差=++=++22222P 1122121,222221122121,212σw σw σ2w w C O V w σwσ2w w r σσZ 值分布：Roy 安全第一条件——最佳投资是安全第一比率SFR 最大的组合总体均值的置信区间称为显著程度称为显著水平 可以以总体平均值的样本估计值为中心构建置信区间α是显著性水平，等于1 -用%表示的置信水平。
各种收益率
一、Quantitive部分涉及到的收益率Holding Period Return (HPR): 不考虑时间（持有期为任何时间段）情况下的实际收益率。
如果比较两种金融产品的HPR，则其持有期必须一致（起点和终点都一样），否则无法比较。
实际当中很少用HPR，而是采用实际有效年收益率（Effective annual yield, EAY）。
Holding Period Yield (HPY): 和HPR 一回事。
Effective annual yield ,（EAY）：把各种金融产品的HPY转换成年收益率，这样就可以相互比较。
其中HPY为持有期t时间内的持有期收益率。
在时间长度t中，投资收益率为HPY，按照此收益率一年投资365/t 次等到的复利收益率，因此是有效的年收益率。
这里的计算实际上就是几何平均。
这里的EAY与债券那部分的EAY本质上是相同的，就是年实际收益率，这里更能看清楚EAY才是真正的复利计算的365天为一年的实际年收益率。
Bank Discount Yield (BDY)：贴现证券在报价时按照贴现率报价，称为银行贴现收益率（Bank DiscountYield）:D：市价和面值之间的差值，即贴现值；F：证券面值；t：持有期时间；银行贴现收益率是按照单利计算，而且是按照360天每年计算。
BDY的缺点在于计算收益率是以面值为计算基准，而实际上投资者付出的价格低于面值。
因此引入货币市场收益率（Money Market Yield）Money Market Yield（MMY）：把BDY的分母变成投资者实际购买票据的价格，更能反映投资者的实际收益率，但一般是用作短期的，所以都计算单利，而且按照360天。
HPY、BDY、MMY之间的关系：因为MMY和DBY都是换算成年（360天）的收益率，而HPY是一段时间的收益率。
二、Fixed-Income部分涉及到的收益率Current Yield（当期收益率）：最简单的计算收益率的方法，仅考虑当期利息收入。
金融数学_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
金融数学_中国人民大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一个合约的回收是指合约到期时可以实现的现金价值，不考虑合约签订时发生的初始费用。
答案:正确2.在利率互换合约中，互换利率等于浮动利率的加权平均数。
答案:正确3.假设当前的期货价格为30，年波动率为30%，无风险连续复利为5%。
用两步二叉树计算6个月期的执行价格为31的欧式看涨期权的价格答案:大于24.股票当前的价格为50元，波动率为每年10%。
一个基于该股票的欧式看跌期权，有效期为2个月，执行价格为50元。
连续复利的无风险年利率为5%。
构造一个二步（每步为一个月）的二叉树为该期权定价。
答案:小于0.65.期权价格也称作执行价格答案:错误6.美式看涨期权多头的盈利可以无限大答案:正确7.假设股票的现价为100元，一年期看涨期权的执行价格为105元，期权费为9.4元，年有效利率为5%。
如果一年后的股票价格为115元，则该看涨期权的盈亏为0.13元。
答案:正确8.假设股票的现价为100元，一年期看跌期权的执行价格为105元，期权费为8元，年有效利率为5%。
如果一年后的股票价格为105元，则该看跌期权的盈亏为3元。
答案:错误9.债券的面值为1000元，息票率为6%，期限为5年，到期按面值偿还，到期收益率为8%。
应用理论方法计算该债券在购买9个月后的账面值。
答案:大于93010.一份股票看涨期权的执行价格为40元，期权费为2元，期权的有效期是半年，无风险的连续复利为5%。
假设期权到期时的股票价格为43元，在期权到期时，多头可以达到盈亏平衡点的股票价格为多少？答案:大于40，小于5011.股票现价为60，一份2个月到期的该股票美式看涨期权的交割价格为60，连续复利为5%，股票无红利支付，波动率为30%，应用两阶段二叉树模型计算该期权的价值。
答案:2.8412.期权的回收小于期权的盈亏答案:错误13.美式看涨期权和看跌期权的价格之间存在一种平价关系答案:错误14.标的资产的现价越高，欧式看涨期权与看跌期权的价格之差越大答案:正确15.债券的面值,为1000，期限为20年，到期偿还值为1050元，每年末支付一次利息。
孟生旺《金融数学基础》参考答案.doc
1.13 1.141.15a(t) = 0.04r + 0.03, +1, % % = "(0.5) /。
(0.5) = 0.068 *(3) = 100 • exp (J" /1 OOdr) + X = 109.42 + X 4(6) = (109.42 + X) • exp([7 / ] oo力卜i .8776(109.42 + X) A(6)一A0) = (109.42 + X)(0.87761) = X nX= 784.61 t = 4时的累积位为:1OOOexp ({ 0.02/d/) • e0045 = 1 144.54参考签案（中国人民大学出版社，2015年2月第一版）第1章利息度量1.1600 x 2i = 150 n，= 0.125, 2000(1 + z)3 = 28481.21004/m = 314"" + 271V,8Z,2 n T = 141.61.3A: -(2X) = i-X , B: X(1+ Z72)，6~X(1+ Z/2)15X[(1 + i/2)16-(14-//2)15] = i・X ni = 0.094581.4e27'725 = 2 n 5 = 0.025,当严=S时，(i + 2S)n,1 = 7.04 n 〃 = 801.5100 x (1 - 4 x 6%)-1/4X2 =114.711 6 l + i = [l +广""丁 = [1 - d(m) / m] ' = 1 - J zn = 81.7A:g) = (l.01)”'，8：〃(f) = /"2,(i.oi),2x =e z： 12 =>r = 1.431.8 A : a(t) = exp(凯 + 如广 / 2), B: a(t) = exp(gn + hn2 /2), n = 2(a 一 g) / (h -b) 1.9。
《利息理论》期末复习
基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值 较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定 理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次 符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题
第三章收益率
一、贴现资金流分析
例1：现金流动表
年 投入
回收
净现金流投入 Ct 净现金流返回 Rt
0 10000 0
10000
-10000
1 1000 5000 -4000
4000
2 1000 6000 -5000
5000
3 1200 7500 -6300
6300
按利率 i投资返回的净现时值
例2在不同利率情况下的现值
i 利率 (%)
0
2.5 5 7.5 10 12.5 12.96 15 17.5 20 22.5 25
净现值V (0)
27000
18986 12675 7675 3695 512 0 -2046 -4109 -5778 -7133 -8236
可见，净现值是利率的单调递减函数， 利率越高净现值越小。
n i(Is) n i sn1 j (n 1)
nj
j
从而第10年末年金的累积值为
10000
10
0.07
s 11 0.05
11
0.05
10000
10
0.07
14.2068 11 0.05
1444895
.2(元)
投资收益率的计算
n
P(i) vt Rt
t 0
不同利率水平下的净现时值
利率 i
1% 3% 5% 10%
净现时值 P(i)
4976.59 4361.87 3786.85 2501.88
二、投资决策方法
评价一个投资项目的收益水平最常用的是 收益率法和净现值法。在其他条件相同的 条件下，投资者应该优先选择收益率高或 净现值大的项目进行投资。
