因式分解在生活中的应用二例
因式分解简单应用
x2 +2x+2 = (x2 +2x+1)+1 = (x+1)2 +1＞0 ∴ ∣4x2 -4x+3 ∣-4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6
= 4x2 - 4x+3 -4(x2 +2x+2 ) +13x+6
通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解 因式的方法，叫做十字相乘法．
练习
用十字相乘法把下列各式分解因式：
11
1．x2-7x+12 4. x2-2xy-48y2
－3 －4 -3-4=-7
－8
11
6 －8＋6=－2
2=1×2 3=1×3 =(-1) ×(-3)
例1 把 2x2-7x+3分解因式：
3 2+3=5
4x4+3x2-1 = (4x2-1)(x2+1) = (2x2-1) (2x2+1)(x2+1)
分解因式：
2(4x2+1)2- 2x(4x2+1) -40x2 = 2[(4x2+1)2-x(4x2+1) -20x2] = 2(4x2+ 1+ 4x)(4x2+1 -5x) = 2(2x+1)2(4x -1)(x -1)
1 6+1=7
－1
－3 －2－3=－5
－3
－1 －6－1=－7
12
12 3 12 1 12
∴ 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)
因式分解的实际生活例题
因式分解的实际生活例题
以下是几个实际生活中可以应用因式分解的例子：
1. 房屋装修：假设你想在房子中安装地板和墙纸。
如果你知道要覆盖的地面和墙壁的面积，你可以使用因式分解来确定所需材料的数量。
例如，如果地板和墙壁的尺寸分别为(2x^2 + 5x + 3) 平方米和(3x + 2) 平方米，你可以因式分解后计算总面积为(2x+ 1)(x+ 3) 平方米。
2. 高速公路堵车问题：假设你开车在高速公路上行驶，交通拥挤导致车流缓慢。
假设你以速度2(x - 3) km/h行驶，而前方的拥堵导致你只能以速度3(x + 2) km/h行驶。
你可以使用因式分解来计算你的平均速度。
因为平均速度=总路程/总时间。
通过因式分解可以将总时间表示为表达式(2x - 6)(3x+ 6)，总路程为(2x - 6)(3x + 6) km。
然后，你可以通过总路程除以总时间来计算平均速度。
3. 金融投资：假设你在银行存款了一笔钱，并以每年4%的利率获得复利。
如果你打算将此存款投资10年，你可以使用因式分解来计算你在每一年的投资总额。
通过因式分解，你可以将投资总额表示为初始存款乘以(1 + 0.04)^10.
这些是在日常生活中可以应用因式分解的一些例子。
因式分解可以帮助我们根据给定的数学模型和问题，将复杂的表达式分解为更简单的形式，从而更容易进行计算和理解。
因式分解的方法及应用
因式分解的方法及应用因式分解是一种将一个多项式表达式写成一系列乘法形式的方法。
它在数学中有广泛的应用，包括解方程、求极值、化简表达式等等。
以下是一些常用的因式分解方法和应用：1. 提取公因式：如果一个多项式中的各项都有一个公因式，可以将这个公因式提取出来。
例如，对于多项式3x+6y，可以提取出公因式3，得到3(x+2y)。
2. 分组因式分解：对于一个多项式中的各项，可以进行分组，然后在每个组内进行因式分解。
例如，对于多项式2x+3xy+4y+6xy，可以分成两组，得到(2x+3xy)+(4y+6xy)，然后将每个组内分别提取公因式，得到x(2+3y)+2(2+3y)，再将公因式(2+3y)提取出来，得到(2+3y)(x+2)。
3. 平方差公式：对于一个二次多项式a-b，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x-4，可以使用平方差公式，得到(x+2)(x-2)。
4. 求根公式：对于一个二次多项式ax+bx+c，可以使用求根公式进行因式分解，得到(ax-r)(ax-r)，其中r和r是方程ax+bx+c=0的根。
例如，对于多项式x-5x+6，可以使用求根公式，得到(x-2)(x-3)。
5. 完全平方公式：对于一个二次多项式a+2ab+b，可以使用完全平方公式进行因式分解，得到(a+b)。
例如，对于多项式x+4x+4，可以使用完全平方公式，得到(x+2)。
6. 差平方公式：对于一个二次多项式a-2ab+b，可以使用差平方公式进行因式分解，得到(a-b)。
例如，对于多项式x-6x+9，可以使用差平方公式，得到(x-3)。
因式分解的应用包括：1. 解方程：通过因式分解，可以将一个多项式方程转化为多个一次方程或二次方程，从而求解方程的根。
2. 求极值：通过因式分解，可以将一个多项式表达式转化为一系列乘法形式，进而确定多项式的最大值或最小值。
