第一章矢量分析优秀课件
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大学物理---矢量分析名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
假如矢量场对于任何闭合曲线旳环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场旳源称为旋涡源。电流是 磁场旳旋涡源。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
46
旋度旳有关公式：
矢量场旳旋度 旳散度恒为零
标量场旳梯度 旳旋度恒为零
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
47
3. 斯托克斯定理
从旋度旳定义出发，能够得到矢量场沿任意闭合曲线旳环 流等于矢量场旳旋度在该闭合曲线所围旳曲面旳通量，即
有净旳矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面旳矢量线相等
闭合曲面旳通量从宏观上建立了矢量场经过闭合曲面旳通 量与曲面内产生矢量场旳源旳关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
30
为了定量研究场与源之间旳关系，需建立场空间任意点（小 体积元）旳通量源与矢量场（小体积元曲面旳通量）旳关系。利 用极限措施得到这一关系：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
22
意义：描述标量场在某点旳最大变化率及其变化最大旳方向 梯度旳体现式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
23
梯度旳性质：
• 标量场旳梯度是矢量场，它在空间某
点旳方向表达该点场变化最大（增大）间变化率。
• 标量场在某个方向上旳方向导数，是
Fy x
Fx y
ex ey ez
x y z Fx Fy Fz
rot F F
物理意义：旋涡源密度矢量。 性质：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
44
旋度旳计算公式:
直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
45
假如矢量场旳任意闭合回路旳环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。
精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
工学第1章矢量分析课件
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
第一章 矢量分析.ppt
dr (a sin d )2 (b cosd )2 a2 sin2 b2 cos2 d .
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第一章 矢量分析
（2）ddrs 的几何意义 把矢性函数 A(t) Ax (t)i Ay j Az (t)k
看作其终点M（x，y，z）的矢径函数
2019/11/5
27
第一章 矢量分析
指向：当 dt >0时，与A(t)的方向一致；而且当 dt <0时，则与A(t) 的方向相反。
图1-8
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第一章 矢量分析
微分dA 的坐标表示式为
dA A(t)dt
Ax (t)dti Ay (t)dtj Az(t)dtk
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8
第一章 矢量分析
等于其终点M的三个坐标x，y，z
x Ax (t) y Ay (t) z Az (t) （1.3）
此式就是曲线l的以t为参数的参数方程。 曲线l的矢量方程（1.2）和参数方程（1.3）
之间，有着一一对应关系，只要知道其中的一 个，就可以立刻写出另一个来。
ds
ds
有
dr dr 1
ds ds
（2.9）
矢性函数对（其矢端曲线的）弧长s的导 数 dr 在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增
端曲线的切向矢量，指向对应t值增大的一方。
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第一章 矢量分析
3.矢性函数的微分
（1）微分的概念与几何意义 设有矢性函数A=A（t），我们把
dA A(t)dt (dt t) （2.4）
称为矢性函数A（t）在t处的微分。
微分dA 是一个矢量，而且和导矢A(t) 一
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（2）ddrs 的几何意义 把矢性函数 A(t) Ax (t)i Ay j Az (t)k
看作其终点M（x，y，z）的矢径函数
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指向：当 dt >0时，与A(t)的方向一致；而且当 dt <0时，则与A(t) 的方向相反。
图1-8
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微分dA 的坐标表示式为
dA A(t)dt
Ax (t)dti Ay (t)dtj Az(t)dtk
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第一章 矢量分析
等于其终点M的三个坐标x，y，z
x Ax (t) y Ay (t) z Az (t) （1.3）
此式就是曲线l的以t为参数的参数方程。 曲线l的矢量方程（1.2）和参数方程（1.3）
之间，有着一一对应关系，只要知道其中的一 个，就可以立刻写出另一个来。
ds
ds
有
dr dr 1
ds ds
（2.9）
矢性函数对（其矢端曲线的）弧长s的导 数 dr 在几何上为一切向单位矢量，恒指向s增
端曲线的切向矢量，指向对应t值增大的一方。
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第一章 矢量分析
3.矢性函数的微分
（1）微分的概念与几何意义 设有矢性函数A=A（t），我们把
dA A(t)dt (dt t) （2.4）
称为矢性函数A（t）在t处的微分。
微分dA 是一个矢量，而且和导矢A(t) 一
第1章 矢量分析
上 下
上
A a z dxdy
1 1
z 1
＋ A ( a z ) dxdy
下
＝
z0