《 金融数学》复习提纲
《金融数学》复习提纲（2022版）利息度量本章介绍了利息的各种度量工具，包括单利、复利、实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息力和贴现力等，以及累积函数和贴现函数。
它们之间的关系可以总结如下：1．累积函数是期初的1元本金在时刻t 的累积值。
复利的累积函数为：()()0()(1)1(1)1e //exp(d )mtmtt t t tm m s a t i d i m d m s δδ−−=+=+=−=−=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎰单利的累积函数为：()1a t it =+ 贴现函数是累积函数的倒数。
2．常用的各种利息度量工具之间有如下关系： （1）)1(i i d +=（2）)1(d d i −= （3）d v −=1 （4）i d id −= （5）()1(1)1m mim i ⎡⎤=+−⎣⎦ （6）()11(1)m dm d ⎡⎤=−−⎣⎦（7）)1ln(i +=δ等额年金本章介绍了等额年金的计算问题，包括年金的现值和终值，期初付年金与期末付年金的关系，现值与终值的关系等，涉及较多公式，现将它们归纳如下。
下表仅给出了期末付年金的公式，对于期初付年金，只需把分母上的利率符号改变为贴现率符号即可。
等额年金计算公式之间的关系式可以概括如下：变额年金下表总结了期末付年金的现值和累积值（终值）公式。
对于期初付年金，只需把分母上的利率符号改变为相应的贴现率符号即可。
s nna s 乘以(1+i )乘以()m i i乘以i()()m nm na s 乘以()m d d 乘以1/(1+)mi变额年金之间的关系可以概括如下：对于增长率为r 的复递增年金，期末付年金和期初付年金的现值为：, 1, 1n ja r i rP n r i r⎧≠⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩+末, 1, n j a r iP rn r i ⎧⎪≠=⎨+⎪=⎩初 其中，1i rj r−=+Da nnIa Da 乘以(1+ i )乘以()m i i乘以i()()m nm nIa Da 乘以()m d d 乘以1/(1+)mi收益率1．收益率是使得未来资金流入的现值与资金流出的现值相等时的利率，也是使得净现值等于零时的利率。
利息理论课件013 金融课件
在t=
1 4
时的利息强度
t
.
( A)0.01
(B)0.02
(C)0.03
(D)0.04
(E)0.05
解 : 设a(t) at 2 bt c
a(0) 1
c 1
1 a 1 b 11
又4 2
2%
1
a b c ( 1 a 1 b 1)
42 1 a 1 b 1
3%
42
1 a 1 b 2%
1000(1+i)(1-2%)>1000(1+6%)
譬如,一个十分厌恶风险的投资者可能要求上式左边(即债 券D的期望收益)至少等于右边按10%的无风险利率所产生 的收益,也就是
1000(1+i)(1-2%)=1000(1+10%)
由此可知其所要求的息票率为
i 1000(110%) 1 12.25% 1000(1 2%)
整个基金的币值加权收益率是下述方程的解:
6000(1+i)+250(1+i)0.5=6200
i= -0.816%
上述币值加权收益率之间的差异主要是由于新增投资不 同所造成..如果扣除了新增投资的影响,三位投资者和整个 基金,它们的收益率相同,都是0
(2)时间加权收益率,就是在整个投资时期投资金额保持不 变时的收益率,它准确地度量了基金经理人的经营业绩.它 不受投资金额增减变化的影响,而仅仅取决于每个时段的 收益率.
(2)如果债券违约后可返还投资者本金的50%,则有 1000(1+6%)=1000)(1-2%)+1000×50×2% 解得i=7.14%
如果投资者要求债券D的期望收益至少等于按10%的无 风险利率所产生的收益,也就是 1000(1+i)(1-2%)+ 1000×50×2%=1000(1+i) 解得i=11.22%
第2单元 时间加权收益率与资金加权收益率-课件
投资学第二十章资产组合绩效评价第一节资产组合收益的衡量第二节资产组合风险的衡量第三节资产组合绩效评估方法第四节市场择时第五节资产组合业绩贡献分析•股票红利发放是在持有区间末，计算方法较为简单。
现实中，计算基金的持有区间收益率需要考虑更为复杂的情况：•（1）基金可能包含多个不同的证券，每个证券发放红利或利息的时间都不一样；•（2）基金的投资者在区间内会有申购和赎回，带来更多的资金进出。
•时间加权收益率法（Time-weighed Rate of Return）•以某股票基金为例，在2013年12月31日，其净值为1亿元，到2014年12月31日，净值变为1.2亿元。
如果净值变化来源仅为资产增值和分红收入的再投资，其收益率为：（1.2 -1）/1 = 20%•设想在4月15日，有客户进行申购了2000万元。
那么该基金在年末的1.2亿元净值中，有一部分是这笔申购及其投资回报带来的。
实际投资回报率应低于20%。
进一步假设，在9月1日，基金进行了1000万元的分红，该分红对基金资产有显著的影响。
•要计算该基金在该年度的收益率，可以把资金进出的时间节点分为3个区间，分别计算持有期收益率。
每个区间的期末资产净值为对应时间节点现金流发生前的资产净值，期初资产净值则是对应时间节点现金流发生后的资产净值，具体见下表。
时间区间期初资产净值（百万元）期末资产净值（百万元）区间收益率（%）2013.12.31 ~2014.4.1510095-5 2014.4.15 ~ 2014.9.195 + 20 = 11514021.7 2014.9.1 ~ 2014.12.31140 - 10 = 130120-7.7某基金2014 年度收益率计算表第一节资产组合收益的衡量•时间加权收益率法（Time-weighed Rate of Return）•假设某投资者在2013年12月31日投资1元到此基金，那么在2014年4月15日，这1元受到5%的损失，变为1×（1-5%）=0.95（元）。
孟生旺《金融数学基础》参考答案
孟生旺《金融数学基础》参考答案（中国人民大学出版社，2015年2月第一版）第1章 利息度量1.1360021500.125,2000(1)2848i i i ⨯=⇒=+=1.2 /121/1218/121004314271141.6T v v v T =+⇒= 1.3:(2)2i A X i X =⋅, ()()1615:1/21/2B X i X i +-+ 1615[(1/2)(1/2)]0.09458X i i i X i +-+=⋅⇒=1.427.72e 20.025δδ=⇒=, 当0.5i δ= 时, /2(12)7.0480n n δ+=⇒=1.5 1/42100(146%)114.71-⨯⨯-⨯=1.6 ()()11118//mmm m i i d d m m m -+=+=-=-⇒=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1.7 12:()(1.01)tA a t =, 2/12:()e tB a t =, 212/12(1.01)e 1.43t tt =⇒=1.8 2:()exp()/2A a t an bn =+, 2:()exp()/2B a t gn hn =+, 2()/()n a g h b =--1.9 8512()100(1)exp /4(1)d 2600.129a t d t t d --=-⋅⎡⎤+=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰ 1.10 11/(1)t δ=+, 222/(1)t t δ=+, 0.41t = 1.11 2()(1)a t t =+1111300(3)600(6)200(2)(5)=315.82a a a X a X ----⨯+⨯=⨯+⨯⇒1.12 ()10.2025330(3)exp e/100d a t t --==-⎰.1.13 20.5()0.040.031,(0.5)/(0.5)0.068a t t t a a δ'=++== 1.14 ()320(3)100exp/100d 109.42A t t X X=⋅+=+⎰()623(6)(109.42)exp /100 1.8776(109.42)A X t dt X =+⋅=+⎰(6)(3)(109.42)(0.87761)784.61A A X X X -=+=⇒=1.15 t = 4时的累积值为：()30.04501000exp0.02d e 1144.54t t ⋅=⎰令名义利率为x , 则 161000(1/4)1144.540.03388x x +=⇒=1.16 ()20.075i=, (4)(2)(2)21/2/2/2ln (1)41(1)0.1466d i i δ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=++-+= 1.17 ()()510205expd exp/25d 2.71830.414kt t kt t k ⋅=⇒=⎰⎰1.18 0()exp d (2)/2,()(0)/216tt a t t t a n a n n δδ⎡⎤==+=-=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰ 1.19 201000exp 1068.94d t t δ⋅=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 1.20 1010267.5, 10(1.0915)30(1.0915), 2.3254nn A B n --==+=第2章等额年金2.1 1363元 2.2 279430元 2.3260052.4 基金在第30年初的现值为658773.91, 如果限期领取20年, 每次可以领取57435, 如果无限期地领下去, 每次可以领取39526 2.5 31941.68元, 21738.97元, 46319.35元 2.6 9年 2.7 29月末2.8 0.1162 2.9 8729.23 2.10 45281.05 2.11 0.2 2.12 302 2.13 4.06%2.14假设最后一次付款的时间为n , 则有：4410000010000(10.05)23.18n a n --=+⇒=假设在23年末的非正规付款额为X , 则有4231910000010000(10.05)(10.05)1762.3a X X --=+++⇒=2.15 601004495.503860000.749329k k a v v k ==⇒=⇒=2.16 20101020153810721072153846600.08688a a v v i =⇒-+=⇒=2.17 设j 为等价利率, 则0.040604j =, 1681000()32430s s =+=&&&&累积值 2.18 以每半年为一个时期, 每个时期的实际利率为/2i , 两年为一个时期的实际利率为()411/2j i =-+, 故 5.891/0.08j i ⇒==2.19 ()20101012126410.7520.09569i s i s i i ⋅⋅+⋅⋅=⇒+=⇒=2.20 {}ln(1)1exp d d 1n nta n r t r==+-+⎰⎰2.21 20()exp d (10.5)tr a t r t δ==+⎡⎤⎣⎦⎰, 5(5)(5)(5)...12.828(1)(2)(5)a a a s a a a =+++=2.22()8888111188100d (1)d tt v a a t v t δδδδ-==-=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰()()5/48101810018100v v δδδδ=--⋅⇒=--⎡⎤⎣⎦()[]5/410101181001v a δδδδ----==2.23 1/302.24 1[ln(/)]/i δδ- 2.25 4e 12e 3n n δδ=⇒=, e 112121/6n n s δδδ-=⇒=⇒=第3章变额年金3.1 ()29/229229 /22972.8865.440.1/2j j j s j Is j s j j -⎡⎤=⋅=⋅⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦&&&& 3.2 1010900100()a I a += 1088.693.3 2312(1)23......n n n nn i a a v v v nv nv nv id++++++++++==3.4 335792222468...49.89(1)v X v v v v v =++++==-3.5A 的现值为：102010105555()X a a v a ==+B 的现值为：1020101010306090X a v a v a =++ 故 10102055(1)3060900.07177574.74v v vi X +=++⇒=⇒=3.6 1()()n n n n nIa v Da a a -+=⋅&& 3.7 71520()1602146.20Da a +=3.8 11846.663.9每季度复利一次的利率为0.0194, 所有存款在第八年末的终值为40.019480.08()183.01s Is =&&, /0.08183.0114.64X X =⇒= 3.10 3433203.11 166073.12 现值为5197.50, 累积值为9333.98.3.13 111193070()9998.16a Ia +=&&&&, 终值为23312.11. 3.14 现值为111120()2803246.03Da a +=, 在第20年末的终值为10410.46. 3.15 212.343.16 此项投资在第10年末的终值为：106%106%80000(5000)500()X s Ds =-+&&&&80000(5000)(13.97164)500(83.52247)7736.88X X =-+⇒=3.17 ()4106%116%100()200015979.37X v Da a =+=. 3.18 第20年末的终值为：16115%(1)200()19997.38i Ia +=3.19 前5年的现值为77.79, 从第6年开始, 以后各年付款的现值为：()510.092010.09v k k +⎛⎫+ ⎪-⎝⎭, 总现值为335, 故 3.76%k =.3.20 104%104%9010()1735.96s I s +=3.21 第8年的终值为：87%87%605()894.48478s Ds +=第10年末的终值为1024.10. 3.22100(43)exp (0.030.04)d d 89.97t t s s t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 3.23 在时刻5的现值为：102255(1.22)exp (0.00060.001)d d 382.88tt t s s s t ⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 时刻零的现值为：50382.88exp (0.0040.01)d 346.44t t⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦⎰ 3.24 ()10100250009exp 1/(9)d d 190131.58t k tk s s t k k ⎡⎤=++=⇒=⎢⎥⎣⎦⎰⎰第4章收益率4.10.1483 4.2 1221.99 4.3 时间加权收益率0.5426, 币值加权收益率0.5226, 两者之差0.0236.4.4 93000 4.5 −10%4.6 120100506565(10050)136,0.1834100120100501009/12503/12D D i D D --+-⋅⋅=⇒===-+-+⨯-⨯ 4.7 0.1327 4.8 7.5% 4.9 236.25 4.100.06194.11 5年末投资者共得到56245.5元. 设购买价格为P , 要得到4%的收益率, 有5(1.04)56245.546229.7P P =⇒=4.12 20.0820/220/25000100000(5000)()34.710.1i i s i Is s i =+⇒=⇒=&&&& 4.13 再投资利率为8.73%. 投资者B 的利息再投资后的积累值为6111.37.4.14 ()10200.75100.7512126410.7520.09569i i i s i s i i ⋅⋅+⋅⋅=⇒+=⇒=4.15 3项投资在2015年初的余额为320.46万元, 在2015年末的余额为344.56万元, 故2015年中所获利息为24.10万元.