3. 化简表达式：通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表达式化简为更简洁的形式，便于计算和理解。
因式分解的应用与实例
因式分解的应用与实例概述因式分解是数学中一个重要的概念和技巧，广泛应用于代数运算、方程求解以及数论等领域。
通过将一个复杂的表达式或方程分解为更简单的因子，我们能够更好地理解其结构和特性，从而更高效地解决问题。
应用场景1. 方程求解：在代数中，我们经常遇到各种形式的方程，如一次方程、二次方程等。
通过因式分解，我们可以将复杂的方程转化为一系列简单的因子，并从中找到解的方法。
2. 多项式运算：在代数中，多项式的加减乘除运算是常见的操作。
因式分解可以帮助我们简化多项式的表达式，并更方便地进行运算。
3. 数论问题：因式分解在数论中也有重要的应用。
通过将一个数进行因式分解，我们可以更好地理解其素数因子的分布规律，进而研究数论问题。
4. 几何问题：在几何学中，因式分解可以帮助我们分析和理解几何图形的性质和结构。
例如，可以通过因式分解得到一个三角形的面积公式，从而更方便地计算其面积。
实例说明1. 方程求解实例：- 将一次方程2x + 3 = 7进行因式分解，得到2(x + 3/2) = 7，从而得到x = 7/2 - 3/2 = 2/2 = 1的解。
- 将二次方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3的解。
2. 多项式运算实例：- 将多项式2x^2 + 3x + 1进行因式分解，得到(2x + 1)(x + 1)的形式，从而可以更方便地进行多项式的运算。
3. 数论问题实例：- 将数15进行因式分解，得到3 × 5的形式，从而可以了解15的素数因子分布。
4. 几何问题实例：- 将三角形的面积公式S = 1/2 * base * height进行因式分解，得到S = base/2 * height的形式，从而更方便地计算三角形的面积。
因式分解作为数学中重要的概念和技巧，在代数运算、方程求解以及数论等领域都有广泛的应用。
通过因式分解，我们可以简化问题的表达和计算，更深入地理解数学问题的本质。
因式分解的常见应用
因式分解的常见应用作者：王乐彰来源：《成才之路》2011年第15期因式分解是初中数学中极为重要的知识，也是学习解一元二次方程、一元二次不等式等知识的基础。
它在数学中有着广泛的应用。
根据题目的特点，灵活运用因式分解，可以提高解题速度。
本文就其常见的应用，结合实例进行归纳与探讨。
1. 利用因式分解求代数式的值例1若n为正整数，并且|a-b+1|＋（c+d+2008）2=0。
求2d（a-b）2n-1+(c-d)（a-b）2n-1的值。
解：由非负数的性质知a-b=-1，c+d=-2008。
又∵n为正整数，∴2n-1为奇数。
∵2d（a-b）2n-1+（c-d）（a-b）2n-1=（a-b）2n-1（2d+c-d）=（a-b）2n-1（c+d）=（-1）2n-1×（-2008）=2008。
例2若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值。
解：将两方程相加，得（x+y）2+（x+y）=42。
于是（x+y-6）（x+y+7）=0，所以x+y=6或者x+y=-7。
2. 利用因式分解求最值例3设x、y都是正整数，且使+=y，求y的最大值。
解：∵x、y均为正整数，=m与也均为非负整数，∴设=m，=n(m、n为非负整数，且m于是有x-116=m2………………①x+100=n2………………②②-①，得n2-m2=216，即（n-m）（n+m）=23×33。
∵y=m+n，要求y的最大值，即要求m+n的最大值，又∵n-m与n+m具有相同的奇偶性，∴m+n的最大值为23×33=108，即y的最大值为108。
3. 利用因式分解化简代数式例4若a2+4ab+4b2-1=0，化简a3+2a2b+a2。
解：由已知得（a+2b）2=1，∴a+2b±1。
∴a+2b=1时，a3+2a2b+a2=a2（a+2b+1）=2a2。
a+2b=-1时，a3+2a2b+a2=a2（a+2b+1）=0。
【知识点解析】专题训练6 因式分解的七种常见应用
因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形， 它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等 变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求 值、几何等方面起着重要作用．
应用 1 用于简便计算
1．利用简便方法计算： 23×2.718＋59×2.718＋18×2.718. 解：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718 ＝(23＋59＋18)×2.718 ＝100×2.718 ＝271.8.