1 2
z
0
1 2
AdV
V
0 0
1
( 3 x y ) dxdydz 2
0
故从立方体内穿出的通量为2，且高斯散 度定理成立，即
o
x 1
1
AdV
V
AdS
1 y
前 后
前
A a x dydz
x 1
＋ A ( a x ) dydz
后
＝1 0 1
x0
A d S＋ A d S＝
左 右
左
A（ a y ) dxdz
y0
＋ A a y dxdz
右
＝0
y 1
1 2
1 2
A d S＋ A d S＝
所包围
矢量场在闭合曲线 l 上的环量等于闭合曲线 l 曲面 S 上旋度的总和。
斯托克斯定理完成矢量旋度的面积分与该矢量的线积分 之间的互换。
第一章 矢量分析
【例1-4】 已知一矢量场 F a x xy a y 2 x , 试求： (1) 该矢量场的旋度； (2) 该矢量场沿半径为3的四分之一 圆盘边界的线积分，如图示，验证斯托 克斯定理。
A
x
y
z
3x y
o
x 1
1 1
y
(2) 从单位立方体穿出的通量： x Ad S
S
A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S
上
A a z dxdy
1 1
z 1
＋ A ( a z ) dxdy
下
＝
z0
1 2
z
0
1 2
AdV
V
0 0
1
( 3 x y ) dxdydz 2
0
故从立方体内穿出的通量为2，且高斯散 度定理成立，即
o
x 1
1
AdV
V
AdS
1 y
前 后
前
A a x dydz
x 1
＋ A ( a x ) dydz
后
＝1 0 1
x0
A d S＋ A d S＝
左 右
左
A（ a y ) dxdz
y0
＋ A a y dxdz
右
＝0
y 1
1 2
1 2
A d S＋ A d S＝
所包围
矢量场在闭合曲线 l 上的环量等于闭合曲线 l 曲面 S 上旋度的总和。
斯托克斯定理完成矢量旋度的面积分与该矢量的线积分 之间的互换。
第一章 矢量分析
【例1-4】 已知一矢量场 F a x xy a y 2 x , 试求： (1) 该矢量场的旋度； (2) 该矢量场沿半径为3的四分之一 圆盘边界的线积分，如图示，验证斯托 克斯定理。
A
x
y
z
3x y
o
x 1
1 1
y
(2) 从单位立方体穿出的通量： x Ad S
S
A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S＋ A d S
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
第一部分矢量分析基础课件PPT
课外学习实训
间形成的曲面。
一、学习报告 而对于无界空间（不存在边界面）：
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。
将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量 若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：
常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；
，标量场 在 处沿 方向为等值面方向（无改变） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
Ae er 在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。
矢量代数运算
A e x A x e y A y e z A zB e x B x e y B y e z B z
矢量的加法和减法
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律：
，则称在该区域V内，场 为无旋场。
dS e dl dl e ddz (
无源）
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该z 曲面的闭合曲线上的环流。
2、两个矢量的点积为标量
dSz ezdldl ez dd
体积元
dVdddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
式中：C 为常数；
u , v 为坐标变量函数；
1.4 矢量场的通量与散度 表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。
《矢量分析》PPT课件
2021/5/28
3
第一章 矢量分析
2.电磁场与电磁波的概念
• 电场 • 磁场 • 电磁场 • 电磁波
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第一章 矢量分析
1.2 电磁波谱
1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在
目前人类通过各种方式已产生或观测到的电磁波的最低频率 为 f 2102H z，其波长为地球半径的 5103 倍，而
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第一章 矢量分析
6、高斯公式(散度定理)
dF iv lim 1 F d S
v 0 vs
dF i v vlim F d S v 0s
对于有限大体积v，可将其按 如图方式进展分割，对每一小体 积元有
dF i v v 1s1F d S 1
dF i v v 2s2F d S 2
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第一章 矢量分析
3.课程内容和章节安排
按教材顺序，课程包括11章。第一章矢量分 析，主要介绍矢量场的散度和旋度以及标量场 的梯度，介绍亥姆霍兹定理，是数学根底。第 二章电场、磁场与麦克斯韦方程，根本理论以 及推导出麦克斯韦方程组；第三章介质中的麦 克斯韦方程；其次第四章利用矢量位和标量位 求解位函数；第五章静态场的解，如何根据场 量的边界条件来求解场的分布；第六章自由空 间中的电磁波，研究波的方程以及波的极化。 第七章非导电介质中的电磁波，学习电磁波在 介质中传播特性。
5
第一章 矢量分析
注意 1. 由于辐射强度随频率的减小而急剧下降，因此波
长为几百千米〔105米〕的低频电磁波强度很弱，
通常不为人们注意。
2. 实际使用的无线电波是从波长约几千米〔频率为几百千赫
〕开场：
波长3000米－50米〔频率100千赫－6兆赫〕的属于中波段
最新-《电磁场与电磁波》第1章矢量分析-PPT文档资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
矢量分析与场论基础课件
A yˆ = Ay
A zˆ = Az