第5章 贷款偿还方法5.1 X = 704.065.2 设每年的等额分期付款金额为R , 由已知28(1)135R v -=, 147(1)108(1)72R v R v -=⇒-=5.3 301301(1)/32/322.69t t R vR v t -+-+-=⇒=⇒=故在第23年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一. 5.4 109832290.35,408.55Rv Rv Rv Rv Rv Rv =++=++0.05,150.03,1158.4i R L ⇒===. 支付的利息总金额为10341.76R L -=5.5 1510.65.6 （1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为4438.42（2）第2年末的余额为9231.91 （3）第2年末的贷款净额为10768.095.7 0| 4| 6104.56/20000/8.4911%k i i R L a a i ===⇒= 5.8 第5次偿还中的利息为66.89万元.5.9 22912125,0001 1.02(1.02)(1.02)526i Ra v v v R ⎡⎤=+++⋅⋅⋅⋅+⇒=⎣⎦5.10 各期还款的积累值为 20200.0510*******(1)0.0616s i i =+⇒=5.11 121212155000500.3812 0.09173077.9455000(1)500.38jn njn a i j j s -=⎧⎪⇒==⎨=+-⎪⎩ 5.12 第一笔贷款偿还的本金为490.34, 第二笔贷款偿还的本金为243.93, 两笔贷款的本金之和为 734.27. 5.13 3278.5.14 第3次支付的本金金额为784.7, 第5次支付的利息金额为51.4. 5.15 0.1196. 5.16 64.74.5.17 调整后最后一次的偿还额为1239.1. 5.18 第11年末.5.19 调整后借款人增加的付款为112.5.20 20301019100001900100()5504.7Xa v a v Ia X =++⇒=. 5.21 11190.11.第6章证券定价6.1 价格为957.88元, 账面值为973.27元.6.2价格为974.82元, 账面值为930.26元（理论方法）, 929.82（半理论方法）, 1015（实践方法.6.37.227% . 6.4 6.986% .6.5 10201010101000.11000.091000.0897.74P a v a v a --=⨯+⨯+⨯=元.6.6债券每年末的息票收入为80元, 故有()()()54321082.27(1)801801801099.84(1)80(1)80 6.5%V V i V i i i i i ==+-=+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+-⇒=(3)3 8010001099.8412n n i a v n --⋅+=⇒= 1212 0.065801000(1.065)1122.38P a -=⋅+=元.6.7应用债券定价的溢价公式可以建立下述三个等式：20202040(1) 45(2) 50(3) 2X C i a C Y C i a C X C i a C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭由(3)/(1)得：501302403Ci Ci Ci --=⇒=-由(1)(3)+得：2020(902)902XX Ci a a Ci=-⇒=-所以有 20(45)/25Y Ci a X =-==元. 6.8 t = 7/12, 理论方法的账面值为87.35元, 实践方法的账面值为87.35元.6.9110019019/110910/33n n n v v a =⇒=⇒= 0.0311********.03n n P v a =+=.6.10 40n n P a M v =+⋅, 30n n Q a M v =+⋅, 令债券C 的价格为X , 则有8054n n X a M v X P Q =+⋅⇒=-.6.11 ()()()()1010 0.041010 0.0510*******.040.03581.49100011001.05P r a r P r a --⎧=+⎪⇒=⎨-=+⎪⎩ ()1010 0.0351*******.0351371100 1.0351371070.80X a -=⨯+⨯=6.12 ()()()219202320105050 1.03 1.03 1.03837.78P v v v v v ⎡⎤=+++++=⎣⎦L .6.13 偿还值的现值为55200584.68()v a =元, 未来息票收入的现值为5556012()355.99()a v Da +=元, 故债券的价格为940.67元. 也可以应用Makeham公式计算, 即0.06/0.07(1000584.68)584.68940.67P =⨯-+=元.6.14 2020 10104010001071.06401041.58P a v P P a X v X ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎪⎩⎩6.15 债券每年末的息票收入为60元, 修正息票率为60/1050 = 5.7143%, 小于投资者所要求的收益率8%, 所以赎回越晚（即到期时赎回）, 债券的价格越低. 由此可得该债券的价格为1010501050(5.7143%8%)888.94P a =+⨯-⨯=元.6.16 股票在第六年的红利为60.50.2(1.10)⨯⨯, 以后每年增长10%. 应用复递增永续年金的公式, 该股票的价格为6510.50.2(1.10) 1.1110.510.110.1P -=⨯⨯⨯⨯=-元.6.17 投资者每个季度的实际收益率为 2.47%j =, 应用复递增永续年金的公式, 投资者购买该股票的价格为0.3/(2.47%2%)63.83P =-=元. 6.18 1.5/305%10%i =+=. 6.19 30元.6.20 每股利润为109.500.50-=元, 保证金为100.505⨯=元, 保证金所得利息为50.0500.25⨯=元, 每股红利为0.1元, 卖空收益率为(0.50.250.1)/513%+-=.6.21 8.59%第7章利率风险7.115D =马, 基于名义收益率的修正久期为15/(11%)14.85D =+=. 年实际收益率为12.68%i =, 基于实际收益率的修正久期为15/(112.68%)13.31D =+=.7.2 1()/()e 1n nD P P δδδδ'==--7.3 假设债券的面值为100, 则92.648.027.57P D D ===马，， 7.4债券的马考勒久期可以表示为nm j a D m=&&马, 其中()/m j im =. 变形可得：()()()11(1)1(1)(1)n n m m m nm jni v D j a j a m i d--+-=+=+==&&马. 7.5 对年金的现值关于利率i 求导, 应用修正久期的定义公式可得111n nnv D i v +=--.7.6对于期末付永续年金, 现值为()1/P i i =, 2()1/P i i '=-, 所以修正久期为1/D i =, 马考勒久期为=(1)(1)/D D i i i +=+马.7.7对于期初付永续年金, 现值为()(1)/P i i i =+, 2()1/P i i '=-, 所以修正久期为1/[(1]D i i =+）, 马考勒久期为=(1)1/D D i i +=马.7.8 24 /2()510096.53()169.29 1.75()i P i P a v P i D P i ''=+=⇒=-⇒=-= 7.97.49D =效7.10 7.8861D D i ==+马, () 1.18%Pi D P∆=-∆⋅= ⇒ 新的债券价格近似为：75.98 1.01876.88⨯= 7.11 8.92D =效, 13.35C =效.2()0.5()8.85%Pi D i C P∆=-∆⋅+⋅∆⋅=-, 债券的新价格近似为95.59元. 7.12 修正久期为8.12, 凸度为101.24. 7.13 马考勒凸度为105.15.7.14 22231d 1d 216.67d d P P P i i i i i==⇒=- = ()116.67()P i D P i i'⇒=-==2()2555.55()P i C P i i''⇒=== 7.152()0.5() 4.28%Pi D i C P∆=-∆⋅+⋅∆⋅=- 7.16 负债的现值为12418.43L P =, 负债的马考勒久期为5LD =马, 负债的马考勒凸度为25L C =马. 