(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
应用 3 用于判断整除
4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两 位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另 一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两 位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？
解：设该两位数个位上的数字是b，十位上的数 字是a，且a≠b，则这个两位数是10a＋b，将 十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a， 则这两个两位数中，较大的数减较小的数的 差是|10a＋b－(10b＋a)|＝9|a－b|，所以所得 的差一定能被9整除．
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0. 又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0， (a－c)2≥0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0， 即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
应用 5 用于比较大小
6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，指出 A与B哪个大，并说明理由．
解：B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9 ＝(a＋3)(a－3)． 因为a＞2，所以a＋3＞0， 当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B； 当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B； 当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.
解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝(n2＋n＋1)2. 理由如下： n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2 ＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1 ＝[n(n＋1)＋1]2 ＝(n2＋n＋1)2.
因式分解的应用
因式分解的应用嘿，朋友们！今天咱就来唠唠因式分解的那些奇妙用处。
你说这因式分解啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢！咱就拿解方程来说吧，有些方程那叫一个复杂，看着就头疼。
可要是咱会因式分解，嘿，一下子就能把它变得简单明了，轻松找到答案，这感觉是不是特爽？就好像你在迷宫里转悠半天找不到出口，突然发现了一条秘密通道，一下子就走出去啦！再说说几何图形。
有时候那些图形的边长、面积啥的，计算起来好麻烦呀。
但如果能巧妙地运用因式分解，哇塞，难题迎刃而解。
就好比你要爬上一座高山，因式分解就是那根能帮你省力的登山杖。
还有啊，在实际生活中也能瞧见因式分解的影子呢！比如说你要布置房间，怎么摆放家具最合理，这其实也能和因式分解挂上钩。
把空间当成一个式子，通过因式分解来找到最合适的布局，是不是很有意思？你想想看，数学的世界就像一个大宝藏，而因式分解就是其中闪闪发光的宝贝之一。
它能让复杂的问题变得简单，让我们能更轻松地探索数学的奥秘。
这就好像你有了一双神奇的翅膀，可以在数学的天空中自由自在地翱翔。
咱再打个比方，因式分解就像是一个贴心的小助手，随时随地帮你排忧解难。
当你遇到难题时，它会跳出来说：“嘿，别怕，有我在呢！”然后三下五除二就帮你搞定啦。
而且哦，学会了因式分解，你会发现自己对数学的理解更深了，就像挖井挖到了清泉，那股清凉和喜悦会涌上心头。
你难道不想拥有这样的体验吗？所以啊，可别小瞧了这小小的因式分解，它的用处可大着呢！它能让我们在数学的道路上走得更稳、更远，能让我们看到更多美丽的风景。
朋友们，赶紧拿起笔，去探索因式分解的奇妙世界吧，你一定会收获满满的惊喜和快乐！怎么样，还不赶紧行动起来？。
因式分解教案 (优秀5篇)
因式分解教案（优秀5篇）初二数学因式分解教案篇一1、shouldshould是情态动词，意为“应当，应该”。
表示义务、责任，可用于各种人称，无人称和数的变化，也不能单独作谓语，只能和主要动词一起构成谓语，表示说话人的语气和情态；否定形式为should not，缩写为shouldn’t。
其主要用法有：(1)表示责任和义务，意为“应该”。