直角坐标分量的求法
A的 方 向 与xˆ、yˆ、zˆ的 夹 角 分 别 为、、
Az
A
Ax
A cos
Ay
A cos
o Ay
Ax
Az A cos
y
、、
称
为A的
方向角
cos、cos 、cos
称
为A的
方向余弦
x
直角坐标系中 A矢量的模值计算公式：
A =A=
• 矢量（vector） （又称向量）：
既有大小又有方向的量，如力、速度、动量。 电磁理论中的矢量：电场强度、磁场强度等。
二、矢量的表示方法： • 图示法：一定长短的有向箭头
矢量的方向
矢量的大小（称为模值、模）
• 写法上：手写带箭头上标的字母，如 A、 a
印刷黑体（仅印刷品中采用）
• 矢量的模值表示为：A 或 A
第一章 矢量分析与场论基础
主要内容：
1.1 矢量的基本运算 1.2 矢量函数 1.3 场论基础 1.4 常用正交曲线坐标系
1.1 矢量的基本运算
1.1.1 矢量的概念
一、标量和矢量：
• 标量（scalar）：
只有大小没有方向的量， 用数值表示，如温度、 质量、体积。电磁理论中的标量：电量、电位、 电阻等等
B
A
二、矢量与标量的乘法和除法
• 模值： pA = p A
• 方向：
p>0 p <0
A pA pA
例子： F=ma
• 规则：
设 p , q均为实数
pqA pqA
p
qA
pA
qA
p A B pA pB
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A(BC) (AC)B (A B)C
—— 矢量三重积
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
1. 标量场的等值面
等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
等值面方程： u(x, y, z) C
A B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律
B
交换律 A B B A
B
A
AB
结合律 A (B C) (A B) C
矢量的减法
（2）标量乘矢量
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
Ax A cos
Ay A cos
Az A cos
A A(ex cos ey cos ez cos )
eA ex cos ey cos ez cos
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 B
边的平行四边形的对角线,如图所示。
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
eA A
eA
A
A
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az
e sin
cos
0
y
e
ey
e
ex
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。 q 如果物理量是标量，称该场为标量场。
e , e , ez
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量
dS
e dldlz
e ddz
dS
e dl dlz
e ddz
dSz ezdldl ez dd
体积元
dV dddz
圆柱坐标系 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
3. 球坐标系
坐标变量
r,,
A B AB
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( AxBy Ay Bx )
写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
坐标单位矢量 er , e , e
位置矢量 线元矢量
r err
dl erdr e rd ersind
面元矢量
dSr
er dl dl
er
r
2sindd
dS
e dlrdl
ezrsindrd
dS edlrdl erdrd
球坐标系
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量
r ex x ey y ez z
线元矢量
dl exdx eydy ezdz
面元矢量
dSx exdlydlz exdydz
dS y eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
例如：温度场、电位场、高度场等。
q 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
q 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z,t)、 F(x, y, z,t)
第一章矢量分析
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
若AABB，B 则A
A
B
AB
若 A // B ，则 A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
（5）矢量的混合运算
(A B) C AC B C —— 分配律
(A B)C AC BC —— 分配律
A(BC) B (C A) C (A B) —— 标量三重积
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dSzezdxdy
dz
dSyeydxdz
o
dy
dx dSxexdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积
,, z
坐标单位矢量
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与
e
ex
cos
圆柱坐标系 e sin
ez
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
0
e
0 0
1
ez 0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
er e
ex
ey
ez
sincos sinsin cos
cosin cossin sin
kA exkAx eykAy ezkAz
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
A B B A ——矢量的标积符合交换律
B A
矢量 A与 B 的夹角
AB
A B 0 A// B
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1