不妨假设两种零息债券的面值均为1000元, 则4年期零息债券的价格为441000/(1)683.01P i =+=元, 10年期零息债券的价格为10101000/(1)385.54P i =+=元. 假设有%x 的债券投资4年期的零息债券, (1%)x -的债券投资10年期的零息债券, 由ALD D =马马, 有：(%)(4)(1%)(10)5%83.33%x x x +-=⇒=投资4年期零息债券的金额为10348.28元, 投资10年期零息债券的金额2070.15元. 7.17 债券A 的价格为982.17元, 马考勒久期为1.934, 马考勒凸度为3.8. 债券B 的价格为1039.93元, 马考勒久期为4.256, 马考勒凸度为19.85. 在债券A 上投资11.02%, 在债券B 上投资88.98%, 则债券组合的马考勒久期等于负债的马考勒久期, 均为4年, 债券组合的马考勒凸度为18.08, 大于负债的马考勒凸度16, 满足免疫的条件. 7.18 各种债券的购买数量分别如下：购买5年期债券的数量 80000 购买4年期债券的数量 300000 购买2年期债券的数量 600000 购买1年期零息债券100000购买各种债券以后净负债的现金流如下（单位：万元）： 年度 1 2 3 4 5 负债的现金流1794 6744 144 3144 824 5年期债券的现金流 24 24 24 24 824 净负债的现金流 1770 6720 120 3120 0 4年期债券的现金流 120 120 120 3120 0 净负债的现金流 1650 6600 0 0 0 2年期债券的现金流 600 6600 0 0 0 净负债的现金流 1050 0 0 0 0 1年期债券的现金流 1050 0 0 0 0 净负债的现金流第8章利率的期限结构8.1一年期债券的价格为102.78P =；两年期债券的价格为92.96P =；三年期债券的价格为112.43P =.11111102.788%1s s =⇒=+ 2212323123510592.969.03%1(1)1515115112.4310.20%1(1)(1)s s s s s s s =+⇒=++=++⇒=+++8.2现金流分别按对应的即期利率折现得债券的价格为：231010110105.751.05 1.06 1.08P =++= 8.3 各年远期利率分别为8%、10.1%和12.6%. 8.4假设债券的面值为100元, 计算5年期债券的价格：2345234512345234123410101010110101010101101.07 1.07 1.07 1.07 1.071(1)(1)(1)(1)1111 3.741(1)(1)(1)s s s s s s s s s ++++=+++++++++⇒+++=++++每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现即得其现值为：23412341111401189.751(1)(1)(1)s s s s ⎡⎤++++=⎢⎥++++⎣⎦8.5由远期利率计算的债券价格为：1010110107.251.07(1.07)(1.05)(1.07)(1.05)(1.1)++=（元）8.6假设债券的面值为100元, 则有：001041004%(1)f f =⇒=+1001200101261061008.16%(1)(1)(1)8810810012.69%(1)(1)(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f f f f ⇒=+⇒=+++⇒=++⇒=++++++8.7 应用即期利率和远期利率的关系, 有101022012330123116%(1)(1)(1) 5.50%(1)(1)(1)(1) 6.98%s f s f s f f s s f f f s +=+⇒==+=++⇒=+=+++⇒=8.8用t C 表示债券在t 年末的现金流入, 则有：111120%1.21C Cs s =⇒=+ 1212222220%1.2 1.2 1.2(1)C C C C s s +=+⇒=+ 33121232323320%1.2 1.2 1.2 1.2 1.2(1)C C C C C Cs s ++=++⇒=+ 8.91001120%s f f +=+⇒=3211221.21.2(1.2)(1)20%,120%1.2f f f =+⇒==-=8.10 00110106 3.77%1f f =⇒=+ 1001200101251059512.20%1(1)(1)991091029.37%1(1)(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f f f f =+⇒=+++=++⇒=++++++用远期利率计算年息票率为15%, 面值为100元的3年期债券的价格：0010121515115117.651(1)(1)(1)(1)(1)P f f f f f f =++=++++++ 8.11 用远期利率分别计算3年期和4年期零息债券的价格可得：01210082(1)(1)(1)f f f =+++，30123100759.33%(1)(1)(1)(1)f f f f f =⇒=++++8.12 21012012115%,(1)(1)(1)6%s f s s f f s +=+⇒=+=++⇒=假设债券的面值为100元, 则有：3233881081008.2%1.05 1.06(1)s s =++⇒=+8.13 通过收益率计算的债券价格为 2610693.061.1(1.1)P =+= 通过即期利率计算的债券价格为2610694.831.07(1.09)P =+= 债券价格被低估了1.77元, 故可以按94.83元的价格购买一个2年期债券, 同时按即期利率出售一个1年期的面值为6元的零息票债券和一个2年期的面值为106元的零息票债券.8.14 与远期利率一致的债券价格为5510597.421.05(1.05)(1.06)(1.05)(1.06)(1.07)P =++=（元） 债券的市场价格为100元, 说明债券被高估了, 因而存在套利机会.套利者可以按100元的价格卖出一个三年期债券, 同时将97.42元按4%的利率投资一年. 在第一年末, 支付已出售债券的5元利息后, 把剩余的资金在第二年按6%的远期利率再投资一年. 在第二年末, 支付已出售债券的5元利息后, 把剩余的资金在第三年按8%的远期利率进行投资. 在第三年末的累积值正好用于支付套利者所售债券在第三年末的偿还值. 完成上述步骤后, 套利者即可在当前时刻获得100 - 97.42 = 2.58元的无风险收益.第9章远期、期货和互换9.1股票多头的回收和盈亏如下表所示： 1年后的股票价格多头的回收多头的盈亏50 50 −16 60 60 −6 70704如果1年后的股票价格为66元时, 则股票多头的回收为66元. 购买股票的初始费用在1年后的累积值为66元, 所以盈亏为0元. 9.2股票空头的回收和盈亏如下表所示, 与多头的回收和盈亏正好相反. 1年后的股票价格空头的回收 空头的盈亏50 −50 16 60 −60 6 70−70−4如果1年后股票的价格是66元时, 则空头的回收为−66元. 初始所得在1年后的累积值为66元, 所以盈亏为 0元. 9.3 40.06/40.061(105 1.7e )e 104.54t t F -==-⨯=∑（元）9.4日股利为0.02/3651050.00575⨯=元. 若在年初持有一单位股票, 年末将持有0.02e 1.0202=单位. 若要在年末持有一单位股股票, 年初应持有0.02e 0.9802-=单位,故投资额为0.02105e 102.92-=元. 9.5（1）0.060.570e 72.13F ⨯=⨯=元. （2）0.0670e 720.032δδ-⨯=⇒=.9.6无套利的远期价格为 0.060.5105108.20F e ⨯==（元）（1）远期价格115 > 108.20, 所以投资者可以先签出一份远期合约, 约定在6个月末以115元的价格卖出股票. 同时借入105元购买股票, 承诺在6个月末还款. 到6个月末, 以115元卖出手中的股票, 同时偿还借款108.20元, 最终无风险获利6.80元. （2）远期价格107 < 108.20, 所以投资者可以先签订一份远期合约, 约定在6个月末以107元购买股票. 