You should take your teacher’s advice.你应该听从你老师的建议。
You shouldn’t be late for class.你不应该上课迟到。
(2)表示推断，意为“可能，该”。
The train should have already left.火车可能已经离开了。
(3)当劝某人做或不做某事时，常用should do sth.或shouldn’t do sth.，比must和ought to 更加委婉。
You should brush your teeth vefore you go to bed.你在睡觉前应该刷牙。
2、need(1)need作实义动词，意为“需要，必然”，有人称、时态及数的变化。
sb./sth.需要某人/某物need+ to do sth.需要做某事doing需要(被)做He needs some help.他需要些帮助。
You didn’t need to come so early.你不必来这么早。
The flowers need watering.花需要浇水。
(2)need也可作情态动词，意为“需要，必须”，没有人称、数和时态的变化，后接动词原形，多用于否定句和疑问句中。
He need not go at once.他不必立刻走。
Need he go at once?他必须立刻走吗？用must提问的句子，其否定回答常用needn’t。
— Must he hand in his homework this morning?他必须今天上午交作业吗？— No, he needn’t.不，不必了。
因式分解在实际生活中的应用
因式分解在实际生活中的应用
1. 经济学中的成本分析
在经济学中，成本分析是一种评估和决策的工具，它用于帮助企业或个人确定产出产品或提供服务的成本。
因式分解在成本分析中可以用于分析和确定各种成本组成部分。
通过将成本因式分解成不同的因素或变量，可以更好地理解和优化成本结构，从而做出更明智的决策。
2. 物理学中的力学分析
在物理学中，因式分解可以应用于力学分析。
力学涉及物体运动和作用力的研究。
多项式的因式分解可以用于分析和描述物体所受到的力的来源和性质。
通过将力因式分解成其组成部分，可以更好地理解物体的运动和力的相互作用。
3. 统计学中的回归分析
统计学中的回归分析是一种用于分析和预测变量之间关系的方法。
在回归分析中，因式分解可以应用于多元回归模型，用于解释
因变量与自变量之间的关系。
将多元回归模型进行因式分解可以帮
助我们理解不同自变量对因变量的影响，并确定哪些自变量是显著的。
4. 工程学中的电路分析
在工程学中，电路分析是一种用于分析和设计电路的方法。
因
式分解可以应用于电路分析中的电路方程组。
通过将电路方程组进
行因式分解，可以更好地理解电路中各个元件之间的相互作用和关系，以及电流和电压的分布情况。
总结而言，因式分解不仅仅在数学中有应用，而且在实际生活
中也有一些重要应用。
它可以用于经济学中的成本分析、物理学中
的力学分析、统计学中的回归分析以及工程学中的电路分析等领域。
通过将复杂的问题进行因式分解，我们可以更好地理解问题的本质
和相互关系，从而做出更准确的分析和决策。
因式分解在实际生活中的应用
因式分解在实际生活中的应用因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．一、提取公因式法的应用例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？分析：总共有3300m的道路，第一个月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310所以这两个月共完成2310m拓宽任务．例2在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时，求U的值分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式解：当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100 评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．二、平方差公式的应用例3学校在一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m2的草坪，够不够铺绿地？分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单解：依题意得13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82=(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128 因为130>128所以购买130m 2的草坪，够铺绿地．例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为、，则该种保鲜膜的厚度约为_____（取3.14，结果保留两位有效数字）．