哈工大信号与系统第4章答案
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第四章习题答案4-1．
（1）
（2）（3）（4）
j
×
×
×
-0.25
o
-0.5
-3
图4-1
图4-２
j
×
×
×
-0.25
-0.5
图4-３
j
××
×
-0.25
-3
o
×
-0.5
×
1
-1
-1
图4-４
4-2．
（1） 8.3,
88.021-=-=d d （不在根轨迹上，舍去）
（2） 68.01-=d （先可估算，在此基础上试探出结果） （３）7.1,
3.021-=-=d d
4-3．
解：① 根轨迹的分支数为：由于n=３，m=0，系统有三条根轨迹分支。 ② 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p 2=-２＋j, p 2=-２-j ；三条根轨迹分支趋于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹为： [０,-∞]
④ 根轨迹的渐近线：本系统有三条根轨迹渐近线：
πππϕσ,3
)12(,32±=-+=-=--=
∑∑m n k m
n z
p a j
i
a
⑤根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：
022)(23=+++=K s s s s D ，将ωj s =代入方程解得：4,2=±=K ω
⑥根轨迹在p 2，p 3处的起始角：
0004590135)12(2
-=--+=πθk p ，而0453
=p θ
因此，概略画出系统的轨迹如图
图4-5根轨迹图
4-4
解：系统的开环传函为：)
2()
4(2)(++=s s s K
s G
① 根轨迹的分支数为：由于n=２，m=１，系统有二条根轨迹分支。
② 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p 2=-２；一条根轨迹分支趋于z=-4,一条根轨迹分支趋于无穷远处。
③ 实轴上的根轨迹为： [0,-2] ,[-4,-∞]
④ 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：
4
1211+=
++d d d ,解得：
8.6,2.121-=-=d d
因此，概略画出系统的轨迹如图4-6示。 由根轨迹图求出在分离点d 1 ，d 2处的开环增益为：
3.23,69.021==K K ,由根轨迹图可知，
系统无超调时的开环增益为：69.00<
4-5
解：系统特征方程为：0)
()
1(12=+++
a s s s K ，其等效开环传函为：
)
1()
1()()(2
++=
s s s K s H s G ，根据分离点求法，有关系式： d
d a d d 1
11=++，得：02)3(22=+++a d a d 解得：
4
)
9)(1()3(416)3()3(22
,1--±+-=
-+±+-=a a a a a a d 可见，系统若有分离点，其条件为上式根号内的值大于零，即：9>a 和1 1） 当a=1时，系统的开环传函为： 2)()(s K s H s G = ，系统的根轨迹为虚轴，如图4-7示。此时系统没有分离点。 2） 当a=9时，系统的开环传函为： ) 9()1()()(2 ++= s s s K s H s G ，有三条根轨迹，其渐近线为：4,900 -±=a ϕ，其分离点为：图4-6根轨迹图 34 ) 3(21-=+-= =a d d ，其根轨迹如图4-8示，可见系统有一个分离点。 3）当10< 1>-=a a σ，此时系 统根轨迹如图4-9示，可见无分离点。 4）当0-+++-=a a a d ， 而04 16)3()3(22<-+-+-=a a a d ，不在根轨迹上，舍去，因此只有一个分离点，根 轨迹如图4-10示。