同时将手中持有的股票卖出, 获得105元, 将这105元投资于5%的零息债券, 6个月末可以获得108.20元. 6个月末利用远期合约买入股票, 最终获得无风险利润1.20元.9.7 22838483.491.05 1.055 1.05 1.055x xx +=+⇒= 9.8（1）232382838482.981.05 1.055 1.06 1.05 1.055 1.06x x xx ++=++⇒= （2）2323838483.501.055 1.06 1.055 1.06x xx +=+⇒= 9.9四个时期的浮动利率分别为0.06、 0.07、 0.08和 0.09. 互换利率为0.0745.9.10 应用债券组合的定价方法：0.13/120.1059/120.1115/120.13/124e 4e 104e 98.24(5.1100)e 102.5198.24102.51 4.27B B f B B -⨯-⨯-⨯-⨯=++==+==-=-=-固浮浮固第10章 期权10.1 远期多头的回收分别为−10元、−5元、0元、5元和10元, 空头的回收是其相反数. 看涨期权多头的回收分别为0元、0元、0元、5元和10元. 看跌期权的回收分别为10元、5元、0元、0元和0元.10.2 回收分别为0元、0元和5元. 盈亏分别为−6.01元、−6.01元和−1.01元.10.3 看跌期权的回收分别为5元、0元和0元. 盈亏分别为3.96元、−1.04元和−1.04元. 10.4 组合的回收分别为105元、105元、110元和115元. 组合的盈亏分别为−7.56元、−7.56元、−2.56元和2.44元.10.5 组合的回收分别为−105元、−105元、−110元和−115元. 组合的盈亏分别为12.81元、12.81元、7.81元和2.81元.10.6 多头的盈亏为0.95元, 盈亏平衡点为42.05元. 10.7 多头的盈亏为3.47元, 盈亏平衡点为28.53元. 10.8 看跌期权的期权费是3.13元. 10.9 10.2417d =, 20.09167d =.根据Black−Scholes 公式, 欧式看涨期权价格为：12()e () 3.61rTC S d K d -=Φ-Φ=根据平价公式, 欧式看跌期权价格为e 2.38rT P C K S -=+-=10.10 1.0905u =, 1/0.9170d u ==, 0.5266r t e dp u d∆-==- 欧式看跌期权的价值为2.62, 相应的二叉树如下：美式看跌期权的价值为2.71, 相应的二叉树如下：10.11 1.0524u =, 1/0.9502d u ==, ()0.5118r tedp u dτ-∆-==-欧式看涨期权的价值为19.63, 相应的二叉树如下：10.12 回收和盈亏如下表：股票价格 看跌期权回收总回收 成本及其利息 盈亏 90 5 95 −105.98 −10.98 100100−105.98−5.9810.13回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收股票空头回收总回收净收入及其利息盈亏90 0 −90 −90 94.03 4.03100 5 −100 −95 94.03 −0.97 10.14回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收空头回收总回收净收入及其利息盈亏100 0 −100 −100 97.44 −2.56 110 5 −110 −105 97.44 −7.5610.15回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收看跌期权回收贷出资金回收总回收净成本及其利息盈亏90 0 −5 95 90 −105 −15100 5 0 95 100 −105 −5 10.16回收和盈亏如下表：股票价格看涨期权回收看跌期权回收借入资金的回收总回收净收入及其利息盈亏100 0 5 −105 −100 105 5 110 −5 0 −105 −110 105 −510.17105(9.31 1.69) 1.0597--⨯=10.18通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：股票价格买进看涨期权的回收卖出看涨期权的回收总回收净成本及其利息盈亏90 0 0 0 −2.46 −2.5100 5 0 5 −2.46 2.54 10.19通过下表可以看到两种交易的盈亏相同：股票价格买进看涨期权的回收卖出看涨期权的回收总回收净成本及其利息盈亏90 0 0 0 3.41 3.41 100 0 −5 −5 3.41 −1.59第11章随机利率11.1 A 10的完整分布如下：概率 A 10 (A 10)2 0.20 1.63 2.65 0.40 2.10 4.41 0.402.918.48(1) 十年末累积值的期望为2330.05元.(2) 十年末累积值的方差为255027.66, 标准差为505.11.2 期望累积值为2593.74元. 累积值的方差为83865.54, 标准差为289.60. 11.3 期望累积值为1560.9元. 11.4 公式（3）和（4）是正确的.11.5 三个投资额的期望累积值分别为6350.4元, 3528元和2240元. 第3年末该账户的期望累积值为12118.4元.11.6 期望累积值为1.1449, 累积值的方差为0.000916.11.7 (1) ln(1)t i +的期望为0.073189, ln(1)t i +的方差为0.000122.(2) ()()25050ln 50, var ln 50E A A μσ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()[][]5050Pr 100040000Pr ln ln 40Pr 0.3761Pr 0.376A A Z Z >=> ≈> =-<⎡⎤⎣⎦ []Pr 0.3760.65Z <=, ()50Pr 1000AV 400000.35>= 11.8 累积价值的95%置信区间为（0.81, 1.34）. 11.9 (1)t i +的期望和方差分别为222/22E(1)e , var(1)e (e 1)t t i i μσμσσ+++=+=-, 故有E()0.0844, var()0.00235t t i i ==假设年收益率的中位数为k , 则有()ln(1)Pr()0.5Pr ln(1)ln(1)0.5Pr 0.5t t k i k i k Z μσ+-⎛⎫<=⇒+<+=⇒<= ⎪⎝⎭ln(1)08.33%k k μσ+-=⇒=.11.10 利率树：现金流和各节点的价值：可赎回债券的价格为99.19元.11.11 第1年末的即期利率由当前的即期利率发展而来, 在当前利率水平的基础上上调30%的概率为0.75, 下降30%的概率为0.25. 第2年末的即期利率由第1年末的即期利率发展而来, 在第1年末利率水平的基础上上调30%的概率为0.75, 下降30%的概率为0.25. 利率树如下：[]()()()()()()()()()()()()2E 0.750.750.08450.750.250.050.250.750.050.250.250.029596.813%i =+++=。
金融数学课程大纲
《金融数学》课程大纲教学目的：通过本课程的学习，让学生掌握利率度量的基本工具，可以计算年金的现值和累积值，熟悉收益率的计算和应用，掌握债务偿还的两种主要方法，可以计算债券的价格和账面值，理解远期、期货、互换和期权的基本概念及其基本定价方法，熟悉久期和凸度的概念及其应用。
课程简介：本课程的主要教学内容包括：利率、贴现率、利息力和累积函数等利率度量的基本工具，等额年金和变额年金的现值和累积值的计算，币值加权收益率和时间加权收益率的概念、计算及其应用，债务偿还的两种主要方法（分期偿还法和偿债基金法），债券价格和账面值的计算，远期、期货、互换和期权的基本概念及其基本的定价方法，久期和凸度的概念及其在利率风险管理中的应用。
教学进度和教学内容：第一讲利息度量累积函数和实际利率的概念，单利和复利的累积函数，实际贴现率及其与实际利率的关系。
必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，1-17页。
第二讲利息度量和等额年金名义利率的概念及其与实际利率的关系，利息力的概念及其与实际利率和名义利率的关系，等额年金的含义及其现值的计算。