分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的．设厚度为xcm ，展开时体积为x×20×6000(cm 3)未展开的体积为20×3.14×2)24.4(− 20×3.14×2)26.3( 解：设设厚度为xcm ，依题意得x×20×6000=20×3.14×2)24.4(−20×3.14×2)26.3( x×20×6000=20×3.14×(2.22−1.82)6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2−1.8)6000x=5.024解之得 x=8.4×10−4评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．三、完全平方公式的应用例5 达活泉公园有一块长为 51.2m 的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m ，问剩余绿地的面积是多少？分析：用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22)=51.22−2×1.2×51.2+1.22=(51.2−1.2)2=502=2500所以剩余绿地的面积为2500m2评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．四、因式分解的综合应用例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．分析：按照原理，需把4x3y−xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码解：4x3y−xy3= x(4x2−y2) = x(2x+y)(2x−y)当x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30，(2x−y) = 10又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．新课标第一网系列资料。
“整式乘法与因式分解”的生活应用
“整式乘法与因式分解”的生活应用作者：***来源：《初中生世界·七年级》2022年第04期学习了“整式乘法与因式分解”一章，我们就可以立足于本章知识，在实际生产、生活中加以应用，将学到的数学思想、知识技能和方法运用到现实生活中。
例1 每学期开始的时候，一些同学要为新书包上书皮。
现有一本数学教材，如图1，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm。
用一张长方形纸包这本数学教材，需要将封面和封底各邊各折进去一部分。
封皮的平面展开图如图2所示。
假设封面和封底各边各折进去xcm比较合适，那么，当各边多折进去1cm时，包书纸面积要增加多少cm2？【分析】要解决这个问题，就要把包书纸面积用含x的代数式表示出来，然后将x替换为x+1，再作差计算。
解：包书纸的面积是（18.5×2+1+2x）（26+2x）=（38+2x）（26+2x）=4x2+128x+988，多折进去1cm时，包书纸的面积是4（x+1）2+128（x+1）+988，作差，得8x+132，即包书纸面积要增加（8x+132）cm²。
用数学的眼光来看这个问题，就是多项式乘多项式和整式减法的运用。
用数学语言计算出来的结果是带有一般意义的量，揭示了一般规律，即和前一次折进去的xcm相比，再多折1cm，包书纸的面积就要增加（8x+132）cm²。
例2 某工厂需要建造一个模型，在半径为R的圆形钢板上，除去半径为r的四个小圆。
当R=7.8cm，r=1.1cm时，剩余部分的面积是多少？（四个小圆各不相交，结果保留π。
）【分析】剩余部分的面积等于大圆的面积减四个小圆的面积。
如果直接计算，由于涉及平方运算，比较烦琐，我们不妨先列出算式，再观察，最后通过因式分解使运算变简便。
解：剩余部分的面积=7.82π-1.12×4π=7.82π-1.12×22π=（7.82-2.22）π=（7.8+2.2）×（7.8-2.2）π=10×5.6π=56π（cm2）。
因式分解的应用(含答案)
1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（ ）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（ ）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（ ）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （ ）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（ ）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数． 当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4； 由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。