必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，18-44页。
第三讲等额年金年金终值的计算，年金现值与终值的关系，可变利率年金的现值和终值，每年支付m次的年金的现值和终值的计算，连续年金和均值方程。
必读文献：（1）Chris Ruckman,Joe Francis, Financial Mathematics, BPP Professional Education. 2005.Chapter 1. （2）孟生旺，《金融数学》，中国人民大学出版社，2009年版，45-65页。
币值加权收益率和时间加权收益率
计算方法
币值加权收益率可以通过以下公式计算：(R_{币值加权} = frac{sum_{i=1}^{n} (P_{i,t1} P_{i,t0})}{sum_{i=1}^{n} P_{i,t0}})
其中 (R_{币值加权}) 表示币值加权收益率，(P_{i,t1}) 和 (P_{i,t0}) 分别表示第 (i) 种资产在时间 (t1) 和 (t0) 的价格，(n) 表示投资组合中资产的数量。
案例
假设一个投资组合中有两种货币资产，其中资产A的价值为100元，年化收益率为5%；资产B的价值为200元，年 化收益率为3%。如果投资组合的总价值为300元，则币值加权收益率为（100*5%+200*3%）/300=3.7%。
时间加权收益率的案例分析
时间加权收益率计算
时间加权收益率是指以时间作为权重计算的收益率，通常用于衡量投资组合在不同时间 点上的回报率。在计算时，将投资组合中不同时间点的资产价值进行加权，然后计算加
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币值加权收益率的优缺点
币值加权收益率能够更好地反映投资组合的实 际收益情况，因为它考虑了不同币种的价值变
化对投资组合的影响。
币值加权收益率的缺点是，它忽略了不同币种的时间 价值差异，可能导致对投资组合整体收益的误判。
币值加权收益率是以投资组合的币种价值为权 重计算的收益率，考虑了不同币种的价值对投 资组合整体收益率的贡献程度。
币值加权收益率和时间加权收益率
目录
• 币值加权收益率 • 时间加权收益率 • 币值加权收益率和时间加权收益率的
应用场景 • 币值加权收益率和时间加权收益率的
《利息理论》复习提纲
?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。
利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。
实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。
等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。
(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。
(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。
(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。
例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。
(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。
例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。
习题：1、2、3、4、15、16、19、24。
第二节利息问题求解 一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。
《金融数学》(第二版)公式汇总
孟生旺《金融数学孟生旺《金融数学》》（第二版）公式汇总∎复利的累积函数：0()()d ()(1)1(1)1e e t s mt mt m m t t t si d a t i d m m δδ−−=+=+=−=−=∫⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∎单利的累积函数：()1a t it=+∎各种利息度量工具之间的关系：（1）)1(i i d +=v i ⋅=()11n n d n ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦（2）)1(d d i −==()11m m i m +−⎡⎤⎢⎥⎣⎦e 1δ=−（3）dv −=1（4）i d id−=（5）()1(1)1m i m i ⎡⎤=+−⎣⎦（6）()111(1)(1)n n n d n d n v ⎡⎤=−−=−⎣⎦（7）()()11m nm n i d m n −+=−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（8）)1ln(i +=δ∎期末付复递增年金的现值：11n jPV a r =+末∎期初付复递增年金的现值：n j PV a =̇̇初，其中r 表示年金增长率，1i r j r−=+。
∎若i r =，则有：1n PV r=+末，PV n =初。
∎币值加权收益率的近似公式：)1(0t C A Ii t t −+≈∑∎时间加权收益率的一般公式：1/121(1)(1)(1)1T n i j j j +éù=+++-ëû⋯；如果投资期为1年，即T ＝1，则该年的时间加权收益率可以表示为121(1)(1)(1)1n i j j j +=+++-⋯，其中k j 是第k 个时间区间的时间加权收益率。
∎在等额分期偿还方法中，借款人每次偿还的总金额为R ，其中支付的利息为I k ，偿还的本金为P k ，未偿还本金余额为L k 。
它们的计算公式为：（1）in a L R |0=（2）I k =R (1–v n–k +1)=ik n iRa |1+−（3）P k =R v n–k +1=in a L |01+−k n v （4）L k =L 0(1+i )k –R k s |（过去法）=R i k n a |−（将来法）∎在等额偿债基金方法中，借款人每期支付的利息金额为I =iL 0，向偿债基金的储蓄额为D=jn s L |0，总的付款金额为I +D ，偿债基金在第k 期末的余额为j k s D |⋅，贷款净额为L 0–j k s D |⋅。
币值加权收益率和时间加权收益率
基金收益率
收益率的主要应用之一就是投资基金的收益分析。 收益率总与一定条件相联系，如某个时期的收益率 或某笔资金的收益率，若分析对象仅仅涉及一笔资 金，或者本金的变化仅仅发生在期末，那么收益率 的计算比较简单。现实生活往往是复杂的。譬如一 个投资基金，它的本金在一个度量时期是不断变化 的，随时都有新资金的投入，也不断有资金撤出。 那么在这种情况下，如何计算投资基金的收益率？
时间加权收益率
某资金基金参与人在年初时有1万元资金在基金中， 在年中，其基金价值降为5000元时，又追加5000元 投入，保持1万元在该基金中，至年底时，基金又 升值，其基金价值2万元。按投资额加权收益率计 算方法，有
10000(1 i) 5000(1 i) 20000
1 2
i 40.69%
当期的收益率可以表示为
I 2I i ( A0 A1 I ) / 2 ( A0 A1 I )
根据上述符号的定义，有 另外，假设投资期间内的基金所获得的收入是在期 末支付，则当期的利息为
A1 A0 C I
i
I iA Ct
t
(1t ) t
0 t 1
上式表明，若在0时刻起，投入一元资金，不 论这一年各时间段的收益率如何变化，这一 元资金一直保持在基金中，至年底可产生的 收益。
【例4-5】一个养老金账户在2007年1月1日的余额为40000元。在2007 年，该账户的现金流及余额变化情况如下表所示，其中负值表示取出养 老金，正值表示增加本金。请计算该账户在2007年的时间加权收益率。
通过上式要求出i的值，需要对 (1t ) it 作出假设，假 设 (1t ) it 按利率复利i计算，即有
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上式表明，若在0时刻起，投入一元资金，不 论这一年各时间段的收益率如何变化，这一 元资金一直保持在基金中，至年底可产生的 收益。
【例4-5】一个养老金账户在2007年1月1日的余额为40000元。在2007 年，该账户的现金流及余额变化情况如下表所示，其中负值表示取出养 老金，正值表示增加本金。请计算该账户在2007年的时间加权收益率。
通过上式要求出i的值，需要对 (1t ) it 作出假设，假 设 (1t ) it 按利率复利i计算，即有
(1t ) t
i (1 i) 1
1t
通过迭代的方法可以求出i的值。若基金各时刻的余 额保持大于0的话，显然收益率是唯一的。
若用下式近似表示(1t ) it（单利近似代替复利）， 可以较方便的计算初收益率，且误差较小： 则当期利率可近似表示为
A1 j1 1 A(0)
Ak 1 jk 1 1 Ak Ck
k 1, 2, , n
从0至1这一期间内的收益率可由下式计算： 即
1 i (1 j1 )(1 j2 )(1 jn )
Ak 1 A1 n i (1 j1 )(1 j2 ) (1 jn ) 1 ( A C ) 1 A(0) k 1 k k
时间加权收益率
某资金基金参与人在年初时有1万元资金在基金中， 在年中，其基金价值降为5000元时，又追加5000元 投入，保持1万元在该基金中，至年底时，基金又 升值，其基金价值2万元。按投资额加权收益率计 算方法，有
10000(1 i) 5000(1 i) 2
现金流发生前的 余额账户 40000
现金流
现金流发生后的 余额账户
2007.1.1
2007.5.1
41000
-2000
39000
2007.7.1
40000
-2000
38000
2007.9.1
38000
500
38500
2007.12.31
41000
【例4-6】基金在1月1日的余额为A，在6月 30日的余额为B，在12月31日的余额为C。 （1）如果没有资金的存入和撤出，请证明币 值加权收益率和时间加权收益率都等于 (C-A)/A. (2)如果在6月30日计算余额后存入资金D，试 求币值加权收益率和时间加权收益率。 （3）如果在6月30日计算余额之前存入资金 D，试求币值加权收益率和时间加权收益率。
I I i A (1 k )C kA (1 k ) B (1 k ) I
收益率的精确求法：
A0 (1 i) Ct (1 i)(1t ) A1
t
其中，i是当期的利率
【例4-4】某项投资1月1日投资100万元，4 月1日该项目投资余额为112万元，同时赎回 20万元。9月1日投资余额为110万元，同时 投入30万元，至年底累积至120万元，试计 算该项投资账户在当年的收益率。
当期的收益率可以表示为
I 2I i ( A0 A1 I ) / 2 ( A0 A1 I )
根据上述符号的定义，有 另外，假设投资期间内的基金所获得的收入是在期 末支付，则当期的利息为
A1 A0 C I
i
I iA Ct
t
(1t ) t
0 t 1
币值加权收益率
基金收益率
收益率的主要应用之一就是投资基金的收益分析。 收益率总与一定条件相联系，如某个时期的收益率 或某笔资金的收益率，若分析对象仅仅涉及一笔资 金，或者本金的变化仅仅发生在期末，那么收益率 的计算比较简单。现实生活往往是复杂的。譬如一 个投资基金，它的本金在一个度量时期是不断变化 的，随时都有新资金的投入，也不断有资金撤出。 那么在这种情况下，如何计算投资基金的收益率？
若该投资基金参与人在年中基金价值下降时， 赎回2500元投资，则至年末基金升值时，其 投资的价值为5000元。仍按投资额加权收益 率计算方法，有
10000(1 i) 2500(1 i) 5000
1 2
i 28.92%
对于同一期间内同一基金不同的投资行为， 收益率是不同的。产生差别的原因是前一种 投资行为在基金升值又投入一部分资金，而 后一种投资行为在基金升值前却赎回了一部 分资金，失去了一部分基金价值翻番的机会。
t t
I I I i A0 (1 k )C A0 (1 k )( A1 A0 I ) kA0 (1 k ) A1 (1 k ) I
币值加权收益率计算公式
I i A Ct (1 t )
t
I 2I i A 0.5C A B I
两种方法的比较
若收益率是唯一的，则上述两种方法的结果 是一致的。 区别：当收益率不存在或者存在多个收益率 时，收益率法不如净现值法方便。净现值法 对投资的收益显示较为直观，可以知道未来 的最低收益值。而收益率法比较好理解，也 便于在不同投资方式间进行比较。实务中偏 爱净现值法进行资本预算。
【练习】年初某基金有资金1000元，在4月 末新投入资金500元，在6月末赎回资金100 元，8月末赎回资金200元。到年底，基金余 额为1272元。计算基金收益率。
币值加权收益率可以准确衡量其赚钱或亏损 的程度。 在币值加权收益率的计算中，各不同时期投 入、赎回的资金额对收益率的影响很大。若 在高收益期投入的或保持的资金量较大，而 低收益期投入的或保持的资金量较小，则总 收益率就会较高。投资额加权收益率所计算 的是特定期间内、特定投资行为的收益率， 与具体的投资相关。
如果本金在一个时期内是不断变化的，那么 计算投资收益率，首先必须计算该项投资在 当期的平均本金余额，用当期的利息收入除 以当期的平均本金余额，即可求得投资收益 率。 如何计算当期的平均本金？ 假设本金在当期的变化是平稳的，当期的平 均本金就是期初本金余额和期末本金余额的 平均数。
币值加权收益率
1415 1661.5 1419.2 1666.12
100 100 100 100
245 375.5 389.6 533.56
【练习】某项投资1月1日价值10万元；5月1 日该项目投资价值升至112000元，同时又投 入3万元；11月1日，项目投资价值降到 125000元，同时又赎回42000元；年末项目 投资投资价值又升至10万元。计算投资收益 率；（1）用币值加权收益率计算法；（2） 用时间加权收益率计算法。
时间加权收益率
假设有一种投资基金，有很多都投资于该项 基金，一年下来，缪息额投资者可能会赚钱， 而另外一些投资者可能会亏本，原因？ 如何能反映基金经理人的经营业绩呢？ 即如何度量该项投资基金本身的收益特性？ 时间加权收益率是扣除了资金增减变化后计 算的收益率，即在本金恒定的基础上计算的 收益率。
(1t ) t
i (1 t )i
I i A Ct (1 t )
t
新增净投入的平均时刻的利率
假设所有新增投资平均发生在期中，则
I I 2I i A0 0.5C A0 0.5( A1 A0 I ) A0 A1 I
假设所有新的净投入都是在时刻k进行的， 则有 k t C C
只考虑一个期间的投资基金收益率，引入下列符号：
A0 ——表示期初基金的资本量
A1 ——表示期末基金的本息和 I——表示投资期间内基金所获得的收入（利息） Ct ——表示时刻t投入基金或从基金中赎回的资金 量（可以大于零，也可以小于零， 0 t 1 ） C——表示在此期间注入或赎回的资金之和， C Ct 即: t a ib ——表示在时刻b至b+a之间单位投资的收益， 其中：a≥0,b≥0且a+b≤1。
某投资基金年初价值为1000万元，至年中时降至价 值500万元，到年底价值又升至1000万元。若基金 在这一年中没有新投入、没有赎回资金的话， 当年的收益率为0。 从上面例子可以看出，这一个投资期（1年）内， 分为两个时间段。第一个时间段的投资收益率 -0.5，第二个时间段的投资收益率1。则整个期间的 收益率：
i (1 0.5)(1 1) 1 0
这就是时间加权收益率
币值加权收益率是从具体投资人的角度计算 的收益率，而时间加权收益率是从整个基金 管理人的角度计算的收益率,这个收益率能更 好的反映基金的运作情况。
计算时间加权收益率的方法
一个期间，有n次投资，其中 Ck 为各时刻投 入或赎回的资金净额，Ak 为各时刻的整个基 金的余额，不包括该时刻的新投入或赎回额。 jk 而 是相邻两个投入资金的时刻间的收益率。 则
【例4-7】A和B均为基金经理人。在2006年1月1日， 两人的基金余额均为1000元，在2006年的12月31 日，A的基金价值为2000元。2007年1月1日，A收 到一笔20000元的新增投资。到2007年12月31日， A的余额为22000元。 在2006年的12月31日，B的基金价值为1200元。 2007年1月1日，一笔1000元的资金从B中撤出。到 2007年12月31日，B的余额为180元。 请计算A、B两人在这两年的币值加权收益率和时间 加权收益率，并分别比较2006年和2007年谁的收益 率高。
【练习】某投资基金一年内四个时间段各期收益率及甲、乙两投 资人的个人投资额及积累值如表3-2所示。计算甲、乙投资人及基 金的投资收益率。
时间点
基金各期收 益率
甲各时刻投 资额
甲各时刻基 金积累额