因式分解的应用与实例
因式分解的应用与实例引言因式分解是代数学中重要的概念和技巧之一。
它能够将复杂的代数式简化为更简洁且易于处理的形式，进而帮助解决各种数学问题。
本文将介绍因式分解的应用及其实例，并展示其在数学和实际生活中的重要性。
数学上的应用1. 简化代数式：因式分解能够将复杂的代数式拆解为由简单因子相乘的形式，从而简化计算过程。
例如，将多项式进行因式分解后，可以化简运算，提高计算效率。
2. 求解方程：因式分解在求解代数方程中发挥了重要作用。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的根，从而解决许多数学问题。
例如，对于二次方程，使用因式分解可以更轻松地找到方程的解。
实际生活中的应用1. 财务分析：因式分解可以用于财务数据的分析和解读。
例如，对于公司的利润总额，通过因式分解可以明确各部分成本对利润的影响程度，帮助企业制定合理的成本控制策略。
2. 电路分析：因式分解在电路工程中有广泛的应用。
通过对电路进行因式分解，可以简化电路的分析和计算，帮助设计师更好地理解电路的工作原理和性能。
3. 统计分析：统计学中常常需要对大量数据进行整理和分析。
因式分解可以将数据分解为不同的因子，从而更好地理解和解释数据的结构和特征。
实例1. 数学实例：如何因式分解多项式- 多项式 a^2 - 4b^2 可以因式分解为 (a + 2b)(a - 2b)- 多项式 x^2 + 4x + 4 可以因式分解为 (x + 2)^22. 经济实例：利润的因式分解- 假设一家公司的利润总额为L，经过因式分解，可以得到利润与销售额、成本和税收之间的关系。
如 L = S - C - T，其中S代表销售额，C代表成本，T代表税收。
3. 电路实例：电路的因式分解- 将一个复杂的电路进行因式分解，可以得到电路中各个组件之间的关系，从而更好地分析和设计电路。
结论因式分解作为一种重要的代数工具，在数学上和实际生活中都有广泛应用。
它能够简化复杂的代数式，帮助解决各种数学问题，同时也能够应用于财务分析、电路分析和统计分析等领域。
因式分解的八种常见应用
因式分解的八种常见应用嘿，朋友！想象一下，你正在为一场数学考试埋头苦读，而因式分解这个家伙就像个调皮的小精灵，时不时跳出来给你制造点小麻烦。
不过别担心，等你了解了因式分解的八种常见应用，它就会变成你的得力小助手啦！咱先来说说在简化计算中的应用。
比如说，你要计算 25×19 +25×81 ，如果直接算，那可有点麻烦。
但要是用因式分解，把式子变成25×（19 + 81），这不就简单多啦？一下子就能得出 25×100 = 2500 。
这就好比你在一堆杂乱的衣服中找到了整理的窍门，轻松又快捷，是不是？再来讲讲在解方程中的大作用。
就像有个方程 x² - 4x = 0 ，你要是不会因式分解，可能就得抓耳挠腮半天。
可一旦把它变成x(x - 4) = 0 ，那答案不就呼之欲出了嘛，x = 0 或者 x = 4 。
这感觉就像在黑暗中突然找到了明灯，一下子就看清了前方的路。
还有在几何图形面积计算里，因式分解也能大显身手呢！假设给你一个长方形，长是 a + b ，宽是 a - b ，让你求面积。
通过因式分解，面积就可以表示为 (a + b)(a - b) = a² - b²。
这不就把复杂的图形问题变得简单明了啦？在代数式求值中，因式分解更是神通广大。
比如已知 a + b = 5 ，ab = 6 ，要求 a² + b²的值。
我们可以通过 (a + b)² = a² + 2ab + b²，然后因式分解得到 a² + b² = (a + b)² - 2ab = 5² - 2×6 = 13 。
这就好像给了你一把神奇的钥匙，能打开各种数学难题的锁。
在分式运算里，它也能帮上大忙。
比如说要化简分式 (x² - 4) / (x + 2) ，因式分解后变成 (x + 2)(x - 2) / (x + 2) ，约分一下就是 x - 2 。
如何通过因式分解解决高考数学中的题目
如何通过因式分解解决高考数学中的题目数学是一门需要长时间不断练习和思考的学科，高考数学中的题目也是如此。
在解决高考数学中的题目时，因式分解是一种非常有用的方法。
下面我将阐述如何通过因式分解解决高考数学中的题目。
一、因式分解的基础1.1 因式分解的定义所谓因式分解，就是将一个多项式按照公因式的形式分解为若干个一次或多次的因子的乘积。
例如，将 $12x^3y^2 - 8x^2y^3$ 进行因式分解，得：$$4x^2y^2(3x - 2y)$$在这个例子中，$4x^2y^2$ 是公因式，$3x - 2y$ 是因式。
1.2 因式分解的方法在因式分解中，通常可以使用以下方法：(1) 先提取公因式，将多项式化为公因式和小括号内的式子的乘积；(2) 利用各种因式公式，将小括号内的式子进行因式分解。
二、因式分解在高考数学中的应用2.1 整式的因式分解在高考数学中，经常会出现求整式的因式分解的问题。
具体方法如下：(1) 先尝试提取公因式；(2) 使用各种因式公式进行因式分解。
举个例子，对于 $x^2 - 5x + 6$，可以先提取公因式 $x^2 - 5x +6 = (x - 2)(x - 3)$。
2.2 分式的分解与合并在高考数学中，也会出现求分式的分解与合并的问题。
具体方法如下：(1) 对于分母为二次项的分式，可以使用“配方法”进行分解；(2) 对于分母为多项式的分式，可以使用分式分解法进行分解。
比如，对于 $\dfrac{x^2 + 2ax + a^2}{x^2 - a^2}$，可以使用“配方法”进行分解：$$\dfrac{x^2 + 2ax + a^2}{x^2 - a^2} = \dfrac{(x + a)^2 - a^2}{(x + a)(x - a)} = \dfrac{x + a}{x - a}$$2.3 解方程在高考数学中，也会出现需要通过因式分解来解方程的问题。
具体方法如下：(1) 按照方程的类型进行合理的因式分解；(2) 然后根据因式分解的结果，将方程化为一次方程或二次方程进行解答。
因式分解的实例
因式分解的实例引言因式分解是代数学中的基本概念，它在求解方程、简化表达式等方面发挥着重要作用。
本文将通过具体的实例介绍因式分解的方法和应用。
例子一：简化表达式首先，考虑以下表达式：2x + 4xy。
为了简化这个表达式，我们可以使用因式分解来找到公因式。
观察表达式中的项，发现它们都含有x。
所以，我们可以因式分解出x：x(2 + 4y)。
这样，我们就成功地简化了表达式。
例子二：求解方程现在，让我们来看一个求解方程的例子：x^2 + 5x + 6 = 0。
我们可以通过因式分解来解这个方程。
首先，我们需要找到方程的因子。
观察方程右边的常数项，我们可以将其分解为2个因子，即2和3。
接下来，我们需要找到x的系数的因子。
观察方程中x^2和x的系数5，我们可以将其分解为2个因子，即1和5。
现在我们将这些因子组合起来：(x + 2)(x + 3) = 0。
根据乘积为零的性质，我们得出两个解x = -2和x = -3。
这样，我们成功地求解了方程。
例子三：分解多项式最后，让我们来看一个分解多项式的例子：x^2 - 4。
为了分解这个多项式，我们可以使用差平方公式，它可以将一个完全平方差分解为两个因子的平方。
根据差平方公式，我们可以将x^2 - 4分解为(x + 2)(x - 2)。
这样，我们成功地分解了多项式。
结论通过以上例子，我们可以看到因式分解在求解方程、简化表达式和分解多项式中的重要作用。
因式分解可以帮助我们更好地理解代数学中的概念，解决各种数学问题。
希望本文提供的实例能够帮助你更好地掌握因式分解的方法和应用。
因式分解幽默小故事
因式分解幽默小故事有一天，数学课上，老师讲解因式分解的知识。
小明听得津津有味，对因式分解产生了浓厚的兴趣。
回到家里，小明按捺不住内心的激动，决定给爸爸讲解因式分解的幽默小故事。
在晚饭桌上，小明欢快地开口说道：“爸爸，我今天在学校学了一个很有趣的数学知识，叫做因式分解。
”爸爸露出了好奇的表情，询问道：“因式分解是什么？”小明兴致勃勃地继续说道：“就是将一个数按照因子的形式分解开来，比如6可以分解为2乘以3。
”爸爸点点头，表示理解了这个概念。
小明接着说道：“其实，因式分解还可以用在生活中哦！比如有一天，小狗追着小猫跑，结果小狗追了两圈，小猫追了三圈，那么我们可以将这个情景因式分解为2乘以3，就像数学中的因式分解一样。
”爸爸听完小明的描述，忍俊不禁地笑了出来。
他觉得儿子用因式分解的概念来解释生活中的场景，既形象生动又富有创意。
因此，爸爸决定鼓励小明继续探索数学知识，激发他在数学领域的兴趣和潜力。
这个因式分解的幽默小故事，让爸爸对孩子的智慧和想象力感到欣慰，同时也为数学这门学科增添了一丝趣味和神奇。
或许，在孩子们眼中，数学不再是一道枯燥的题目，而是一个充满乐趣和创意的世界。
通过这个小故事，我们不仅可以看到因式分解在数学中的应用，还能感受到孩子们独特的思维和表达方式。
让我们在教育孩子的过程中，多一些包容和鼓励，让他们在探索知识的道路上充满信心和勇气。
因为，每一个孩子都是一个充满潜力和可能的宇宙，只等待我们去发掘和呵护。
愿每一个孩子都能像小明一样，用心探索，用爱发现，用智慧创造，成为未来的希望和力量。
中考数学复习：专题1-9 因式分解在生活中的应用
专题09 因式分解在生活中的应用【专题综述】利用因式分解不仅能解决许多数学问题，而且在现实生活中也有很多的应用，灵活巧妙地利用因式分解，往往可以对生活中的实际问题起到化繁为简，方便快捷的效果，让我们一起来赏析因式分解在生活中妙用.【方法解读】例1：每一天喝一包鲜牛奶逐渐成了人们的生活习惯.某种鲜牛奶的包装袋上注明了所含的营养成分，其中脂肪≥3.1％，蛋白质≥2.9％，非脂乳固体≥8.1％，钙80－120mg/ml，请你计算一包200ml（大约206克）的牛奶中脂肪和蛋白质的含量至少有多少克？【举一反三】学校为庆祝建国60周年活动，举行了盛大的演出方队，其中一个造型方队中每行每列均是96人，你能很快的算出这个方队一共有多少人吗？例2.：晶晶在暑假期间制作了一个房子模型，如图所示（单位：m），要把其中的这一面墙涂上颜色（4个窗户除外），那么涂色的面积是多少？【举一反三】 如图，是某县城一住房小区，现开发商要在原来小区（正方形）的基础上准备进行扩建，且使扩建后的小区平面仍旧是正方形，如果按土地的成本价是1500元/m 2计算，那么开发商在整个小区的土地成本投资应是多少万元？ 新建住房区新建住房区新建住房区原居民区36m 64m【强化训练】1．计算：22014-(-2)2015的结果是( ) A. 24029 B. 3×22014 C. -22014 D. (12)2014 2．如图，边长为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为 ．3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x =， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A. 201030 B. 201010 C. 301020 D. 2030104．分解因式错误!未找到引用源。
因式分解应用题
因式分解应用题目
哎，说起这个因式分解哦，那可真是个数学里头不得不提的板眼儿。
今儿个咱就来摆一摆那些因式分解的应用题目，看看到底是咋个回事儿。
就说那个小明娃儿啊，他在做一道题，题目说的是要把一个多项式化成几个整式的积。
小明一看，嘿，这不就是因式分解嘛！他拿起笔，刷刷刷就开始算。
多项式里头有平方差，有完全平方，还有十字相乘法，小明心头有数，一一化解开来，那是相当麻溜。
再比如，有个应用题，说的是要修个鱼塘，长是宽的两倍，面积是一千平方米。
问这个鱼塘的长和宽各是多少米。
这时候，因式分解又派上用场了。
先把面积公式写出来，设宽为x，长就是2x，面积就是2x乘以x等于一千。
然后嘞，就把这个方程用因式分解的方法解出来，x一求出来，长宽不就知道了嘛！
还有哦，解方程的时候，特别是那种二次方程，因式分解简直就是神器。
把方程左边化成两个因式的乘积等于零，然后分别令每个因式等于零，解出来的就是方程的解了。
所以说啊，这个因式分解，在数学里头那是相当重要。
不管是做题还是解决实际问题，都离不开它。
要是掌握了因式分解，那做起题来，简直就是得心应手，游刃有余。
所以啊，同学们，一定要好好学因式分解，别到时候遇到题目了，才晓得“书到用时方恨少”哦！。
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因式分解在生活中的应用二例
因式分解作为中学代数中的一个很重要的恒等变形，它的地位十分重要，它有着广泛的应用，利用它可以解决一些实际生活问题。
一.利用因式分解设计密码
例：（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是什么？（写出一个即可）.
分析：按照原理，需把4x3y-xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码
4x3y-xy3=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y）
当x=10，y=10，各因式的值是：x=10，（2x+y）=30，（2x-y）=10
又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010
二：利用因式分解解决扑克牌的问题
例：小明与小红玩扑克游戏：共有两副扑克牌，现将牌最上面一张发出，将下一张放最下面，依此类推，直至发完所有的牌，问最后一张是什么牌？（牌的顺序：大王，小王，黑桃，红桃，梅花，方块，同种色顺序：A，2，……Q，K）。
分析：这么多的扑克牌，会给我们造成很大的麻烦。
我们可以先考虑简单的，从中找出规律，再思考复杂的情况。
我们按顺序给扑克牌编号，第一张1号，第二章2号，以此类推……
（1）如果是3张牌，1号，2号，3号，结果是2号。
（2）如果6张牌，1号到6号，结果是4号。
（3）如果10张牌，1号到10号，结果是8号。
（4）若果12张牌，1号到12号，结果是8号。
（5）如果20张牌，1号到20号，结果是16号。
……
从中我们可以得到什么规律呢？原来4分解为2×2，8分解为2×2×2，16分解为2×2×2×2，如果有n张牌，只要在不超过n的数中找到一个可以分解为若干个2相乘的最大的的数就对了。
也就是这个最大数要等于2n。
那在两副扑克，也就是108张牌中，能够分解为都是2相乘的最大数为64，那么就是第64张牌是最后一张。
再根据牌的顺序，一副牌54张，用64-54=10，即第二副牌的第10张。
由此我们可得结论为黑桃8.
同学们，这种分解的方法可以帮我们解决生活中的一些
看似复杂的问题。
你能否用相同的方法解决下面的问题？
共有两副扑克牌，现将牌最上面两张发出，将下一张放最下面，依此类推，直至发完所有的牌，问最后一张是什么牌？（牌的顺序：大王，小王，黑桃，红桃，梅花，方块，同种色顺序：A，2，……Q，K）。